高中数学教学中数学建模思想的应用

2023-11-08孙素贞

数理天地(高中版) 2023年21期

孙素贞

【摘要】在近几年高考数学中，学生建模能力考查越来越受重视，因此，在高中数学教学中，应当重视学生建模能力以及模型应用能力培养，有效提高问题解决能力，实现学生综合能力的提升.本文分析数学建模思想在高中数学解题教学中的应用.

【关键词】高中数学；数学建模；应用策略

在新课程标准中明确指出，在数学学习中，注重数学建模思想的应用，为学生提供自主学习的空间，加深学生数学学习体验，感受数学知识的作用与价值，加强数学学科与生活的联系.作为高中数学教师，借助典型的数学例题，传授学生模型构建技巧，利用模型解决问题，传授学生解题方法，锻炼学生数学解题能力，实现学生数学综合素养的提升.

1 构建函数模型，解决数学问题

对于高中数学来说，函数模型是一种比较熟悉的数学模型，在初中数学学习中已经有所接触.在高中数学中，函数模型更加深入，难度增加，教师需要加强函数模型讲解，让学生了解函数模型构建的关键点，在解题时，认真阅读题目，理解题目意思，找出自变量的范围，准确解题题目.同时，教师需要向学生讲解常见的函数模型解题方法，如二次函数、指数函数以及三角函数等模型，让学生了解应用相应的知识解题［1］，例题如下：

例1 某个树林现有的木材储量为7100cm3，为了使木材储量在20年后达到28400cm3，（1）那么每年木材储量的平均增长率为多少？（2）如果每年的平均增长率为8%，那么几年后可以翻两番？

分析此题在解答时，可以利用函数模型中的指数函数模型.

解（1）设增长率是x，根据题意得：

28400=7100（1+x）20

所以（1+x）20=4，20lg（1+x）=2lg2，即lg（1+x）≈0.03010，

所以1+x=1.072，

所以x≈0.072=7.2%.

（2）设y年可以翻两番，所以28400=700（1+0.08）y，即1.08y=4，

所以y=2lg2lg1.08≈0.60200.0334≈18.02，所以在18年之后就可以翻两番.

2 构建数列模型，解决数学问题

高中数学数列学习中，主要有等差数列和等比数列，并且两种数列各有特点，如等差数列中相邻两项的差值是定值，而等比数列中，相邻两项的比值为定值.在数学解题中，根据数列知识构建数列模型，重点求解数列的首项和公差或者公比.然而，还有一些数学问题比较抽象，教师需要引导学生回顾数列知识内容，如数列前n项和、单调性等，对于等比数列则需要分类讨论公比为1和不为1.例题如下：

例2 政府部门决定通过“对社会的有效贡献率”来评价企业，用an表示企业在第n年投入的环保费用，bn表示企业第n年的产值.设a1=a万元，之后每年的环保费用比上一年增加增加2a万元，设b1=b万元，企业每年产值的平均增长率是10%，用pn=anbn100ab表示企业第n年的“对社会的有效贡献率”.那么，从第几年开始，企业的“对社会的有效贡献率”不低于20%？

分析此题解题时，通过审题，分析题干可以得出，需要构建出等比数列和等差数列模型.环保费用符合等差数列特点，构建相应的等差数列模型解题.

解因为an=a1+2a（n－1）=（2n－1）a（a∈N+），

bn=b1×（1+0.1）n－1=1.1n－1b（b∈N+）

所以Pn=（2n－1）a×1.1n－1b100ab

=（2n－1）·1.1n－1%

先证明Pn=f（n）=（2n－1）·1.1n－1%是增函数，

因为Pn＞0 Pn+1Pn=（2n+1）×1.1n%（2n－1）×1.1n－1%＞1

所以Pn+1＞Pn

所以Pn=f（n）=（2n－1）·1.1n－1%是關于n的增函数.

Pn+1－Pn=（2n+1）×1.1n%－（2n－1）×1.1n－1%.

因为P9=17×1.18%≈36.38%＞20%，

P4=7×1.13%≈9.31%＜20%

P7=13×1.16%≈23.01%＞20%，

P6=11×1.15%≈17.71%＜20%

因此，从第七年开始，企业的“对社会有效贡献率”不低于20%.

3 构建空间模型，解决数学问题

为了让学生能灵活利用空间模型解决立体几何问题，教师可以利用多媒体技术，从不同的角度展示立体图形，帮助学生深入理解空间的点、线、面要素，让学生联系生活进行想象，对立体几何图形形成清晰的印象.同时，教师可以结合具体问题解答，传授学生立体几何的常规解题方式以及向量法解题方法，强化学生空间模型构建能力［2］.例题如下：

例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一点，CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值是.

分析此题解题时，通过对题目进行分析，构建相应的空间模型，快速有效解题.

