追根溯源 把握本质
——再探函数的对称性与周期性
2023-11-11陈维杰
庞 敏 肖 睿 陈维杰
(1.四川省成都市新都香城中学 2.中国科学院大学数学与应用数学2101班3.成都市新都区教育科学研究院)
函数的对称性与周期性是函数的重要性质,两者间的相互联系历来是高考的热点,近几年高考试题中出现了不少灵活性、创新性、综合性、区分性极强的小题,对学生的数学思维能力要求较高,众多学生会感到思路不清,难以入手.本文从它们的定义出发,探究函数对称性与周期性之间的内在联系,以期达到追根溯源、融会贯通的效果.
1 试题呈现
题目 (2021年全国甲卷理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则
因为f(x+1)为奇函数,所以f(1)=0,且
因为f(x+2)偶函数,所以
由①②可得f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(-(x+1)+1)=-f(-x),即
因为f(-x+2)=f(x+2)=-f(-x),所以f(-x+2)=-f(-x).令t=-x,则f(t+2)=-f(t),即f(t+4)=f((t+2)+2)=-f(t+2)=f(t),所以函数f(x)是以4为周期的函数.
当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,则
由f(0)+f(3)=(-4a-b)+(a+b)=6,解得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2 在一个周期内的大致图像如图1所示,所以
图1
由式③可得
故选D.
本题主要涉及函数的解析式、对称性与周期性,重点考查了转化思想与运算能力,对学生的综合能力要求较高.
2 函数对称性、周期性的定义
对称性 函数的对称包括点对称和线对称,函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b(或f(a+x)+f(a-x)=2b,f(-x)+f(2a+x)=2b,如图2),特别地,当函数f(x)的图像关于原点对称时,有f(x)+f(-x)=0,即f(x)是奇函数.y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x),f(-x)=f(2a+x),如图3),特别地,当函数f(x)的图像关于y轴对称时,有f(x)=f(-x),即f(x)是偶函数.
图2
图3
例1 (人教A 版必修一第85页第13题)我们知道函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)求函数f(x)=x3-3x2图像的对称中心;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图像关于y轴成对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
函数y=f(x+a)-b为奇函数⇔f(x+a)-b=-[f(-x+a)-b]⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔函数y=f(x)的图像关于P(a,b)成中心对称.
(2)函数f(x)图像关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x+a)为偶函数.
周期性 设函数f(x)的定义域为D,若存在非零常数T,使得对每一个x∈D,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期(如图4).
图4
设a为非零常数,若对于f(x)定义域内的任意取值满足下列条件之一,则函数f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
3 探究与拓展
探究1 若函数f(x)的图像关于点(a,c)成中心对称,关于直线x=b(a≠b)成轴对称,则f(x)是以T=4(a-b)为周期的函数.
令t′=t-2a+2b,得
再将式②中的t′替换成t有
由①③可得f(t+2a-2b)=f(t-(2a-2b)),所以f(t+4a-4b)=f(t),则f(x)是以T=4(a-b)为周期的函数.
拓展1 设a,b∈R(a≠b),则将三个论断“①函数f(x)的图像关于直线x=a对称;②函数f(x)的图像关于点(b,0)成中心对称;③函数f(x)是以4(a-b)为周期的函数”中任意两个为条件,余下的一个为结论,得到的三个命题中只有①②⇒③是真命题.
①②⇒③,由已知条件有f(x)=f(2ax),f(x)=-f(2b-x),所以f(2a-x)=-f(2b-x),令t=2b-x,有
即f(x+4a-4b)=f(x),所以T=4(a-b)是函数f(x)的一个周期.
②③⇒①不一定成立,如函数y=tanx有对称中心和周期,没有对称轴(如图5).
图5
①③⇒②也不一定成立,如函数y=|tanx|,有对称轴和周期,没有对称中心(如图6).
图6
拓展2 设a,b∈R(a≠b),则将三个论断“①函数f(x)是奇函数;②函数f(x)的图像关于直线x=b对称;③函数f(x)是以4b为周期的函数”中任意两个为条件,余下的一个为结论,得到的三个命题中只有①②⇒③是真命题.
