技术搭台觅本质，深度探究现通法

崔豪东　方处云

［摘  要］ 信息技术与深度探究的融合发展，不是让信息技术来刺激眼球，而是在必要的时刻来推波助澜，让学生去深度探究知识本质，发现解题通法，进行高效的课堂学习.

［关键词］ 信息技术；深度探究；GeoGebra软件；动点路径；图形变换

《教育信息化2.0行动计划》指出：“应将教育信息化作为教育系统性变革的内生变量，支撑引领教育现代化发展，推动教育理念更新、模式变革、体系重构. ”信息技术下的数学课堂既要达成教学模式变革的新时代要求，又要让课堂成为培育学生实践与创新的摇篮. 今年，笔者有幸开设了以“技术支持下的初中数学创新课堂教学”为主题的市级公开课“动点路径与图形变换”. 下面笔者呈现本节课的教学背景和教学过程，并结合本节课谈谈对信息技术与深度探究融合发展的一些思考.

教学背景

动点路径问题是一类抽象程度较高、思维深度较大的数学问题，它是九年级常考的一类问题. 依托粉笔黑板，以传统的讲授法去教学，学生无法直观感受动点的变化，教师很难讲清，学生很难理清，课堂沉闷无趣. 借助信息技术，以简单的演示法去教学，学生虽能直观观察到动点的运动，但由于视觉直接，未经思维推理，难以显现通法. 因此，笔者在“信息技术何时亮相，深度探究如何开展”上进行了深入思考，以期促进信息技术与深度探究高效融合发展，经过三次磨课、三次修改，本节课得以成型. 适时引入信息技术手段，助力学生深度探究，思考此类问题的本质，彰显解决问题的通法，这是本节课的全新探索和大胆尝试.

教学过程

1. 探究激发猜想，技术展露风采

问题1  如图1所示，点P在线段MN上运动，A是MN外一定点，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，AP=AQ，试探究点Q的运动路径.

师生活动1：教师呈现问题1，给足时间让学生思考. 学生思考后分享自己的想法.

生1：如图2所示，我先让点P与点M重合，找到点Q所在的位置M′，再让点P与点N重合，找到点Q所在的位置N′. 连接M′N′，我发现点Q就在线段M′N′上运动.

生2：如图3所示，我和生1一样，先找到了点M′和点N′. 接着我在线段MN上取两点P和P，然后让点P分别与P，P重合，找到点Q所在的位置P′，P′，我发现点P′，P′也在线段M′N′上.

生3：可以尽可能多地在线段MN上取点P，P，P，…，然后让点P分别与P，P，P，…重合，找到点Q所在的位置P′，P′，P′，…，点P′，P′，P′，…应该都在线段M′N′上.

师生活动2：教师引导学生利用平板上的GeoGebra软件作图验证，并利用平板的屏幕巡视功能及时查看学生的作图情况，当学生遇到作图难点时适时介入.

生4：作好线段MN和点A后，我在线段MN上任取一点P，连接线段AP，接着如何作出点Q呢？

师：点P和点Q有什么变换关系吗？

生5：点Q可看作点P绕点A逆时针旋转90°得到的. 首先点击“变换—旋转”的命令，接着依次选中点P（旋转对象）和点A（旋转中心），然后输入90°（旋转角度），即可得到点Q.

生6：如图4所示，我在线段MN上取点P，P，P，P，P，然后让点P分别与P，P，P，P，P重合，借助GeoGebra软件的旋转变换功能，找到点Q所在的位置P′，P′，P′，P′，P′. 经验证，点P′，P′，P′，P′，P′都在线段M′N′上.

生7：如图5所示，借助GeoGebra软件的显示轨迹功能，我拖动点P使其在线段MN上运动起来，点Q的运动路径就形成了. 可以看到，点Q的运动路径是线段M′N′.

生8：生7借助技术，使点P取遍了线段MN上的每一个点，找到了点Q走过的每一个位置. 完美地验证了点Q的运动路径是线段M′N′.

师生活动3：小组成员相互合作，完成作图的学生去指导未完成作图的学生，确保每一位学生都经历取点个数“由少到多”的作图过程，成功验证点Q的运动路径是线段M′N′.