解以D作为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，构建空间直角坐标系，设AB=3，所以A（3，0，0），E（0，3，2），A1（3，0，3），B（3，3，0），AE=（－3，3，2），A1B=（0，3，－3）

设异面直线AE与A1B所成角为θ，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值是：

cosθ=|AE·A1B||AE|·|A1B|=322·18=1122.

4 构建不等式模型，解答数学问题

对于高中学生来说，不等式是比较熟悉的内容，为了提高学生知识应用能力，教师应当注重基本不等式模型的构建，以及利用基础不等式模型解决问题.在解题中，根据题目中的参数关系，合理配凑参数，是基本不等式应用的基础.同时，还需要考虑不等式的定义域，保证结果的准确性［3］.例题如下：

例4 在对某个房屋房顶和外墙喷涂隔热材料时，隔热材料的使用年限是20年，一层隔热材料是每毫米6万元.每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）的关系是H=403x+5（0≤x≤10）.设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用的和.（1）解释H（0）的含义，求解f（x）的表达式；（2）当隔热层多厚时，业主付的费用最低，比没有隔热层节约多少钱？

分析根据建造费用和能源消耗费用，得出f（x）的解析式.利用基本不等式计算出f（x）的最小值，以及对应x的值，和不适用隔热材料的费用进行对比.

解（1）H（0）=405=8，H（0）的实际意义是不适用隔热材料，每年的能源消耗费用是8万元，f（x）=8003x+5+6x（0≤x≤10）

（2）f（x）=8003x+5+6x

=8003x+5+2（3x+5）－10≥21600－10=70，当且仅当x=5时取等号

所以厚度为5毫米时，总费用最低是70万元，如果不适用隔热材料，20年的能源消耗费用是160万元，业主可以节约90万元.

5 构建三角模型，解决数学问题

在高中数学解题中，对于一些复杂的数学问题，教师需要引导学生对题目进行转化，结合三角形关系，构建三角模型，完成解题.在高中数学中，三角模型是几何模型中的重要模型，不仅包含三角模型的使用，还需要利用正余弦定理以及勾股定理等解题.例题如下：

例5 A观察哨在上午11点接到通知，正西方出现风暴，向正东方移动，预计两个小时达到A观察哨，并且继续向前移动，同时，在观察哨发现一艘轮船，在A北偏西60°的B点，经过一段时间之后，轮船到达A点北偏东60°的C点，轮船保持 93km/h的速度匀速前行，最后达到A点正东方5千米处的小岛E点，如果轮船在BC段的时间是CE段的四倍，那么轮船是否可以在风暴到达A点之前回到E点？

分析通过题目分析可以得出B、C、E三点共线，画出相应的示意图，如图1所示，根据示意图构建三角模型，计算BE的长度.

解由题意得出BC=4CE，

设CE=x，所以BE=5x，BC=4x，

在三角形ABE中，因为∠EAB=150°，

所以利用正弦定理，sinBAE=sin∠EABBE，

所以sinB=12x.

因为在三角形ABC，∠CAB=120°，

所以根據正弦定理，sinBAC=sin∠CABBC，所以AC=433.

在三角形ACE中，因为∠CAE=30°，AE=5，AC=433，

所以根据余弦定理，CE2=AE2+AC2－2AE·ACcos30°，

所以CE=933，BE=5933，所以，航行时间t=53h，即轮船经过t=53h后到达小岛E，因为53＜2，得出轮船在风暴达到A点之前可以回到E点.

6 构建概率模型，解决数学问题

在日常生活生产中，概率模型被广泛使用，利用概率模型，分析解决生活中的很多问题.因此，在高中数学教学中，注重培养学生概率模型应用能力，加强基础知识讲解，传授学生计算方式，深入理解和掌握事件联系.针对与统计有关的知识，要求学生掌握相关概念的同时，还需要学生掌握相关计算公式，了解各个参数的意思，避免出现运用错误［4］.例题如下：

例6 在某种饮料的促销中，通过瓶盖内印“再来一瓶”和“谢谢惠顾”字样，开展促销活动，“再来一瓶”则可以免费兑换饮料一瓶，视作中奖，其概率是16.如果甲、乙、丙三人各买一瓶饮料，（1）甲、乙中奖，丙未中奖的概率是多少？（2）求解中奖人数X的分布以及期望E（X）.

解（1）由题意可知，中奖和未中奖属于互斥事件，

所以未中奖的概率是1－16=56，

设甲中奖，乙、丙没有中奖为事件A

因为三人中奖与否是相互独立的，

所以由独立事件概率模型，

P（A）=16×56×56=25216.

（2）根据题意，X=（0，1，2，3），

所以P（X=0）=C03×（16）0×（56）3=125216；

P（X=1）=C13×（16）1×（56）2=75216：

P（X=2）=C23×（16）2×（56）1=15216；

P（X=3）=C33×（16）3×（56）0=1216.