“双新”视域下高中数学课堂实现深度学习的实践初探

黄海燕

【摘要】在高中数学课程中，教师要优化和解决各类教育教学问题，要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，要促进学生数学学科核心素养的形成和发展，在高中课堂的教学中让学生进行深度学习就尤为重要.本文通过梳理高中数学课堂实现深度学习的意义及其实施策略，以“几何体体积”的教学片段为例，进行基于深度学习的高中数学课堂落实数学学科核心素养的实践探究.

【关键词】核心素养；深度学习；祖暅原理

“双新”视域下，作为一名高中数学教师，面临“在高中数学课堂中如何更有效地提高学生的学习效率、增强学生的学习效果？”“怎样才能做到让不同的学生在数学上得到不同的发展？”“怎样才能提高学生的实践能力、创新能力？”等教育教学问题.在高中数学教学的主阵地中，教师通过课堂教学引导学生深度学习，开发学生自主学习的意识、培养学生处理问题的能力，促进学生实践能力和创新意识的发展，从而发展其高阶思维的能力，有助于数学教育对人的发展价值的实现.

1 高中数学课堂实现深度学习的意义

深度学习是指在教师的主导下，激发学生自发的、自主性的内在学习动机，学生从自身现有水平出发，通过挖掘自己学习知识的潜能，积极参与学习活动、感受学习的成功、提升思想水平和精神境界的学习过程，是一种长期的积极的学习状态、持久的学习力.

对于高中学生而言，深度学习是学生作为主体主动展开的学习活动，能引起学生的学习兴趣，是学生对问题和知识的深入理解，是学生从特殊到一般、具体到抽象、运算与推理、直观想象、分析与综合等思维不断深入强化的过程，能触及学生的心灵深处.

对于高中数学教师而言，深度学习是教师发挥主导作用的活动，教师在教学活动中重视揭示数学知识的本质特征以及内在联系，要让学生主动地建构从了解到理解、掌握到综合运用的数学认知结构过程，让知识具有整体性和系统性，让学生把握数学的本质和思想方法［1］.

2 高中数学课堂实现深度学习的实施策略

2.1 教学内容的重构与定位

对照课程标准与教材，对沪教版选择性必修三第11章简单几何体中有关几何体体积的教学内容“11.1.2柱体的体积”、11.2.2锥体的体积“11.4.3球的体积”进行从重、难点到发展点的重构.

具体内容为 了解一些简单几何体体积的计算方法；知道球、棱柱、棱锥、棱台的体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.

重构内容的要点 直观地理解祖暅原理，再现知识的自然发生过程；不同方式推导公式，多角度了解公式的来龙去脉，为形成严密而精准的数学思维提供更大的可能；掌握从特殊到一般、具体到抽象等数学思想方法；通过思维导图、表格等工具，引领学生构建知识体系；提供更贴近生活的材料，帮助学生实现关键能力的提升，帮助学生优化思维品质，发展学科素养［2］.

2.2 学习目标的设立与解析

学习目标 经历利用已知的长方体的体积公式以及祖暅原理，探究并推导柱体、锥体、台体的体积计算公式的过程；经历利用祖暅原理、构造一个与半球体积相等的几何体推导得到球的体积计算公式的过程.

体现的数学思想方法 在祖暅原理的发现过程中，从二维平面升到三维空间，体会类比推理论证的数学思想方法；在推导证明棱柱、圆柱的体积公式的过程中，体会从特殊到一般的数学思想方法；经历借助棱锥与棱柱的联系推导得到锥体、台体的体积计算公式的过程，体会割补法和化归等数学思想方法的应用；经历借助特殊的模型，根据圆柱、圆锥的体积公式和祖暅原理推导出球的体积计算公式，进而类比探究推导几个简单的曲面几何体的体积计算公式，体会类比、转化和数形结合等数学思想方法的应用.

重点提升的数学核心素养 提升直观想象、数学抽象、逻辑推理素养［3］.

2.3 学习内容的多角度呈现

学习内容情境化 情境的信息要与学生的特点、经验和认知水平结合，教师充分研读教材和课标，联系生活，合理运用、构建各种源于现实生活、贴近学生经验的教学情境.

学习内容问题化 教师根据教材内容、结合课标和教参，针对学生的学情特点，预先设置知识层次和思维层次两方面的高质量的问题链，在课堂有限的时间内，來引导学生进行有深度、有广度、有价值的思考，让学生深化认识，全面把握数学知识之间的关系和联系，从而获得思维的提升.

学习内容动态化 立体几何的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，教学中可以使用各类积木状教具、可拼装拆卸的框架模型等各类立体几何教具，也可以利用GeoGebra等动态数学软件多角度呈现空间几何体，有效地帮助学生认识空间几何体的结构特征，为利用祖暅原理进一步探究各类几何体的几何性质打好基础.

学习内容活动化 课堂教学活动不是越多越好，教学活动中所涉及的知识点也不是越难越杂越好，而是在了解每一位学生的学习情况和认知能力，关注每一位学生的学习需求后，以最合理的方式建构知识网络，提炼网络节点，进行更精炼、细致的教学活动设计，让学习内容通过小组活动、生生互动的方式呈现.

