鸡兔同笼 同又不同

［摘  要］ 文章主要研究“鸡兔同笼”这个生活实际问题. “鸡兔同笼”是学生在小学阶段已经接触过且用算术方法解决过的问题. 教学过程中，教师重在引导学生观察、思考和发现一元一次方程方法与算术方法的联系、二元一次方程组与一元一次方程的联系，让学生从中体会研究二元一次方程组的主要方法——消元，使学生经历用二元一次方程组解决问题的完整过程. 通过对多种方法的比较和反思，学生发现了这些方法的共性，体会到了数学的逻辑美，认识到了“鸡兔同笼”问题的本质.

［关键词］ 鸡兔同笼；二元一次方程组；统领课

“鸡兔同笼”问题是中国古代著名趣題之一，学生在小学阶段已经尝试并使用多种算术方法来解决. 本节课是苏科版初中数学七年级下册第十章“二元一次方程组”的章节统领课，在此之前，学生已经具备一元一次方程的相关知识和经验. 继续依托“鸡兔同笼”这个经典问题来引出二元一次方程组，能让学生再次经历尝试、探索、比较等活动过程，从而比较全面地认识二元一次方程组的研究内容，起到“未见树木，先见森林”的作用. 现将教学实践与思考呈现出来，希望得到广大同行的指导.

背景分析

1. 课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“方程与不等式”部分指出，应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达的未知数建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达. 涉及本章内容的目标有：能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义，经历估计方程解的过程；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组.

2. 教材分析

苏科版初中数学七年级下册第十章“二元一次方程组”共包含5节内容，对于“10. 1 二元一次方程”和“10. 2 二元一次方程组”，学生要经历从问题到方程和方程组的过程，理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，认识到方程和方程组是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，体会它们与现实世界的密切联系；对于“10. 3 解二元一次方程组”，学生要在尝试、探索、比较等活动中发现解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法和加减消元法，充分体会消元思想；对于“10. 4 三元一次方程组”，学生要掌握解三元一次方程组的方法，即消去三元一次方程组中的某个未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组；对于“10. 5 用二元一次方程组解决问题”，学生要学会找出实际问题中的两个相等关系，将实际问题转化为求解二元一次方程组问题. 从一元到二元，我们建立了新的数学模型；从二元到一元，通过消元，我们把二元一次方程组转化为了一元一次方程. 本节课是全章的统领课，利用“鸡兔同笼”这个经典问题来引出全章内容，着眼点在于通过尝试、探索、比较等活动来深度挖掘知识，让学生体会要研究二元一次方程组的哪些内容. 本节课不求面面俱到，但求抛砖引玉，起到“未见树木，先见森林”的作用.

3. 学情分析

“鸡兔同笼”问题是中国古代著名的趣题之一. 它不仅趣味性强，而且可以用简单计算、方程法等多种方法求解. 据不完全统计，该问题不同“称谓”的解法有尝试法、列表法、画图法、假设法、金鸡独立法、面积法、方程法等，达37种之多，但实际上，很多方法本质上是一样的. 假设法是“鸡兔同笼”类问题最常用的方法之一，但很多学生只是会用，或者硬记，只知其然，并不知其所以然. 但不能真正被理解的操作性知识，对后面的学习几乎起不到作用，对思维能力的提升也没有明显的作用. 所以教学这节课时，笔者希望学生能从方程的角度进行观察、分析、验证，再回头看假设法，看到多种方法的一致性，从而看到问题的本质，不为众多方法所困.

教学目标与研究方法

1. 教学目标

（1）理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

（2）探索解二元一次方程和二元一次方程组的方法.

2. 研究方法：类比、转化

二元一次方程是初中阶段认识的第二种方程，本章结构与七年级上册“一元一次方程”类似——从实际问题到数学问题，再从数学问题回到实际，所以可以采用类比的教学方式. 遇到实际问题时，先将其转化为二元一次方程组，这是实际问题到数学问题的转化；发现代入消元法和加减消元法这两种基本方法，能把解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题，这是从二元到一元的转化.