生9：如图6所示，我和组内同学借助GeoGebra软件的旋转变换功能，把线段MN（点P的运动路径）绕点A逆时针旋转90°得到线段M′N′，就把线段MN上的每一个点P经旋转变换后的对应点Q全部找到了，可以发现点Q的运动路径是线段M′N′.

生10：在顯示动点路径时，我发现点Q是由点P绕点A逆时针旋转90°得到的，所以点P的运动路径MN绕点A逆时针旋转90°就能得到点Q的运动路径M′N′.

生11：这道动点路径问题与图形的旋转变换有关系，即只需知道动点P与动点Q之间的旋转变换关系，就可确定点P的运动路径与点Q的运动路径之间的旋转变换关系，因此把点P的运动路径进行对应的旋转变换即可得到点Q的运动路径.

生12：旋转不改变图形的形状和大小. 点P的运动路径是线段，点Q的运动路径也是线段（形状相同），而且点P与点Q的运动路径的长度相等（大小相同）.

2. 触类何以旁通，再借技术探秘

问题2  如图7所示，点P在线段MN上运动，A是MN外一定点，Q为AP上一点，AQ=AP，试探究点Q的运动路径.

师生活动4：教师呈现问题2，给足时间让学生思考. 学生思考后分享自己的想法.

生13：如图8所示，我先让点P与点M重合，找到点Q所在的位置M′，再让点P与点N重合，找到点Q所在的位置N′. 连接M′N′，我发现点Q在线段M′N′上运动.

生14：如图9所示，我和生13一样，先找到了点M′和点N′. 接着在线段MN上取两点P，P，然后让点P分别与P，P重合，找到点Q所在的位置P′，P′. 我发现点P′，P′恰好在线段M′N′上.

师：你们认为点Q的运动路径是什么？

生（齐声）：线段M′N′.

师生活动5：教师引导学生利用平板上的GeoGebra软件作图验证，并利用平板的屏幕巡视功能及时查看学生的作图情况，当学生遇到作图难点时适时介入. 学生深刻体会作图过程，积极分享对问题的认识.

师（发现作图难点后）：作好线段MN和点A后，在线段MN上任取一点P，连接线段AP，接着如何作点Q呢？

生15：点Q可看作点P以点A为位似中心、按位似比缩小得到的. 首先点击“变换—位似”的命令，接着依次选中点P（位似对象）和点A（位似中心），然后输入（位似比），即可作出点Q.

生16：借助GeoGebra软件的显示轨迹功能，我拖动点P使其在线段MN上运动起来，点Q的运动路径就直接显现出来了. 可以看到，点Q的运动路径是线段M′N′.

生17：借助GeoGebra软件的度量长度功能，我度量出线段M′N′和线段MN的长度，然后借助GeoGebra软件的数据计算功能，计算出=0.75，也就是M′N′=MN.

生18：因为点Q可看作点P以点A为位似中心、按位似比缩小得到的，所以点Q的运动路径M′N′可看作点P的运动路径MN以点A为位似中心、按位似比缩小得到的.

生19：位似不改变图形的形状，但会把图形按照相应的位似比放大或缩小. 点P的运动路径是线段，点Q的运动路径也是线段（形状相同），点Q的运动路径的长度等于点P的运动路径的长度乘.

3. 技术踏月留痕，寻迹领悟精髓

问题3  结合问题1、问题2，谈谈动点路径问题（双动点旋转位似类）的解题策略.

师生活动6：教师呈现问题3，告知学生动点P、动点Q可分别称为“条件动点”和“目标动点”，然后让学生思考后分享自己的想法.

生20：旋转和位似都不改变图形的形状，所以条件动点P的路径是“线”，目标动点Q的路径也是“线”.

生21：两点确定一条直线，因此要确定目标动点Q的路径只需确定其路径的两个端点即可.

生22：旋转不改变图形的大小，但位似会改变图形的大小，所以要计算目标动点Q的路径长度，只需关注条件动点P到目标动点Q的变换中是否存在位似变换.