2.4 重点活动的递进与举隅

活动举隅1 在学习祖暅原理的基础上，引导学生推导柱体体积计算公式

情境 祖暅原理，“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”，数学史融入数学课堂，东西方各国数学家对几何体体积的研究历程，引入起源、引入文化（图1）.

问题1 请再列举出一些实物模型，直观地解释祖暅原理．

问题2 两个几何体体积相等的条件是什么？

问题3 如何运用祖暅原理，求出底面积为S，高为h的斜四棱柱的体积？

问题4 如何运用祖暅原理，推导棱柱的体积计算公式？

问题5 如何运用祖暅原理，推导圆柱的体积计算公式？

HPM融入数学课堂教学，渗透数学文化能让学生从数学历史中，寻找数学概念的起因；根据生活中的实际情境初步认识几何体，培养学生对所学的高中数学知识进行迁移和应用，解决生活中的实际问题，提升学生的数学核心素养.

活动举隅2 基于球体体积计算公式的推导，探究推导特殊曲面几何体体积，体验过程中用到的方法、涉及的数学思想.

情境2 奇特的牟和方盖玩具，能在平面上平滑地滚动，观察发现其滚动的姿态是蛇形走位的姿势前进的.直观上看，该玩具像是两个反向的锥体，通过一个45度侧方的正方形绕着中心轴旋转一周得到的几何体（图2）.

问题1 如何计算牟和方盖的体积呢？

问题2 圆柱、圆锥、圆台、球体等几个简单曲面立体的体积是怎样推导的？

问题3 已知的几个曲面几何体体積推导过程中用到了哪些方法、涉及了哪些数学思想？

活动 结合球体体积公式的推导过程，分组合作探究牟和方盖体积的求解.

学生能在相关联的实际情境中，提取题目信息构建相应的立体几何图形，进行推理与运算、解决问题.

资料学习 实际上，牟和方盖是一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的公共部分的几何体.《九章算术》中记载牟和方盖是由我国古代数学家刘徽首先发明并采用的一种用于计算球体体积的方法，采用的模型像一个牟和的方形盒子，故称为牟和方盖.［4］历史上祖暅将牟和方盖取其八分之一，再利用祖暅原理求解体积的过程.

活动举隅3 探究拓展，深度学以致用.

图3是一个置于地面上的救生圈，它是绕一条垂直于地平面的直线l旋转而形成的旋转体

问题1 如果用一个经过旋转轴l的平面去截这个救生圈，得到的截面是什么图形？

问题2 如果用一个平行于地面的平面去截这个救生圈，得到的截面是什么图形？

问题3 请给定图中合情的参数数据，求出该救生圈的体积.

变式课本问题，形成探究性问题，加深学生对平面几何与立体几何内在联系的理解.

2.5 持续性的学习评价

教师运用适合的评价标准来评价学生的学科核心素养的发展状况，参考学生的原有认知和新经验知识的转化和联系、学生的作业测验结果呈现的问题、学生学习活动过程中的态度表现、学生进行深度加工的能力与意识等，并将评价结果用于教学改进，使每个学生都能获得成就感.

（1）在学习准备阶段，对预备知识和基本技能是否有清晰的理解和掌握，对课时内容是否有一定了解.

（2）在学习过程中，顺利完成的、基本完成的、未能完成的各项知识技能目标或具体问题；学习过程中的收获及感悟，为什么学、学到什么、怎么学、学到什么程度等等.

（3）在课后学习阶段，学生能进行阶段性的学习反思，把教学过程施行为数学思维的过程，能对知识进行过程性分析和总结，通过采用不同层次的反馈练习，检验学生对学习内容的理解和掌握程度，诊断学业水平现状［5］.

3 结语

在日常教学中渗透数学文化，利用数学史创设情境进行教学，更能激发学生自己的学习愿望，主动地参与学习，经历知识的发现与建构过程，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值与文化价值.

设计高质量的课堂任务单，能让教师掌握学生的已有知识，避免课堂中教师花费大量时间在重复巩固学生的基础知识，让学生的学习处于低阶思维阶段；能让教师对学生的学习过程进行细致的观察与分析；能让学生自主学习、合作探究未知的知识点，拓展延伸；能让学生自我巩固内化知识点，学习过程不断深化，建构更高的思维层次.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定 普通高中数学课程标准：2017年版［M］.北京：人民教育出版社.

［2］黄海霞.深度学习视角下的高中数学课堂有效提问的研究［D］.厦门：集美大学，2022.

［3］陈春芳.让学生经历公式的发现、证明与应用——“祖暅原理与几何体的体积”教学设计与思考［J］.江苏教育，2021（Z3）：62-64+69.

［4］曾晓丽.关键教学点视域下数学文化的教学研究——以“祖暅原理与空间几何体的体积”教学为例［J］.高中数学教与学，2021（13）：1-3+24.

［5］曹雅楠.指向深度学习的高中数学课堂师生话语分析［D］.天津：天津师范大学，2022.