2023年高考三角函数经典问题聚焦

2023-11-11侯有岐正高级教师特级教师赵晓丽张桃青

高中数理化 2023年19期

关键词：偶函数奇偶性对称轴

侯有岐(正高级教师特级教师) 赵晓丽张桃青

(陕西省汉中市四〇五学校)

2023年高考三角函数问题主要围绕“五点法确定解析式、三角函数的定义、三角函数图像与性质”等展开,注重考查图像变换、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、零点等知识,并常与三角恒等变换等其他知识交会命题,难度中等.

1 “五点法”确定三角函数的解析式

图1

总结本题考查根据函数图像求函数的解析式,从而解出函数值,熟练掌握三角函数的有关性质,以及特殊角的三角函数值是解题的关键.

1)根据y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图像求函数解析式的步骤:

(1)确定振幅和周期,从而得到A与ω.

(2)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半.

(3)ω由周期得到:a)函数图像在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期;b)函数图像与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期;c)一条对称轴与其相邻的一个对称中心之间的距离为函数的个周期(借助图像很好理解记忆).

(4)求φ的值时最好选用最值点,求峰点:ωx＋);求谷点:(k∈Z);也可用零点求,但要区分该零点是上升零点,还是下降零点,上升零点(图像上升时与x轴的交点):ωx＋φ＝2kπ(k∈Z);下降零点(图像下降时与x轴的交点):ωx＋φ＝π＋2kπ(k∈Z).

2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图像关于直线x＝m对称,则f(m)＝±A;关于点(n,0)对称,则f(n)＝0.由函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图像确定A,ω,φ的题型,常常以五点法中的第一零点(－,0)作为突破口,要从图像的升降情况找准第一零点的位置,要善于抓住特殊量和特殊点.

答案 D.

2 三角函数的周期性和对称性

方法2 因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx为偶函数,所以a－2＝0,解得a＝2.

总结关于函数奇偶性的几个重要结论:

1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称.

2)若函数f(x)是偶函数,则f(x)＝f(|x|).

3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)＝0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集.

4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.

5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(或最小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.

6)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇＋奇＝奇,奇×奇＝偶,偶＋偶＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇.

7)复合函数的奇偶性可概括为:“同奇则奇,一偶则偶”.

注意判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(－x)与f(x)的关系,只有当各段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.

变式 (2023年天津卷5)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( ).

答案 B.

3 三角函数的单调性和最值

例3 (2023年上海卷15)已知a＞0,函数y＝sinx在[a,2a]上的最小值为s,在[2a,3a]上的最小值为t,则下列不可能的是( ).

A.s＞0且t＞0 B.s＜0且t＜0

C.s＞0且t＜0 D.s＜0且t＞0

图2

综上,选D.

总结要想判断正弦函数在相邻区间上函数值的正负,只要熟练作出函数的图像,在给定的区间上取特殊值检验判断,本题实质考查正弦函数在所给相邻区间上的单调性和值域.

变式 (2023 年北京卷13)已知命题p:若α,β为第一象限角,且α＞β,则tanα＞tanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为α＝_________,β＝_________.

4 三角函数图像变换

图3

总结三角函数图像变换问题要先利用三角变换(诱导公式、降次辅助角公式等)将不同名三角函数转换成同名三角函数.同名三角函数图像的变换有两种途径:一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩.

特别注意:y＝Asin(ωx＋φ1)到y＝Asin(ωx＋φ2)的平移单位

当Δx＞0时,是将y＝Asin(ωx＋φ1)图像上所有点向左平移Δx个单位;

当Δx＜0时,是将y＝Asin(ωx＋φ1)图像上所有点向右平移－Δx个单位.

变式 (2022 年浙江卷6)为了得到函数y＝2sin3x的图像,只要把函数)图像上所有的点( ).

答案 D.

5 三角函数的零点

例5 (2023年新高考Ⅰ卷15)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω＞0)在[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是_________.

因为0≤x≤2π,ω＞0,所以0≤ωx≤2ωπ,令f(x)＝cosωx－1＝0,则cosωx＝1有3个根.令t＝ωx,则cost＝1 有3 个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y＝cost的图像(如图4)及性质可得4π≤2ωπ＜6π,故2≤ω＜3.

图4

总结三角函数的零点问题常常化归为三角函数图像与直线的交点问题,然后利用函数图像数形结合地探究范围,主要考查三角函数的图像变换、单调性、对称性、周期性等.

1)三角函数的奇偶性:

函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z),偶函数

函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数(k∈Z),偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).

函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z).

2)三角函数的对称性:

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴可由解得,对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得.

函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像的对称轴可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标可由)解得.

函数y＝Atan(ωx＋φ)的图像的对称中心的横坐标可由解得.

变式 (2022年全国乙卷理15)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为T,若为f(x)的零点,则ω的最小值为_________.

答案 3.

6 函数图像与解析式的匹配

例6 (2023年天津卷4)函数f(x)的图像如图5所示,则f(x)的解析式可能为( ).

图5

由图像可知f(x)图像关于y轴对称,f(x)为偶函数,故A,B错误.对于选项C,当x＞0时,恒大于0,与图像不符合,所以C错误,故选D.

总结本题考查了函数图像的识别,解题的关键是掌握识别图像的方法,一般可从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断,考查了直观想象能力与逻辑推理能力.

变式 (2021 年浙江卷7)已知函数f(x)＝,则图像为图6 的函数可能是( ).

图6

答案 D.

7 三角函数同数列及集合的交会

综上,选B.

总结本题是集合、数列、三角函数的综合题,对等差数列、集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查,同时,考查了数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.求解通项中含有以n为变量的三角函数的数列问题,如含有等形式的数列,通常先求出三角函数的周期性,再研究数列在一个周期内的项的规律.

变式设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|,x∈R},,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为( ).

A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

答案 C.

8 三角换元和辅助角公式

例8 (2023年全国乙卷文11)已知实数x,y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0,则x－y的最大值是( ).

方法1 令x－y＝k,则x＝k＋y,代入原式化简得

因为实数y存在,则Δ≥0,即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0,化简得k2－2k－17≤0,解得1－3 2≤k≤1＋3 2,则x－y的最大值是3 2＋1,故选C.

方法2 将x2＋y2－4x－2y－4＝0整理得

令x＝3cosθ＋2,y＝3sinθ＋1,其中θ∈[0,2π],则

总结本题的实质为圆上的动点的横、纵坐标之差的最值,方法1设元构造平行的直线系与圆恒有交点,借助一元二次方程的判别式求解;方法2 通过三角换元,利用余弦函数的有界性求解;方法3 设元构造平行的直线系与圆恒有交点,利用圆心到直线的距离小于或等于半径解出最值.方法2凸显了三角函数的工具性,方法1和方法3凸显了直线与圆相交的几何性质的应用.

变式 (2022年新高考Ⅱ卷12,多选题)若x,y满足x2＋y2－xy＝1,则( ).

A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1

答案 BC.