不对中-碰摩转子系统动力学响应分析

2023-11-09张凌云刘忠刘俊杰熊中刚吕勇

机床与液压 2023年19期

张凌云，刘忠，刘俊杰，熊中刚，吕勇

(1.桂林航天工业学院机电工程学院，广西桂林 541004；2.桂林航天工业学院广西特种工程装备与控制重点实验室，广西桂林 541004；3.塔里木大学机械电气化工程学院，新疆阿拉尔 843300)

0 前言

随着机械系统不断朝着高速化、高精度化的方向发展，轴承-转子系统作为旋转机械的重要组成部分，其非线性行为逐渐凸显，特别是对多重非线性耦合的复杂机制缺少认识，导致对监测系统展现出来的异常振动现象无法作出正确的辨识及解释，致使旋转机械系统故障诊断与检测水平的提高受到了很大的限制，因此，对复杂故障耦合转子系统动力学特性的研究，在旋转机械系统异常运行故障诊断和监测领域尤为重要。

近年来，国内外学者针对油膜振荡失稳、不对中及不平衡故障转子系统动力学响应开展了一系列研究。陈果[1]研究了不平衡-碰摩耦合故障转子系统的分岔与混沌特征，分析了系统通过倍周期通向混沌的路径。李自刚等[2]研究了存在交角不对中和质量不平衡的转子系统，结果表明：在较低转速时，系统主要呈现出与转速同步的周期运动，随着转速的提高，周期响应在某些参数域出现分岔、跳跃以及混沌等非线性现象。PATEL、DARPE[3]分析了联轴器不对中系统在3种不同不对中情况下的振动特性。PENNACCHI等[4]通过分析轴心轨迹和频谱图的特征，揭示了不对中转子系统的一些非线性响应行为。BOUAZIZ等[5]通过对不对中故障转子系统进行研究发现，角度不对中故障频谱图主要由2倍频与4倍频成分组成。杨洋等人[6]以存在齿式联轴器不对中和转盘不平衡耦合条件下的转子系统为模型，围绕联轴器不对中度、转轴几何结构变化时，研究该类转子系统的几何非线性行为。肖汉等人[7]利用有限元法对非线性油膜力影响下不平衡-不对中-碰摩耦合故障的滑动轴承-转子系统展开研究，提出了一种微分耦合经验模态分解的方法，对耦合故障频率混叠进行分解，为获取耦合故障的频率特性提供了理论基础。PATEL、DARPE[3，8]利用 Timoshenko 梁理论建立了含平行不对中和角度不对中转子系统的有限元模型，针对不对中转子系统的弯曲和扭转耦合振动特性进行实验，表明通过轴心轨迹和全谱分析可区分不对中故障和其他故障，从而给出相应的故障诊断依据。

以往的研究大多采用有限元法对此类转子的振动幅值和频域进行研究，未对转子与定子的碰摩类型进行辨识，并且对碰摩力的大小和发生碰摩的占比未进行量化表征。本文作者用四阶Runge-Kutta数值积分法对含不对中-碰摩-不平衡耦合的强非线性系统进行求解，得出不同参数下系统对应的响应图，研究不同转速时系统对应的振动特征与分岔特性；最后，通过改变轴承间隙、润滑油黏度等系统参数，辨识出系统参数对转子系统动力学响应的影响，得到转子系统参数与系统周期运动合理的匹配区间。

1 系统动力学模型

如图1所示，转子系统通过齿式联轴器与电机相连，以此获得外部驱动力。此模型中联轴器存在不对中故障，数学模型见后文。质量分布均考虑为集中质量，转盘的两侧通过滑动轴承对称支撑。

图1 不对中-碰摩耦合转子系统模型

其中：O为坐标轴中心；O1为轴承内瓦几何中心；O2为转子的几何中心；m1为转盘集中在轴承处的质量；m2为转盘的质量；c1为轴承的阻尼系数；c2为转盘的阻尼系数；e为转子质心的偏心距；转轴的刚度系数为k；定子碰摩刚度为kc；δ1表示转盘与定子的径向间隙。

1.1 不对中-碰摩耦合转子系统动力学方程

设左端轴颈的径向位移为X1和Y1，转盘的径向位移为X2和Y2，PX、PY为转子与定子产生的碰摩力，FX1、FY1为轴承支撑的油膜力，FZX、FZY为联轴器不对中作用力，ω为旋转角速度(左视图顺时针为正转)。通过Lagrange方程得到不对中-碰摩耦合故障作用时系统的动力学方程为

(1)

1.2 非线性油膜力

文中滑动轴承采用CAPONE的短轴承油膜力模型[9]，得到量纲一化后的油膜力：

(2)

式中：σ为Sommerfeld修正系数。

(3)

其中：

(4)

式中：μ为润滑油黏度；D为轴承直径；c为轴承间隙；x1和y1分别为轴瓦几何中心在X轴方向和Y轴方向的径向位移。

1.3 碰摩力模型

图2为图1转子系统的左视图，滑动轴承-转子系统碰摩力模型，转盘中心的初始位置为O，当转盘径向位移δr>δ1时，定子产生碰摩力作用，碰摩过程中产生径向力Pn和切向力Pt可以表示为

