高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力的尝试

刘晓苏

摘 要：以高中数学“数学抽象”核心素养为背景，高中数学教师应在实际教学工作中，尝试通过多种途径和手段培养学生数学抽象思维能力。文章以《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订，以下简称《课标》）对数学抽象的描述为依据，分析苏教版高中数学教材（以下简称苏教版教材）中的数学抽象，提出高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力的具体方法。文章还以苏教版教材为例，围绕所提出方法列举实例，意在与一线教师充分交流经验，培养学生数学抽象思维能力。

关键词：高中数学；数学抽象；思维能力

数学源于对现实世界的抽象，因此在高中数学教学中，数学抽象思维培养具有重要意义。新课标将高中数学学科核心素养划分为六个部分，数学抽象便是其中之一。高中数学教师应正确认识数学抽象的基本内涵与价值，进而在高中数学教学中，对学生数学抽象思维能力展开积极培养。苏教版教材被广泛应用于高中数学教学，其内容对培养学生数学抽象思维能力起着重要的帮助作用。下面将以其为例，通过案例分析探究高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力的具体方法。

一、数学抽象思维能力

《课标》指出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。数学抽象思维能力，是在数学抽象基础上形成的一种思维能力，包括“从数量与数量关系中抽象出数学概念”“从事物的具体背景中抽象出一般规律”等思维能力[1]。培养学生数学抽象思维能力，使学生能够通过不同的事物抽象理解数学的本质特征，是学生深刻掌握数学的必经之路，也是高中数学核心素养教学的必然要求。

二、苏教版教材中的数学抽象

数学是高度抽象的一门学科。此背景下，高中数学教材通常隐含丰富的数学抽象元素。比如：苏教版教材高一数学必修第一册“集合的概念与表示”“充分条件、必要条件、充要条件”“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”、高一数学必修第二册“向量基本定理及其坐标表示”“空间图形的表面积和体积”等内容，均隐含数学抽象元素，有助于培养学生数学抽象思维能力。高中数学教师应全面开发和应用苏教版教材，以便在高中数学教学中，实现对培养学生数学抽象思维能力的有效尝试。

三、高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力的方法

（一）立足核心教学内容培养数学抽象思维能力

高中数学核心教学内容包括数学概念、数学题目与数学实验，具有不同程度的抽象性。此背景下，教师可利用高中数学核心教学内容抽象性，培养学生数学抽象思维能力[2]。

1.数学概念：培养数学抽象思维能力的起点

高中数学概念教学规律为：引入概念、概括概念、明确概念、辨析概念、应用概念、纳入概念系统。其中，概括属性、明确概念、纳入概念系统，都与学生数学抽象思维能力的发展息息相关。教师可以将数学概念视为“起点”，培养学生数学抽象思维能力。

教学案例1：苏教版教材高一数学必修第一册“集合的概念与表示”

教师首先通过形象的“集合”案例引入概念，带领学生抽象概括数学概念。比如，教师首先为学生提供下面的“集合”案例：（1）北京、天津、上海等直辖市构成了“中国的直辖市”这一集合。（2）元

素C、h、i、n、a能够组成一个名为“China”的集

合。（3）1—10以内的所有质数组成一个集合，集合应包含2、3、5、7。其次，教师引导学生观察这些案例，使其发现案例共性，从中概括“集合”概念。

为使学生理解“集合是什么”，苏教版教材特别针对“集合的概念与表示”教学内容编排形象、具体的案例。教师打乱教材内容的探究顺序，以这些案例为起点展开教学，让学生从具体情境出发概括数学概念，能够使学生在“形象比较——抽象分析和概括”的过程中，实现数学抽象思维能力的有效发展。

2.数学题目：培养数学抽象思维能力的重点

高中数学题目抽象性不言而喻，有利于培养学生数学抽象思维能力。教师可以将例题分析视为培养数学抽象思维能力的重点，让学生在由浅入深的抽象分析中提高数学抽象思维能力。

教学案例2：苏教版教材高一数学必修第一册“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”

教师在“从函数观点看一元二次方程”方面，结合教材例1培养学生数学抽象思维能力。第一步，教师课件呈现例1内容，引导学生结合题意与证明过程，抽象分析二次函数与一元二次方程零点的联系。第二步，教师讲解“从函数的观点看，一元二次方程的根，就是函数值取0时函数自变量的值”等抽象的数学理论。第三步，教师使学生比较自己的结论和以上理论，让学生继续从函数观点看一元二次方程，完善自己的观点表达。