教学过程

复习回顾：我们是如何研究一元一次方程的？主要研究了哪些方面？（概念、解法和应用）

问题1 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一道数学名题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足. 问鸡兔各几何？”

学生在小学阶段已经解决过“鸡兔同笼”问题，于是他们很快便说出了求解的算术方法——假设法. 虽然很多学生会列式，但能讲清楚个中缘由的只有很少一部分. 假设法的求解过程如下.

假设全是鸡，则兔有=12（只）. 所以鸡有35-12=23（只）.

假设全是兔，则鸡有=23（只）. 所以兔有35-23=12（只）.

七年级时，学生学习了代数方法——用一元一次方程解决问题. 运用一元一次方程求解的过程如下.

设鸡有x只，则兔有（35-x）只. 根据题意，得2x+4（35-x）=94，即2x+4×35-4x = 94，于是有4×35-2x = 94. 所以x =.

问题2 算术方法和代数方法这两种方法之间有联系吗？

经过两个式子的比较，学生惊喜地发现，代数方法中的式子其实正是算术方法中“假设全是兔”的式子. 35×4即为假设全是兔应有的腿的数量，但实际上只有94条腿，多出来的腿即为错把鸡当成兔的那部分的腿，于是计算两者的差. 又每错看一只就会多出2条腿，所以再除以2，就可以得到鸡的数量. 原来运用一元一次方程求解和假设法的本质一样！

问题3 你们还有别的方法吗？是否可以把未知的两个量都设出来？

详细的求解过程如下.

设鸡有x只，兔有y只. 根据题意，可得到两个方程，即x+y=35，2x+4y=94.

追问1 所得的两个方程含有几个未知数？（2个）它们代表的意义相同吗？（相同）

追问2 每个含未知数的项的次数是几？（1）

追问3 它们是整式方程吗？（是）

追问4 如果让你给这两个方程命名，你会怎样命名？

结合学生的回答，师生共同总结出二元一次方程的定义：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次數都为1的整式方程叫二元一次方程. 学生一开始没加“整式方程”这个条件，后经笔者提醒加上了. 在本题中，两个条件都要满足，因此可以将两个二元一次方程联立起来，得到二元一次方程组x+y=35，

2x+4y=94.

追问5 请你们尝试给二元一次方程组下定义.

把含有两个未知数的一次方程联立在一起，就组成一个二元一次方程组.

追问6 这两种方程方法之间有联系吗？试着解解看.

仔细观察，可以发现方程2x+4y=94与一元一次方程2x+4（35-x）=94类似，唯一不同的是y和（35-x）. 而由方程x+y=35可以得到y=35-x. 这就是说，想要解二元一次方程组，可以先将其中一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程中，这样就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程了. 因此，虽然这两种方程未知数的个数不同，但本质是一样的！（这就是代入消元法，但教师此时暂且不予命名）

问题4 认识了二元一次方程和二元一次方程组，下面我们来看看如何找到它们的解.

追问：你能写出二元一次方程x+y=35的解吗？

学生畅所欲言，说出了x=0，

y=35；x=1，

y=34；x=0.5，

y=34.5；x=0.01，

y=34.99…

此时有学生指出，这里的x和y分别是鸡和兔的数量，应该是正整数，因此只有有限对正整数解. 于是学生列表如表1所示.

由表1可知，x每增加1，y减少1，但x与y的和始终是35，因此共有34对正整数解.

方程2x+4y=94呢？同样可以直接列举. 但有学生发现了公因数2，于是方程两边同时除以2，得到x+2y=47. 想要找到这个方程的正整数解，要先确定x还是先确定y呢？如果先确定x，则y不一定是整数，但反过来，如果y为整数，则x一定为整数. 因此，从y入手比较合理. y的最小取值为1，然后依次增加1，最大取值为23，所以共可以找到23对正整数解. 列表如表2所示.

