HPM视域下“数学阅读”助推有效教学的探究

［摘  要］ HPM视域下的“数学阅读”是指借助史实资料启思激趣、拓展视野、挖掘潜能. 当前的“数学阅读”现状不容乐观，学生存在怯阅读与被动读的现象，教师存在欠重视与欠底蕴的情况. 文章结合HPM阅读的意蕴，提出“数学阅读”助推有效教学的措施有：构建阅读情境，启智激思；阅读复述实验，发展认知；人文故事阅读，文化熏陶.

［关键词］ HPM；数学史；阅读

1972年，在第二届国际数学大会上，数学史和数学教学关系国际研究小组（简称HPM）的成立标志着这一学术领域的诞生. 虽然HPM已经诞生了五十多年，但我国从2005年才真正关注到这一领域. 近年来，关于HPM的研究文献呈现逐年增多的趋势，但大部分研究都聚焦于数学史的价值，关于实践实证的研究虽然有一些，却比较单一. 为此，笔者基于HPM视域下的“数学阅读”促进有效教学进行了大量研究，现与同行分享.

“数学阅读”现状分析

提到“阅读”这个词语，我们的第一反应是文科类的阅读. 其实，良好的“数学阅读”能力对数学教学有着重要的促进作用. 调查发现，当前的数学教学在“数学阅读”方面存在以下问题.

1. 学生情感方面——怯阅读

当数学教材上呈现出关于数学史方面的阅读材料时，有些学生会选择直接跳过. 交流发现，这些学生对于与数学史有关的阅读材料有一种“胆怯”心理，觉得自己读不懂，即使读懂了，对解题也没有什么帮助. 正因为这种害怕阅读的心理，导致很多学生在“数学阅读”方面呈现出恶性循环，读得越少，越不想读，越惧怕读，不读自然没有收获与感悟.

2. 学生主动性方面——被动读

教师虽然安排了相关的“数学阅读”内容，学生却因为缺乏学习主动性，不愿意参与阅读或为了完成任务而被动地象征性地读一遍. 这种缺乏主动性的阅读是空洞、无内容的阅读，学生在“不走心”的状态下，只是完成了教师所布置的任务，不带思考地去读，最终因阅读内容单一、机械、零碎，颗粒无收.

3. 教师观念方面——欠重视

有些教师本身就存在“重解题，轻阅读”的心理，对“数学阅读”没有引起足够的重视，在教学中不仅不会向学生渗透阅读的重要性，还会选择直奔主题地授课，忽视教材文本中的阅读指导内容. 在这種背景下，学生自然不会重视“数学阅读”，更无法形成良好的“数学阅读”习惯.

4. 教师能力方面——欠底蕴

有些教师完全拘泥于教材，本身的数学文化底蕴不够，无法在“数学阅读”方面给予学生充足的指导，导致学生无法获取合适的阅读材料. 即使这部分教师自身重视“数学阅读”，也会因认知水平的限制，而无法给予学生科学、合理的指导，造成学生的阅读得不到及时、准确的反馈与鼓励，以致严重消减了学生的阅读积极性，阻碍了学生阅读习惯的培养.

以上几种情况阻碍了学生在“数学阅读”方面的发展，致使HPM的落实受到了阻碍，这也是造成数学核心素养目标无法落地生根的原因之一.

解读HPM阅读的意蕴

1. HPM阅读的内涵

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的缩写，意指数学史和数学教育的融合. HPM阅读一般指以某个知识点的数学史相关材料作为阅读内容进行阅读、分析、领悟的过程. 学生在HPM阅读过程中，通过阅读、实验、复述、感悟来理解数学知识的来龙去脉，并在深度阅读中感知数学思想与认知的同化意义建构，实现唤醒原有认知、激发潜能、启迪心智等作用，从本源上为提升学生的数学文化素养奠定基础［1］.

2. HPM阅读的特性

（1）历史情境性

HPM阅读最大的特点就是数学史的重现. 学生所接触到的数学概念、定理、法则等都是前人提炼、总结的成果. 至于它们的由来，则可通过HPM阅读来获知. HPM阅读材料能将数学知识的形成与发展过程情境再现，学生能从中感知数学思想的变通与融合，追根溯源到数学知识的源头，为揭示知识本质做铺垫.