拓展3 设a,b∈R (a≠b),则将三个论断“①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的图像关于点(b,0)成中心对称;③函数f(x)是以4b为周期的函数”中任意两个作为条件,余下的一个为结论,得到的三个命题中只有①②⇒③是真命题.
例2 (2021年全国甲卷文12)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1+x)=f(-x),若则f()=( ).
例3 (2021年新高考Ⅱ卷8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则( ).
C.f(2)=0 D.f(4)=0
因为函数f(x+2)为偶函数,所以
又函数f(2x+1)为奇函数,则
即f(1-x)=-f(x+1),故f(x+3)=-f(x+1),得f(x)=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的函数.因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,由①可知
所以f(-1)=0,其他三个选项未知,故选B.
探究2 若函数f(x)的图像分别关于点(a,c)和点(b,c)(a≠b)成中心对称,则f(x)是以T=2(a-b)为周期的函数.
令t=2a-x,则2b-x=t-2a+2b,所以f(t)=f(t+2b-2a),即f(x)=f(x+2b-2a),所以f(x)是以T=2(b-a)为周期的函数.
拓展4 设a,b∈R(a≠b),则将三个论断“①函数f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称;②函数f(x)的图像关于点(b,0)成中心对称;③函数f(x)是以2(b-a)为周期的函数”中任意两个为条件,余下的一个为结论,得到的三个命题都是真命题.
①②⇒③由探究2知成立.
下证②③⇒①成立,因为函数f(x)的图像关于点(b,0)成中心对称,所以f(2b-x)+f(x)=0,而f(x)是以2(b-a)为周期的函数,故f(x)=f(x-(2b-2a)),则f(x-(2b-2a))+f(2b-x)=0,令2b-x=t,则2b-t=x,所以f(2a-t)+f(t)=0,即f(2a-x)+f(x)=0,故函数f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称.
同理可证得①③⇒②也成立.
拓展5 设a,b∈R(a≠b),则将三个论断“①函数f(x)是奇函数;②函数f(x)的图像关于点(b,0)成中心对称;③函数f(x)是以2b为周期的函数”中任意两个为条件,余下的一个为结论,得到的三个命题都是真命题.
例4 设函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( ).
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)
D.f(x+3)是奇函数
由探究2 知,函数f(x)的周期T=4,f(x+3)=f(x+3-4)=f(x-1),而f(x-1)是奇函数,所以f(x+3)是奇函数,故选D.
探究3 若函数f(x)的图像分别关于直线x=a和直线x=b(a≠b)成轴对称,则f(x)是以T=2(a-b)为周期的函数.
根据题设条件可得
所以f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则2bx=t+2b-2a,所以f(t)=f(t+2b-2a),故f(x)是以T=2(b-a)为周期的函数.
拓展6 设a,b∈R 且a≠b,则将三个论断“①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的图像关于直线x=b对称;③函数f(x)是以2b为周期的函数”中任意两个为条件,余下的一个为结论,得到的三个命题都是真命题.
①②⇒③由探究3知成立.
下证①③⇒②成立,由已知有
故函数f(x)的图像关于直线x=b对称.
同理可证②③⇒①也成立.
例5 (2022年全国乙卷理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则( ).
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称,所以g(2-x)=g(2+x).因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(-x)+g(2+x)=5,故f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数.又g(2)=4,所以f(0)+g(2)=5,得f(0)=1.由g(x)-f(x-4)=7,可得g(2-x)=f(-x-2)+7,代入f(x)+g(2-x)=5,得f(x)+f(-x-2)=-2,所以f(x)关于点(-1,-1)成中心对称,所以
由f(x)+f(-x-2)=-2,f(-x)=f(x),得
用x+2替换x得
由①②可得f(x+2)=f(x-2),所以f(x)的周期为4,故f(0)=f(4)=1.由f(0)+f(2)=-2,得f(2)=-3,又f(3)=f(-1)=f(1)=-1,则
故选D.
函数的对称性和周期性是高中数学教学的难点,有着广泛的应用.解决与函数有关的问题时,应认真审题,挖掘题目中的隐含条件,结合图像及函数的性质,抓住问题本质,方能使问题得到有效解答.
(完)