图2 碰摩力模型

(5)

将以上碰摩力分解到X轴方向和Y轴方向分别为

(6)

1.4 齿式联轴器不对中模型

联轴器为电机向转子传递扭矩的桥梁，齿式联轴器不对中故障分为角度不对中、平行不对中和前两者均存在的综合不对中[11-12]，如图 3 所示。

图3为联轴器综合不对中故障时，联轴器外壳与两半联轴器间的相对运动轨迹模型。图中，设A为电机主轴的轴心投影，B为转子转轴的轴心投影，C为外壳的动态中心，AC为外壳与电机主轴的连线，BC为外壳与转子转轴的连线，AC垂直BC，设AB长为ΔE，点C坐标为C(x，y)，夹角不对中量α，则当转子系统运转时，点C以综合不对中量ΔE为直径做圆周运动，ω为转速，则点C的坐标C(x，y)可表示为

图3 齿式联轴器综合不对中作用力模型

(7)

式中：ΔE由联轴器间距ΔL、平行不对中量ρ以及夹角不对中量α共同决定，可表示为

(8)

随后，为得到点C的加速度，需对式(7)的时间t进行二阶求导，即：

(9)

由式(9)可知，联轴器不对中故障会给转子系统施加一个额外的激振力F。若将其在O0-X和O0-Y方向上做投影，其分量满足：

(10)

为了进行系统的动力学研究引入以下量纲一化参数：xi=Xi/b(i=1，2)，yi=Yi/b(i=1，2)，τ=ωt，则原式可化为

(11)

2 数值仿真与分析

2.1 最大碰摩力与占空比

本文作者引入最大碰摩力和碰摩占空比来表征转子与定子碰撞的激烈程度和持续时间。最大碰摩力描述了转盘与定子在接触过程中产生的最大作用力，转子-轴承系统在运行过程中最大碰摩力的变化影响着转子-轴承系统的运行稳定性，是决定转子-轴承系统使用寿命的关键因素之一。这里将最大碰摩力定义为转盘与定子在一个运动周期Tn=2nπ/ω内水平竖直方向碰摩力合力的最大值，最大碰摩力的取值范围为Pmax≥0，表示为

(12)

另外引入电信系统中的“占空比(Duty Cycle)”，文中用αDC表示碰摩占空比，即在一个运动周期Tn=2nπ/ω内转子与定子在各接触阶段所耗费时间的总和与运动周期的比值，占空比的取值范围αDC∈[0，1)，用公式表示为

αDC=(ΔtDC1+ΔtDC2+ΔtDC3+…)/Tn

(13)

2.2 系统的Poincaré截面

文中采用p/n来研究系统的动力学特性，其中p表示转子系统在一个运动周期Tn=2nπ/ω内的转盘与定子的碰撞冲击次数(p=0，1，2，3，…)，反映在周期分岔图。n表示转子在一个运动周期Tn=2nπ/ω内转子的周期数(n=1，2，3，…)，反映在碰撞分岔图。结合两种映射，可以辨识在一定参数条件下，不同转速对应转子系统可能呈现的旋转周期数n和碰撞次数p，从而确定p/n振动特性。选择系统的Poincaré映射图截面[10]：

R8×T|x2=x2n，mod(t=2π/ω)}

取表1参数，采用Runge-Kutta积分法对方程组(11)进行数值求解，得到系统的一系列响应。

2.3 不对中-碰摩耦合转子随转速变化响应分析

文中引用碰撞振子系统的分析方法，研究不对中-碰摩耦合条件下的转子系统的动力学行为，同时通过碰撞分岔图对转子系统的碰摩冲击转迁动力学行为进行了量化表征。基于系统参数仿真得到不对中-碰摩耦合转子的周期分岔图、碰撞分岔图、最大碰摩力分布和占空比分布，如图4所示。

图4 不对中-碰摩转子周期分岔图(a)、碰撞分岔图(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

图4(a)看出转子系统沿着转速增大的方向依次经历了P1(周期一)运动-P2运动-P1运动-拟周期运动。图4(b)转子系统的碰撞分岔图直观表征了不同运动周期内转子与定子的碰撞次数响应，转子沿着转速增大的方向依次经历了0/1(周期一无冲击)运动-1/1运动-0/1运动-0/2运动-1/2运动-2/2运动-0/1运动-拟周期运动。图4(c)进一步量化表征了转子系统沿着转速增大方向不同运动形式下对应的碰撞冲击力大小和持续发生碰摩的运动轨迹占比。为了更清楚地表明该转子系统的动力学行为特征，结合图5不同转速所对应的轴心轨迹、Poincaré截面、时间历程及频谱进行对比分析。