（2）知识系统性

HPM阅读与普通阅读最大的区别在于，它能将零散的数学知识“串珠成链”，学生能从丰富的阅读材料中感知知识从何而来，如何来，到哪儿去. 这也是回归到知识的起源，从其发展进程出发，让学生明晰其应用价值的过程. 学生在阅读中能主动地深层次建构知识脉络，组建完整的知识网络，领悟数学思想方法等，能为后续解题夯实基础.

（3）文化育人性

每一个知识的形成背后都凝聚着数学家大量的汗水，有些知识经历了成百上千次的重构才有今天的成就. 带领学生阅读知识背后的故事，往往能有效激发学生的科研精神. 有很多数学成就起源于中国，中国数学家的钻研精神与爱国精神等都具有良好的育人价值. 学生从大量的阅读材料中可以感知到数学学科独有的理性精神，以及先人们在生活实践中追求真理的创新精神，这能为促进学生形成正向的数学观奠定基础.

（4）素养提升性

徐利治先生认为，新课改背景下的数学教学应该是融合数学史的教育，要充分发挥数学史的教育价值与功能. 对于数学教学，HPM阅读的优势在于其具有能高度融合数学史与教学内容的特点，能从根本上提高学生的数学综合素养［2］. 学生在HPM阅读中，能基于自身的认知水平与学习经验理解阅读材料，并与史实进行深层次的对话，这能让他们对数学史形成辩证的认识.

HPM阅读促进有效教学的措施

设计HPM阅读应将一个知识的“前世今生”系统地整理出来，并将其中蕴含的数学思想方法体现在阅读材料中，让学生在感知前人的智慧的同时建构有意义的知识体系. 当然，数学HPM阅读并不单纯是课堂上的事情，还需要家校联动、通力合作，这样学生才能获得丰富的阅读资源，形成良好的沟通环境，实现高质量的阅读成效.

1. 构建阅读情境，启智激思

（1）思维导图助力HPM阅读

思维导图具有条理清晰、主题明确、短小精悍等特点，在各学科的教学中，应用频率越来越高. 借助思维导图实施HPM閱读，能让学生从某一范畴内的具体实例中抽象出知识的主要特征，发现事物的重要属性，并将这些特征与属性综合在一起形成一个有组织结构的概括.

思维导图能帮助学生根据数学事物的具体特征，结合不同的概括方法，在长时记忆中存储相关原理、事实与理论. 这种启发学生智慧、激活学生思维的阅读方式是鉴别知识与知识之间联系的重要途径，能为促进学生形成良好的逻辑推理与解决问题的能力奠定基础.

教材中的数学史一般以文字的方式呈现；而关于几何方面的史料，则常以图文结合的方式呈现. 如人们熟悉的勾股定理的证法示例以及黄金分割等的相关实例，都是以文字或图文结合的方式呈现. 教师在指导学生阅读这部分内容时，可设计教学场景，进一步对史料进行拓展与延伸，将与之相关的数学家、具体发现的内容、时空情境、知识内外转化等进行融合，并以思维导图的方式进行阅读材料的整理.

学生能从条理清晰的思维导图中体验到知识的由来，感知知识形成的坎坷，领悟数学思想方法在数学知识的形成与发展中起到的作用. 在充分了解知识的“前世今生”后，学生则会尝试用数学的思维去思考问题，用数学方法去探寻解决实际问题的方法.

（2）信息技术驱动HPM阅读

随着时代的发展，近年来信息技术在助推学科教育教学方面取得了突破性的进展. 借助信息技术的先进手段驱动HPM阅读也取得了丰硕的成果. 教师利用信息技术手段巧妙地设计“数学阅读”材料，并以学生感兴趣的形式，让学生在丰富的场景与知识的演变中，切身体验数学家是怎样从生活中发现数学知识的，并在产生疑惑后是利用怎样的手段解决问题的.

场景的再现，将知识发展的典故、趣闻等，形象、生动地展示在学生面前，让学生有身临其境之感，从而更好地体悟知识的演变过程，起到启思激趣的作用. 此外，丰富的场景也能让学生充分感知知识源自生活，又反过来服务于生活的真谛.

