新课程标准下化归思想运用于数学解题实践中的方法研究

2023-11-08任丹丹

数理天地(高中版) 2023年21期

关键词：数学解题数学思维

任丹丹

【摘要】新课程标准下，注重学生对问题本质的理解.化归方法作为一种创造性教学方式，在培养学生良好的认知能力方面有积极作用.本文以数学教学为例，分析化归方法的运用原则，提出数学解题中化归方法的应用措施，以供借鉴.

【关键词】数学解题；化归方法；数学思维

数学解题过程中会出现各种错误，即使是同一类型的题目，不同水平的学生在解题中会出现不同程度的认知差异.化归是实现快速解题的有效方式.

1 化归方法运用原则

1.1 熟悉化原则

熟悉化原则就是对题目中的陌生内容进行转化，将其以学生熟知的内容展现出来，促使问题简单化［1］.例如，一元四次方程x4－2x3－24x2+80x－64=0，从表面看无直接求解方式，通过化归方法可将左边部分因式分解，转化成一元二次方程，然后求解.

1.2 层次化原则

层次化原则就是对复杂问题进行解答时，将高层次问题向低层次转化［2］.如：将高维空间问题向低维空间转化，多元问题向单元转化，提高解题效率［3］.如求：y=sinxcosx+sinx+cosx的最值，令：

t=sinx+cosx－2≤t≤2，

则y=t2－12+t（－2≤t≤2），所以y=12（t+1）2－1－2≤t≤2.

当t=－1，sinx+cosx=－1时，x=2kπ+π或者x=2kπ－π2（k∈Z），ymin=－1;

当t=2，sinx+cosx=2，即x=2π+π4（k∈Z）时，ymax=12+2.

本题就是利用替代方式，将三角函数最值问题转化成学生熟悉的二次函数最值问题，简化题目的复杂性.

2 有效运用化归方法的具体措施

2.1 给学生营造良好的逻辑思考环境

教师应培养学生自主动手动脑的习惯，积极开展小组学习活动，引导学生大胆说出自己的想法，指导学生进行探究与总结.比如，在解答与三角函数中任意角相关的题目时，教师可以让学生先利用直角坐标系确定角的位置，然后根据象限确定符号停留到锐角范围中的学习现象，同时回顾锐角三角函数定义，使用画图模式进行学习和思考，最后把角的定义拓展到任意角.这有利于加深学生对相关数学知识的理解，从而构建完整数学知识框架.

2.2 将复杂问题转化成一般问题

数学解题过程中，面对复杂的问题，教师可以引导学生采用化归方法解题，将复杂抽象化的问题向简单方向转化，在短时间内提升学生学习數学的积极性.

例1 在数列an中，已知，a1=2，a2=3，同时存在an+2=35an+1+25an这种关系，请求出数列的通项公式an的具体表达形式.

分析本题的递推公式属于二阶线性递推关系，教师可引导学生将其转化成一般的基本数列问题，采用待定参数法求解.可在an+1－man=n（an－man－1）式子中引入m，n两个参数，将题目转化成求公比q=n的等比数列an－man－1通项公式问题.

解因为an+1－man=n（an－man－1），所以an+2=（m+n）an－1－mnan，将其与条件an+2=35an+1+25an结合，可得：

m+n=35a，mn=－25，

解得m=1，n=25，或m=25，n=1，则an+2－an+1=－25（an+1－an），或an+2+25an+1=an+1+25an，其an－an－1的等比数列首项为a2－a1=1，q=－25，所以an－an－1=－25n-2，an=19+2×254－25n=197+254－25n，a1=1.契合此式，可解出an=197+254－25n.

2.3 代数问题向数形结合转化

利用数形结合的方法解答复杂题目，能够借助“形”的直观性将问题化繁为简，帮助学生更加直观地解答问题，同时利用“数”的严谨性使问题更加具体，提高学生解题的能力.

例2 已知函数f（x）=ax3－bx+4，当x=2时，函数存有极值，为－43.

（1）求函数f（x）的解析表达式；

（2）当f（x）=k时，与x相关的方程共包括3个零点，求出k的取值范围.

分析直接采用代数的方式解答题目，难度较大，可采用代数与图形相结合的方法求解.

在解答问题（1）时，教师可引导学生对函数求导，有

f′（x）=3ax2－b，根据题目可得

f（2）=12a－b=0，f（2）=8a－2b+4=－43，

解得a=13，b=4，再直接求出函数的解析表达式，即f（x）=13x3－4x+4.

由问题（1）可知f（x）=x2－4=（x－2）（x+2），如果f（x）=0，那么x=2或x=－2，

结合图1可知，当x=－2时，f（x）的最大值为283，当x=2时，f（x）的最小值为－43，所以k的取值范围为－43