教师重视教材例题对培养学生数学抽象思维能力的重要价值，稳步引导学生抽象推理教材例题，可以重点发挥高中数学例题教学价值，实现对学生数学抽象思维能力的有效培养。

3.數学实验：培养数学抽象思维能力的焦点

实验作为高中数学核心教学内容之一，能够通过抽象计划与实践操作过程，培养学生数学抽象思维能力。教师还可以聚焦高中数学实验，以“先抽象计划，再实践操作”为焦点，对学生数学抽象思维能力展开培养。

教学案例3：苏教版教材高二数学选择性必修第一册“双曲线”

教师组织学生展开“双曲线与直线的位置关系”实验，进而使学生在空间几何关系的抽象探究中，发现数学抽象思维能力。具体过程中，教师使用GeoGebra几何绘图工具。教师提前立足智慧课堂，为学生准备GeoGebra几何绘图软件。课上，教师先示范几何绘图，通过软件绘制与对应的数学图形，为学生提供实验思路。紧接着，教师要求学生结合演示实验抽象思考实验计划，假设双曲线与直线的位置关系及其影响因素。最后，教师使学生在直线与双曲线解析式中代入具体数字，自主绘制新的数学图形，感受不同“数字”对双曲线与直线位置关系的影响。

實验为学生提供“化抽象为形象”的探究空间，同时满足学生的抽象探究需要。通过抽象计划、形象操作以及抽象分析实验操作结果，学生不仅发现双曲线与直线相交、相切、相离的数学规律，而且将数学抽象思维能力提升到更高层次。

（二）利用关键教学过程培养数学抽象思维能力

高中数学教学过程与学生抽象思维能力的发展密切相关，教学过程有助于学生思维活动，自然能在潜移默化中培养学生抽象思维能力，反之则不然。教师也应利用高中数学关键教学过程调动学生思维，培养其抽象思维能力[3]。而分析高中数学关键教学过程，其主要包括：导学过程、探究过程、应用过程。

1.导学过程：情境培养数学抽象思维能力

某种意义上，数学的抽象性决定了高中数学教学的枯燥性，使部分学生在高中数学教学中缺乏学习兴趣，不利于其数学抽象思维能力的培养。而在导学过程中创设生动情境，有助于改善此情况。高中数学教师可以借助生活元素与信息化手段，完善高中数学教学流程，发挥导学情境的积极作用培养学生数学抽象思维能力。

教学案例1：苏教版教材高一数学必修第二册“空间图形的表面积和体积”

一方面，教师通过“生活中的直棱柱”情境导入教学。教师提前在生活中收集符合棱柱、棱锥、棱台等空间图形特征的实物，进而将数学实物应用在教学导入过程，鼓励学生围绕实物情境想象不同空间图形的展开图，锻炼数学抽象思维能力。另一方面，教师通过信息化教学工具，向学生呈现不同空间图形的3D图，让学生继续观察不同的空间图形，想象其展开图与表面积、体积关系。

首先，情境具有生动性，能够激发学生学习兴趣，为在高中数学教学中培养学生数学抽象思维提供良好的学习心理环境。其次，想象是抽象的一种特殊形式。通过立足数学情境展开想象，学生在生动的数学背景下激活和运用数学抽象思维能力，可使教师有效培养其数学抽象思维能力。

2.探究过程：问题培养数学抽象思维能力

思维的提升与发展，是积极思考的必然结果。由此可见，高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力，应给予学生充足的思考引导。问题探究能够满足此要求。教师可以在高中数学教学探究过程中，有意为学生提供环环相扣的问题。这样，学生全面调动数学抽象思维探究问题串，自然能加强对数学抽象思维能力的训练，取得一定进步和成长。

教学案例2：苏教版教材高一数学必修第二册“向量应用”

教师立足向量在物理中的应用价值，根据学生抽象思维能力发展要求设计下面的问题串：（1）在

一个物理情境中，存在两个大小相等的共点力，如果当这两个力的夹角为90°时，合力大小为20N，那么当这两个力的夹角为120°时，合力大小为多少？你是怎样计算的？（2）已知河水的流速为每秒2米，现有以漂浮物沿垂直于河岸的方向，以每秒10米的速度向对岸漂浮，则该漂浮物在静水中的漂浮速度为多少？（3）有一艘船从南岸向北岸横渡，测量结果表示，本日水流速度为每小时3000米，水流方向为正东，风向为北偏西30°。受风力影响，船在静水中的漂行速度为每小时3000米，如果使其沿由南向北方向垂直于河岸的方向，以每小时千米的速度横渡，则船本身的速度大小是多少？船的航行方向是哪个方向？