2. 阅读复述实验，发展认知

数学实验是发展学生认知体系的良好方式，对促进学生的自我主体建构具有重要的意义. HPM阅读同样可以通过数学实验的方式带给学生亲身体验，带领学生突破传统意义上的阅读方式，将阅读上升到促进学生形成切身体验的范畴. 数学实验会带给学生一种多维、运动的场景，调动学生的多种感官系统参与到阅读中，直达知识本质，发展学生的认知.

从心理学的角度出发，机械重复地记忆数学概念、公式或运算法则等，难以真正地领悟其原理与内涵，但通过精细实验与复述的方式去挖掘其深层含义，则能揭示知识间的联系. 这种通过实验促使学生进行复述的方式，可充分调动学生阅读的积极性，能让他们将数学信息从工作记忆转化到长时记忆模式.

数学史并不是静止不变的，它具有动态发展的特性，我们每个人都在参与着数学史的发展. 因此，设计阅读时，教师可引导学生进行角色转化，鼓励学生从被动的聆听者转化成主动的叙述者，以训练学生的语言表达能力、理解能力与思维能力等，从而促进学生认知的发展.

案例1 “图形旋转”的教学.

为了训练学生的语言表达能力与阅读能力，教师可要求学生在课前收集一些关于“费马点”的史料，并自主制作成微课，到课堂上播放、交流.

学生从费马这个人物的简介开始，提出费马是法国著名的物理学家、数学家. 早在17世纪，不少人都在研究“在一个三角形内，哪个点和各顶点的距离之和最小”的问题，费马作为一个业余的数学家，第一个在△ABC内找到了能使PA+PB+PC的值最小的点P. 这一发现引起了数学界的轰动，该点也被命名为费马点.

在此基础上，教师再进行新课授课，学生的探究热情高涨，积极地探索费马点的作图方法及如何运用图形旋转进行证明，教学成效显著. 由此可见，丰富的阅读方式，能拓展视野、启思激趣、发展认知，能点燃学生的学习热情.

3. 人文故事阅读，文化熏陶

教师设置阅读任务时，若布置大量雷同的学习任务或搞题海战术，容易导致学生对这些单一的刺激丧失兴趣；若结合学生的认知需求，设置一些新奇的阅读材料，则不仅能增强课堂的趣味性，还能提高学生的文化修养.

案例2 “勾股定理”的教学.

勾股定理在数学领域中具有特殊的地位，古往今来研究勾股定理的人也特别多. 在本节课授课前，教师可从勾股定理相关的一些小故事出发，激发学生对这部分知识的研究兴趣.

《周髀算经》中记载了如下一个故事.

商高曰：“数之法，出于圆方. 圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三、股修四、径隅五. 既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三、四、五. 两矩共长二十有五，是谓积矩. 故禹之所以治天下者，此数之所生也. ”

从中可以看出在大禹治水时期人们就对“勾三股四弦五”有了初步认识，由此能让学生感受到知识源自实践.

除此之外，毕达哥拉斯发现勾股定理的故事也相当有趣. 他在朋友家等餐时，意外发现朋友家的地砖上的三角形的三条边向外各自延伸出正方形，巧合的是“两个小正方形的面积之和与大正方形的面积相等”. 由此，他展开猜想与证明，最终得到了著名的毕达哥拉斯定理.

这两个经典的故事，不仅充分说明了数学源自生活，还告诉学生要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，伟大的发现或许就在生活的不经意间获得.

总之，数学史承载着诸多教学信息，是连接现实世界与数学知识的重要纽带. 在HPM视域下设计阅读活动，可借助现代化技术、小故事等揭示知识本质，让学生深层次地认识知识内涵，提升“数学阅读”能力与文化素养，助力数学核心素养的形成与发展.

参考文献：

［1］张小明，汪晓勤. HPM的实践和若干启示［J］. 中学数学教学参考，2006（Z1）：117-120.

［2］邹佳晨，沈中宇，汪晓勤. 架设沟通数学史与数学教育的桥梁——基于HPM-2016的文献分析［J］. 数学通报，2020，59（12）：14-19+40.

作者简介：张世民（1979—），本科学历，一级教师，从事中学数学学科教学与研究工作.