一类涉及三元变量的比较大小问题

尚 萍

(甘肃省白银市平川中恒学校)

比较大小是高考数学经常考查的一类重要题型,问题求解方法较多.当题设条件中涉及三个变量的对数式连等或关于三个变量的指数式连等时,显然比较大小具有一定的难度,此时就需要我们灵活运用特例法(仅适合选择题)或设元法加以灵活求解.本文通过归类举例的形式,着重说明在比较大小问题中,如果题设条件涉及三个变量的对数式连等(或指数式连等),那么我们可灵活运用特例法进行简捷求解,亦可在设元变形的基础上,灵活运用相关函数的性质、基本不等式或其他知识加以求解.

1 对数式连等

若题目中涉及三个变量,且给出三个对数式连等,则可根据下面两种不同的方法求解:一是运用特例法对变量进行灵活“赋值”分析,这样有利于迅速比较大小;二是运用设元法对连等式“换元”,再将已知的对数式变形为指数式,最后利用相关幂函数的单调性求解.

例1 设x,y,z为 正 数,且log2x＝log3y＝log5z＞0,则的大小关系不可能是( ).

解法1 取x＝2,则由log2x＝log3y＝log5z,可得y＝3,z＝5,从而可知,因此选项C正确.

取x＝2,则由log2x＝log3y＝log5z,可得y＝3,z＝5,从而可知,因此选项D 正确.

综上,根据排除法可知选项A,C,D 均可能成立,故选B.

解法2 设log2x＝log3y＝log5z＝k,则x＝2k,y＝3k,z＝5k,即.又k＞0,所以只需比较k与1的大小.

该解法以“设元”作为解题的切入点,先将目标问题等价转化为比较2k－1,3k－1,5k－1的大小,再根据幂函数f(x)＝xk－1的单调性,以分类讨论的方式灵活求解.运用幂函数的单调性时,需关注常用结论:当α＞0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递增;当α＜0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递减.

2 指数式连等

若题目中涉及三个变量,且给出三个指数式连等,则可根据下面两种不同的方法加以求解:一是运用特例法对变量进行灵活“赋值”分析;二是运用设元法对连等式“换元”,再将已知的指数式变形为对数式,然后根据对数的运算法则以及其他相关知识加以灵活求解.

例2 (多选题)已知x,y,z为正数,且3x＝4y＝6z,则以下说法中正确的是( ).

解法1 取z＝1,则由3x＝4y＝6,可得x＝log36,y＝log46,且x＞1,y＞1.于是,有

角差是井底仪器内方位传感器方位测量零点与动力钻具弯接头方位的差值。在MWD仪器下井之前，需要进行角差测量并需将角差值输入MWD配套软件中，仪器入井后开始正常工作时，地面工作软件所显示的工具面值就是井底仪器所测到的方位值经角差值修正后的值。

故选项A 正确.

因为

所以3x＜4y.又

所以3x＜4y＜6z,故选项B错误.

因为

故选项C正确.

因为

所以xy＞2＝2z2,故选项D 正确.

综上,选ACD.

该解法灵活利用了“特例”,其解题思想是先给定某一个变量的取值,再求解其他两个变量的取值,进而利用直接推理法判断各选项是否正确.实际上,对选项C 和D 还可以利用基本不等式加以分析.

解法2 设3x＝4y＝6z＝k,则x＝log3k,y＝log4k,z＝log6k,且k＞1.于是,有

故选项A 正确.

因为

所以3x＜4y.又

所以4y＜6z.从而3x＜4y＜6z,故选项B错误.

因为

因为

所以,故 选 项D正确.

综上,选ACD.

该解法灵活利用了“设元法”,其解法具有一般性,充分体现了对数运算与基本不等式知识在解题中的综合运用.

本文结合例题解析,旨在帮助学生理解、掌握处理此类涉及三个变量的比较大小问题的常用思维方法,提高其对相关基本知识、思想方法的灵活运用能力.

(完)