总结：学生发现，一个二元一次方程的解有“无数对”，但如果加上一定的限制条件，如本题中的未知数为正整数，则解就可能变成“有限对”.

问题5 如何找到二元一次方程组的解呢？

前面提到，两个方程中的未知数代表的意义相同，所以学生一致认为二元一次方程组的解就是两个二元一次方程的公共解. 但从表格中看，公共解应该在省略号的部分，那该怎么办呢？总不能把所有解都写出来吧？

正当大家都一筹莫展的时候，有学生指出，我们就是要找表格中的某两列，它们的x和y分别相同. 我们不妨先把x表示出来，第一个表格中的x=35-y，第二个表格中的x=47-2y，所以我们只需要解出35-y=47-2y这个方程，就可以找到y了. 此时全班响起雷鸣般的掌声. 这名学生很了不起，他抓住字母代表的意义相同，想办法把两个二元方程转化成一个一元方程.

此时，又有一名学生想到了，两个表格中的x既要满足x+2y=47，又要满足x+y=35. x是相同的，那么2y就要比y多出47-35=12，即y =12，所以x=23. 全班再次响起雷鸣般的掌声. 接着，笔者请一名学生点评一下刚才这名学生的回答，他由衷地表扬了这名学生，说他善于观察和发现这两个方程的特点，抓住相同点和不同点后很快便找到了公共解.

总结：今天有三名学生发现了解二元一次方程组的方法，即可以在其中一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程，从而达到消元的目的；也可以将两个方程中的同一个未知数用另一个未知数表示，这也能达到消元的目的；还可以利用方程中系数的特点，直接将两个方程作减法，一下子得到其中一个未知数的值，其本质也是消元. （这就是加减消元法，但此处暂且不予命名）可见，在解方程组的过程中，一定要仔细观察各方程的特点，这样才能找到最好的解决方法.

问题6 为什么从两个表格中寻找公共解，只有一对呢？会不会有遗漏？

这个问题可以用“追问2”中的答案来加以解释：既然二元一次方程组都可以通过先表示后代入的方法转化为一元一次方程，而一元一次方程只有一个解，所以二元一次方程组也自然只有一对解.

延伸问题 二元一次方程组会不会出现无数对解或无解的情形？什么情况下会出现无数对解或无解呢？

教学思考

1. “鸡兔同笼”，不二选择

学生对“鸡兔同笼”问题有所认识，所以选择这个问题作为引入，这符合学生的学习实际. 大多数课例选择“鸡兔同笼”问题是为了引出二元一次方程组的概念，很多教师教学时列出方程组之后就认为引入失去了价值，等到学完解二元一次方程组之后，再回过头来解决“鸡兔同笼”问题，这貌似达到了前后呼应的效果. 但为什么要等到学完解法后才回来解这个二元一次方程组呢？这样能真正引发学生的认知冲突吗？我们趁热打铁，抓住这个真实的探索机会，在学生最有解决热情和强烈好奇心的时候解决岂不更加自然？

作为二元一次方程组的引入材料，“鸡兔同笼”问题并不是最好的，因为学生会认为，算术方法和一元一次方程方法已经非常完美了，没有必要再增加一种，学生也感受不到设两个未知数的必要性. 究其原因，是鸡和兔的头都只有一个，所以很容易根据其中一个数量表示出另一个，设一个未知数就够了. 更好的背景材料应该是两个未知量的系数都不为1 ，这样学生会觉得表示起来比较麻烦，还是设两个未知数比较方便.