生23：若不存在位似变换，则目标动点Q的路径的长度等于条件动点P的路径的长度；若存在位似变换，则目标动点Q的路径的长度等于条件动点P的路径的长度乘位似比.

生24：如果条件动点P的路径是“圆（圆弧）”，那么目标动点Q的路徑也是“圆（圆弧）”. 由于确定圆（圆弧）只需确定其圆心和半径，因此确定目标动点Q的路径只需确定圆心和圆（圆弧）上一点.

……

4. 深化思维印记，智慧引领创新

问题4  （2022年鼓楼二模第22题改编）如图10所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，E为线段AB上一动点，∠ECF=90°且CF=CE，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径的长为______.

师生活动7：教师呈现问题4，先让学生独立思考，再让学生分享不同的解法.

学生解法1（通法）：如图11所示，当点E分别与点B，A重合时，找到点F所在的位置F，F，则点F的运动路径是线段FF. 连接CF，因为△FAC∽△ABC，且相似比为=，所以FF=AB=，即点F的运动路径的长为.

学生解法2（巧法）：点F（路径）可看作点E（路径）先绕点C逆时针旋转90°，再以点C为位似中心、按位似比缩小得到的. 所以点F的运动路径的长为AB=.

教学反思

技术支持下的初中数学课堂教学是一种新型的教学模式，是未来教学发展的必然趋势. 信息技术是深度探究的助推器，在让学生更好地参与、体验和感悟方面能发挥关键作用，真正实现课堂教学的创新. 要使信息技术与深度探究能够融合发展，数学课堂教学应努力做到以下三点：

1. 全面搭建技术平台，突破瓶颈寻觅本质

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“教学时可利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构. ”借助数学专用软件搭建技术平台，能够解决传统教学不能解决的问题，快速寻觅问题的“根”与“本”. 在本节课中，当学生遇到探究瓶颈（无法尽可能多地在线段MN上取点）时，教师利用平板为全体学生全面搭建了继续探究的平台，引导学生利用平板上的GeoGebra软件深入探究，在探究中寻觅并领悟动点问题的本质是图形间的变换.

2. 有效加工逻辑组合，精准构图全新建模

《教育信息化十年发展规划（2011—2020年）》指出：“要利用信息技术开展启发式、探究式、讨论式、参与式教学，鼓励发展性评价，探索建立以学习者为中心的教学新模式. ”在信息技术环境下，几何探究式、课堂讨论式、全体参与式教学可尽情开展，逻辑思维可奋起飞跃. 几何语言包括文字语言、符号语言和图形语言，理清三种语言之间的逻辑联系是几何教学的应然追求. 在本节课中，学生有效组合题干中的文字语言、符号语言和图形语言，借助GeoGebra软件的图形变换功能完成精准构图，这是对抽象问题全新建模的探究学习过程.

3. 多维开展实验探究，深化思维彰显通法

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“‘图形的变化’应强调从运动变化的观点来研究图形，理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量. ”运用技术手段，数学实验能够“操作”起来，学生的思维也能“蹦跳”起来，解题方法自然就显露出来了. 在本节课中，学生借助GeoGebra软件，从图形变换的视角开展实验探究. 不同的学生探究的维度不同，但在实验操作和交流分享中对问题都有了深层认识，学生的思维水平也在螺旋式上升，感悟出动点问题的通性通法，并能利用通法甚至巧法解决此类问题.

综上所述，信息技术与深度探究可以融合发展，能收获极佳的教学效果. 本文所述的教学课例，全面诠释了信息技术与深度探究如何融合发展，它可以推广到许多抽象的几何问题的探究教学中，如“SSA”问题、将军饮马问题、圆周角定理证明、直线与圆的动态位置关系问题等. 积极开发技术支持下的教学范例，应成为一线教师的一项重要任务. 唯有如此，信息技术与深度探究才能更开放、更适合、更持久地融合发展.

作者简介：崔豪东（1991—），本科学历，中学二级教师，主要从事数学教育与信息技术融合研究，曾获南京市数学基本功大赛一等奖、南京市数学优质课大赛一等奖.