基于核心素养导向的高中数学教学研究与实践

孙雷鸣

【摘要】“借助计算器观察函数递增的快慢”是上海普通高中数学教材《幂函数、指数函数和对数函数》章节的选修内容.在高一数学教材中，该节内容处在“指数函数”之后.在此之前，学生已经较为系统地学过线性函数、幂函数和指数函数等.文章深入剖析本课题教学内容，引入平均变化率，以问题驱动的形式让学生理解其意义.本课题的教学目的在于引导学生掌握研究问题的方法：“观察—归纳—猜想—证明”，进一步提高学生的数学探究能力、数学建模能力和数形结合的能力.

【关键词】数学核心素养；平均变化率；数形结合

一、教学内容分析

在前一节中，“银行的利息”和“人口的增长”两道例题让学生充分地体会到指数函数的“爆炸性”增长速度.试想当线性函数、幂函数和指数函数都为增函数时，指数函数为什么具有更为显著的“爆炸性”增长的特点？从数学的角度如何刻画和描述这个增长变化特征，就是本节课内容的基本出发点.

在研究函数递增快慢的过程中，引入平均变化率的概念，用数值进行比较，提供了分析函数增长快慢的数学模型.平均变化率是函数单调性的拓展和延伸，为今后研究导数的概念奠定了基础.

本节课授课的学生是高一新生，对计算器的使用不是很熟练，在本节课中将学习如何使用计算器的列表功能.目前，学生已基本掌握了幂函数、指数函数的一些基本性质，通过探究一些具体函数递增的快慢，能让学生对这些函数的性质有更深入的了解.

二、学情分析

作为高中数学教师，更应关注发展学生的数学学科核心素养，数学教学该怎么做？如何在课堂上有效地发展学生的数学学科核心素养？实践表明，教学研究是理念转化为实践的有效媒介，可以为教师提供理论与实践相结合的载体，为教师的教学实践提供有效的抓手.笔者聚焦于将学科核心素养转化为可操作的教学目标，明确教学方向；通过具体的课堂教学研究，落实培养学生数学学科核心素养，改进教学，立德树人.

本篇以“借助计算器观察函数递增的快慢”为例，开展以素养为导向的教学研究.本篇主要聚焦以下几点：

1.用数学问题引领实践创新———用数学问题开展自我导向的学习，课堂上我们有学习任务单，学生可以按照计划形成学习成果，并有自我评估意识.学生在不断提问和思考中，形成数学思维，在主动借鉴中取长补短，共同发展.

2.用学科核心素养让学生学会学习———让学生学会高阶思维，能够从现象中看到本质，提高学生动手实践能力.学生能够基于函数图像归纳和猜测结论，最终能够进行缜密的逻辑推理并得出結论.在探究过程中，学生能自己总结概念，且能对他人的观点进行质疑、批判，形成自己的解释并给出理论证明.

3.用小组协作相互启发评价———以小组形式共同完成任务单和课堂反思.课堂上，学生通过小组合作，完成计算器的操作和证明方法的选取，共同研究探讨.课后，完成任务单的课堂反思，实现自主评价，不断反思总结.

4.用计算器工具增强信息意识———体会信息技术的利弊.在本节课中，有些问题是可以使用计算器得到数据，再根据数据去猜测，学生可以体会信息技术带来的优势，同时需要严谨的代数证明，本节课学生可以体会不同处理方法的优劣势.

5.用数学思维感悟责任担当———建立正确的价值观.学生能在本节课学习中形成理性精神、科学责任、实证意识，增强数形结合的意识和能力，掌握由具体到抽象的研究方法，形成联系与变化的认识观.

三、教学内容

第一阶段：创设情境，引入课题

情境1：向高为H，体积为V的容器中注水，注满为止.图1是水深y与注水量x之间的函数关系的大致图像，问曲线①②分别对应右图的哪个容器呢？

由函数图像可以看出，随着注水量x的增加，曲线①的递增速度在减慢，图像上升趋势变缓，其原因是容器B平行于底面的截面的半径由下底面到上底面逐渐变大，所以曲线①对应的是容器B；曲线②的递增速度不变，所以曲线②对应的是容器A.