图5 不同转速对应的系统响应

当ω∈(0～534)rad/s较低转速时，系统处于楔形油膜间隙的形成阶段，系统为P1(周期一)运动，结合碰撞分岔图、最大碰摩力和占空比分布可看出此时系统为0/1类周期运动，由于不对中的存在，观察图5(a)频谱清晰呈现2×、3×和4×倍频幅值，Poincaré截面为一个独立的点，时间历程呈类周期运动。转速不断提高，系统的幅值逐渐增大，转子和定子发生碰摩，0/1运动转迁为1/1运动，图5(b)给出了转子1/1运动的响应，图中绿色的虚线表示碰摩边界，红色的轴心轨迹辨识为碰摩轨迹，碰摩的介入导致转子系统3×、4×倍频幅值发生变化，但由于转频占主导地位，转子此时仍为P1运动。当转速进一步提高，楔形间隙开始形成，半频油膜涡动产生的1/2×半频介入系统的响应，转速增大到一阶临界转速后，系统通过倍化分岔转迁为0/2运动，系统响应如图5(c)所示，其中碰摩的不断加剧导致系统出现3/2×次谐波分量。由于转子系统的振动幅值随着1/2×半频幅值持续增大，系统的运动类型经转子和定子一系列擦切分岔发生转迁，图5(c)—(e)清晰地给出了0/2运动-1/2运动-2/2运动的转迁过程。当转速继续升高，系统通过逆倍化序列转迁为P1运动，同时系统的幅值减小，此时为0/1无碰摩冲击运动，对应的响应如图5(f)所示，转子系统的1/2×半频油膜涡动消失，对应图4(c)中的最大碰摩力和占空比值均为0，系统进入稳定运行区域。当转速增大到ω=1 490 rad/s，此转速达到系统的二阶临界转速范围，油膜涡动重新形成，此时的1/2×半频涡动转速与转子的一阶临界转速重合达到共振，通过图4可直接观察到此时表现为强烈的共振现象，观察图5(g)可知，系统进入拟周期运动，油膜涡动转变为油膜振荡，油膜振荡幅值超过系统转频，并保持该频率不变。

2.4 不同轴承间隙对转子系统动力学响应的影响

通过式(4)可看出，轴承间隙的改变会对转子系统产生直接影响，因此对轴承间隙进行离散取值。针对若干轴承间隙c的取值，计算出不同c值时转子系统的幅值分岔、最大碰摩力和占空比随转速改变的分布。图6、图7给出了基准参数μ=0.018 Pa·s下2组c值对应的响应，同时结合图4中c=0.005 mm进行对比分析。当c值由小变大时，转子系统的分岔特性趋于复杂化，并且振动幅值逐渐增大，对应的混沌运动窗口逐渐增大，说明轴承间隙的增大直接影响转子系统的周期运动分布和分岔特性。同时碰摩力和占空比幅值明显增大，并出现αDC=1的全周期碰摩区域，因此在轴承设计过程中应尽量选用较小的轴承间隙。

图6 c=0.11 mm周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

图7 c=0.22 mm周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

进一步研究轴承间隙对转子系统的影响，选取转速ω=900 rad/s时对轴承间隙进行离散取值，轴承间隙分别为c=0.055 mm、c=0.11 mm和c=0.22 mm得到转子系统的频谱，如图8所示。当轴承间隙由小变大时，由油膜涡动产生的1/2×次谐波幅值发生明显变化，并且出现了连续的次谐波频率幅值，导致转子系统的稳定性降低。同时系统转频幅值和由不对中产生的2×倍频幅值未产生改变。因此，可以通过分析故障转子的振动信号组分来对转子系统存在的故障类型进行有效的诊断。

图8 ω=900 rad/s时不同轴承间隙对应的频谱图

2.5 不同润滑油黏度对转子系统动力学响应的影响

图9和图10代表性地给出了2组不同润滑油黏度值对应的系统响应，并通过与图4所示结果进行对比分析，发现润滑油黏度μ的变化对系统的运动类型、存在区域和分岔特性有较大影响。系统的一、二阶临界转速与润滑油黏度的改变正相关，润滑油黏度的增大使得转子系统的分岔特性和周期运动类型简单化，同时系统的幅值随润滑油黏度的增大显著减小，进而对应的最大碰摩力和占空比幅值明显变小。当μ=0.036 Pa·s时，系统的振动幅值较小，其中0/1无碰撞运动占据了较大分布域，对应的最大碰摩力和占空比幅值为0的区域较大，说明转子系统能在较广的转速分布范围内平稳运行。

图9 μ=0.009 Pa·s周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

图10 μ=0.036 Pa·s周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

进一步研究润滑油黏度改变对转子系统的影响，选取转速ω=900 rad/s时对润滑油黏度进行离散取值，润滑油黏度分别取0.009、0.018、0.036 Pa·s，得到转子系统的频谱，如图11所示。当润滑油黏度发生变化时，油膜涡动产生的1/2×次谐波幅值发生明显变化，主要表现为1/2×频率幅值随着润滑油黏度的增大而减小，转子系统的稳定性持续提高。同时系统转频幅值和由不对中产生的2×倍频幅值未产生改变。