本节课之所以选择“鸡兔同笼”问题并将其进行到底，主要有三个原因：第一，它是历史上的经典问题之一，承载着了解数学文化的作用，并且解决它的方法有很多种，如小学的算术方法、初中的方程方法，而方程方法既有七年级的一元一次方程方法，又可以引出新的方程组. 学生会发现，二元一次方程组是最为直接的一种方法. 为了衔接小学和中学，承上启下，“鸡兔同笼”问题是个很好的材料. 第二，可以起到统领全章的作用，本章主要研究二元一次方程组的概念、解法和应用. “鸡兔同笼”问题学生已经很熟悉，既可以引出二元一次方程，又可以引出二元一次方程组，还可以进一步探讨如何求解方程和方程组. 在探讨的过程中，学生主要采用交集法，根据二元一次方程组的定义将解二元一次方程组转化为解两个二元一次方程，即用枚举法分别找到两个二元一次方程的正整数解. 另外，“鸡兔同笼”问题是一个实际问题，学生能感受到方程组的实际应用. 第三，也是最重要的，在对三种方法的比较和对方程组解法的探究的过程中，代入消元法和加减消元法若隐若现，就差捅破那层窗户纸了. 虽然这两种解方程组的方法学生都能理解，也很快能学会，但真正能自己发现却不是件简单的事情. 通过这节统领课，学生有了消元的意识，经历了消元的初步尝试，也感受到了将未知问题转化为已知问题的快乐，这为他们理解后面的课程起到了很好的铺垫作用. 所以说，“鸡兔同笼”，同又不同.

2. 一题多解，多解归一

我们往往更关注几何题的一题多解. 本节课就“鸡兔同笼”问题探讨了3种解法，前两种解法（算术方法和一元一次方程方法）学生比较熟悉，得来不费吹灰之力，第三种解法，学生列出二元一次方程组也没有什么挑战. 那为什么要用这么多种方法呢？关键在于要找到三种解法之间的联系. 假设全是兔的算式，实际上就是解一元一次方程时变形过程的最后一步，但必须借由这种形式才能发现. 这是算术方法与一元一次方程方法之间的联系. 比较一元一次方程和二元一次方程组的形式，可以发现代入消元法能将二元方程转化为一元方程. 所以，这几种方法的本质是一样的！

另外，本节课站在小学解法的基础上，找到了二元一次方程组的代入消元法、加减消元法等方法. 通过观察一元一次方程和二元一次方程组的形式，学生发现了代入消元法. 在运用交集法寻找方程组的解时，学生遇到了困难，但这是他们最直接的想法. 继续观察两个方程的形式，结合二元一次方程组的解的“本质”，学生发现了加减消元法. 如此种种，学生达到了从小学到中学的自我超越！从中，学生既能感受到数学的逻辑巧妙，又能体会到这种神奇巧妙是自然、合理的.

其实，一题多解的重点不是为了多解，更重要的是多解归一. 为什么既要“多解”又要“归一”？因为“一”是简易的，“一”是通用的，“一”是无所不在的. 这与波利亚的解题理论四步骤中的第四步“总结反思”是一致的，即要反思多种方法的共性，理解问题的本质. 接下来还要一以贯之，因为一以贯之才能形成习惯，才能让它变成自己的思维方式. 当然，这个“一”是不断融合更新、不断变化完善的. 另外，本节课用“鸡兔同笼”问题一以贯之，一线到底，不仅渗透了方程思想，在列表格求解二元一次方程時还渗透了“函数思想”——为了找全所有的解，学生不得不关注到x与y的变化，于是便有了根据一个未知数的值确定另一个未知数的值的“确定”意识.

小结

数学教学不仅是为了解决某个问题，更重要的是思考如何解决一类问题，甚至更大的一类问题. 波利亚主张选择一个有意义且不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面. 本节章节统领课，旨在把“鸡兔同笼”问题变成一个数学问题，给出求解的一般方法——运算程序. 不仅如此，也引领学生看到“二元一次方程组”全章的整体结构，未见树木，先见森林，为接下来的细节学习奠定基础. 到了高中，学生还可以进一步从解析几何、向量的角度去解读……在这一过程中，学生会不断感悟，理解抽象、推理、直观的作用，得到新的数学模型，提升思维品质，扩大应用范围，提升关键能力.

作者简介：陈静（1983—），硕士研究生，中学一级教师，获南京市第二届“鼓楼区优秀青年教师”和南京市第三届“鼓楼区学科教学带头人”荣誉称号.