问题抽象性由浅入深，符合教材编排规律以及学生在高中数学教学中的抽象思考规律。教师以问题引导学生，一边提出问题，一边为学生点拨抽象思考方向，逐步使学生深化抽象思考，培养其数学抽象思维能力。

3.应用过程：作业培养数学抽象思维能力

应用过程，也是理论实践过程。真正具有意义的高中数学教学应实现“理实一体化”，这要求教师在高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力时，既重视学生对理论的抽象分析，也关心学生在实践应用方面的抽象思考。而在实践应用方面，教师可以通过作业引导学生。教师可以精心设计高中数学课后作业，并且督促学生在作业方面灵活应用所储备的理论知识。学生每完成一项作业，都需要对作业内容与理论知识的关系展开抽象思考，从而继续发展其数学抽象思维能力。

教学案例3：苏教版教材高二数学选择性必修第一册“圆与方程”

教师基于“圆的综合应用”教学内容，为学生设计以下课后作业：截至2023年4月21日8时，2023年第1号台风“珊瑚”位于菲律宾马尼拉偏东方向约3790公里的西北太平洋洋面上，中心附近最大风力有8级（20米/秒），中心最低气压995百帕，七级风圈半径100～150公里。预计台风“珊瑚”将以每小时5～10公里的速度向西北方向移动，强度变化不大。那么在多长时间后，菲律宾马尼拉地区会受到影响？该影响持续多长时间？请以菲律宾马尼拉为坐标原点，建立平面直角坐标系进行解答。

作业围绕圆的综合应用问题展开，属于综合题，具有高度抽象性，要求学生在实践应用过程中，首先抽象分析台风形成与运动路径的数学特征，其次抽象分析题目内容，判断问题答案。教师将作业发布给学生，督促学生运用数学抽象思维能力完成作业，既能使学生巩固学习内容，又能增强学生数学抽象思维能力。

（三）借助自主学习模式培养数学抽象思维能力

归根结底，学生是思维和学习的“主人”。这也说明，高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力，需要重视学生的主体地位，让学生最大限度地经历抽象的思维活动过程[4]。对此，教师可以构建自主学习模式，在课堂适度

“放手”。

例如：苏教版教材高二数学选择性必修第一册“圆与圆的位置关系”教学，基于“圆的方程”以及“直线与圆的位置关系”学习经验，学生基本能对“圆与圆的位置关系”自主展开抽象分析。教师可以迁移任务型教学方法，设计“圆与圆的位置关系”任务型教学方案。课上，教师直接向学生出示任务要求，提示学生自主学习，抽象分析圆与圆的位置关系。课下，教师督促学生完成任务报告，使学生运用抽象的数学语言反馈自主学习成果。

高中阶段，学生已经掌握相对丰富的数学知识和技能，能够运用数学的思想和方法独立探究问题，同时在问题中抽象出数学本质。教师根据学生特点构建自主学习模式，为学生提供自主学习任务，让学生在自主学习过程中运用抽象思维，也是对学生数学抽象思维能力的培养。学生在自主学习过程中，可以选择始终保持独立的抽象思考状态，也可以自愿建立学习小组，深化数学抽象的相关交流。而无论选择任何一种自主学习方法，学生都能在加强抽象思考的过程中，实现数学抽象思维能力的进一步发展。

结束语

数学抽象是高中数学核心素养的重要组成部分，培养学生数学抽象思维能力，是高中数学教学的关键任务之一。文章探究高中数学教学中培养学生数学抽象思维能力的方法，得出一些结论。高中数学教师可以根据苏教版教材中的数学抽象，通过核心教学内容、关键教学过程与自主学习模式培养学生数学抽象思维能力，促进学生高中数学核心素养的形成与发展。其中，核心教学内容包括数学概念、数学题目与数学实验，关键教学过程包括导学过程、探究过程、应用过程。

参考文献

[1]袁志勇.新高考背景下培养学生数学抽象素养的策略探究[J].读写算，2022（16）：144-146.

[2]陈娟.高中数学教学中学生抽象能力的提升途径探究[J].文理导航（中旬），2022（6）：7-9.

[3]汤仲剑.高中数学核心素养之数学抽象思维培养策略[J].高考，2022（13）：57-59.

[4]黎方平，张丹.提升高中生数学抽象素养的途径[J].教育科学论坛，2022（10）：52-55.