情境2：某地某段时间的气温变化图，横坐标是天数t，纵坐标是温度T.

观察图2中曲线的AB段和BC段，会发现BC段气温上升得快.而曲线AB段气温变化为15.1℃，曲线BC段气温变化为15℃，所以曲线AB段气温变化略大.那为什么反而是曲线BC段气温变化更快呢？因为曲线AB段所用时间为31天，曲线BC段所用时间为2天.快慢不仅要看气温变化的大小，还要看时间变化的长短.

在曲线BC段上，气温由18.6℃上升到33.6℃，说明在短短两天时间内，人们感受到天气突然变热了.从点B到点C气温值的“陡增”，在数学上要如何量化呢？由变化图可知只考虑气温差不够，还需要考虑时间差.

第二阶段：归纳探索，形成概念

1.结合实际，归纳总结

物理学中，速度表示物体运动的快慢和方向.在数值上，速度等于物体运动的位移与这段位移下所用的时间的比值.路程是时间的函数，温度也是时间的函数，包括前面高度是注水体积的函数，因此，将函数值的差比上自变量的差的比值称为函数的平均变化率.

2.共同探讨，形成概念

学生共同探讨研究，总结出函数平均变化率的概念.

情境3：

在实际生活中，我们不仅关心数量的增加，还关心增加的快慢.比如，粮食年年增加，人口也在增加，如果人口增加的程度超过了粮食产量的增加程度，那么有可能会发生粮食危机.人口、粮食模型比较复杂，教师可带领学生对比一些具体的、熟悉的函数递增的快慢情况.

设计意图：通过几个情境，引导学生观察图像，培养学生核心素养中的直观想象能力，使其能直观判断函数递增的快慢，给出函数递增快慢的猜测，并能叙述平均变化率的概念和计算公式.

第三阶段：掌握概念，学会运用

第四阶段：归纳小结，提高认识

函数递增的快慢是单调函数的重要性质.函数递增的快慢是平均变化率的“视觉化”，平均变化率是函数递增的快慢的“数量化”.“观察→归纳→猜想→证明”是科学研究的途径和路线之一，也必然是数学科学研究的途径和路线之一.数学教育家波利亚特别强调，在数学教学中既要有演绎推理，又要有合情推理，也就是说既教证明，又教猜想.本课的两个例题的教学过程，既是对这一教学理念的解读，又是数形结合的体现，从图像观察到理论证明到实际应用.

四、教學反思

本节课采用“观察—归纳—猜想—证明”的研究思路，让学生体会可以利用平均变化率来比较函数递增的快慢，为以后学习导数做好铺垫，也为今后进一步学习微积分奠定基础.

平均变化率可以正，也可以负.本节课没有涉及平均变化率为负值的情况.但学生一旦有了正的变化率的感知和理解之后，只要稍微点拨一下，就很自然地得到负的变化率的感知和理解.在例2中，本意是想让学生用代数证明的方法计算平均变化率，而学生理解成了公式的变形.只有少部分学生使用了数形证明，大多数在取特殊值并填表.自主的探究方法是好的，但是教师没有给出一个明确的研究方向.因此，教师不仅要给学生自主探究的空间，也需要适时地给一些解决问题的方向.

所以，总的来说，课堂上，教师要增加课堂情趣，加强直观到抽象的引导，在数形结合和情境认知中发展学生的抽象思维能力、符号意识，强化课堂的基础训练，提高学生解题的速度和效率.

【参考文献】

[1]严桂光.核心素养背景下的高中数学课例研究与实践———以“直线与平面垂直的判定”为例[J].新课程评论，2018（4）：65-74.

[2]林立新.浅谈中数教学中学生推理能力的培养[J].飞（素质教育版），2014（3）：98.

[3]傅艺珊.基于核心素养导向的高中数学智慧课堂教学设计———以人教A版《椭圆及其标准方程》为例[J].福建中学数学，2022（01）：41-44.