碰撞问题中的动量和角动量守恒辨析

邱红梅,秦吉红,徐 美,刘丽华

(1. 北京科技大学 应用物理系,北京 100083;2. 北京科技大学 物理系,北京 100083)

碰撞指两粒子或物体间极短的相互作用,是中学物理和大学物理中的典型力学问题.力学体系中的守恒量因其对应着体系所具有的不同的对称性,已成为物理学中的一个特别重要的现象,具有丰富的物理内涵,对其概念的把握和守恒条件的辨析则是物理教学中的重点[1].中学物理中常涉及的是平动中的碰撞问题,比如两球的碰撞等,此时一般认为碰撞时的内力远大于外力,因此外力可略,碰撞系统动量守恒;再比如冲击摆[2]的问题,如图1所示,子弹射向一用轻绳连接的质量为M的物体,轻绳悬挂于O点,质量可略.无论子弹与物体的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞,碰撞时间都很短,可以认为在此过程中物体仍然保持在竖直位置,而且由于轻绳不能产生垂直于绳子方向的作用力,因此轻绳不会对物体提供水平方向上的作用力.在这种情况下,子弹和物体组成的系统在水平方向上所受的合外力为零,因此系统在水平方向上动量守恒.

图1 冲击摆

这些图像大部分同学已经烂熟于心,甚至想当然地认为所有碰撞都应动量守恒;然而在大学物理中,讨论更多的则是涉及转动的碰撞问题,多数情况下只满足角动量守恒条件而不满足动量守恒条件.对初次学习大学物理的同学而言,往往习惯性地使用动量守恒来解决碰撞问题,对这两种守恒定律的区别通常也是知其然而不知其所以然.常见的大学物理教材在涉及这类问题时,虽然会提及“注意系统动量不守恒”[2,3],但多为一笔带过,没有对其根本原因进行深入探讨.目前已有多篇讨论碰撞问题角动量守恒的论文[4-13],但鲜有涉及力的定量计算.本文以刚体力学中最典型的物体与直杆的碰撞问题为例,从受力的角度对动量守恒和角动量守恒定律的应用条件进行辨析,以期加深学生对角动量守恒定律的理解.

如图2所示,设一质量为M、长度为L的直杆,可绕通过其顶端并与杆垂直的光滑水平O轴转动,杆对O轴的转动惯量为JO,初始时杆悬垂于竖直位置.一质量为m的物体以速率υ0水平射向直杆并在距O轴l处和杆发生碰撞.求碰后瞬间杆绕O轴的角速度的大小ω.为了辨析清楚,我们分以下几种情况讨论.

图2 物体与杆的碰撞示意图

1 物体与杆发生完全非弹性碰撞

假设物体为子弹,当其射入杆后停在杆中,即子弹与杆发生完全非弹性碰撞.将子弹和杆作为研究系统.碰撞过程中系统受到的外力为重力和O轴对杆的作用力(称为轴反力).以轴心为参考点,竖直位置时重力不提供力矩,轴反力通过轴心也没有力矩,因此,在碰撞过程中系统角动量守恒.以垂直纸面向外的方向为角动量的正方向,有

mυ0l=(JO+ml2)ω

(1)

其中rc为杆的质心到轴心的距离.碰前系统的动量大小p初=mυ0.显然,只有当JO=Mrcl时,碰撞前后系统的动量相等,碰撞过程才有可能动量守恒.

常见的错误做法是,认为这种碰撞在水平方向上动量守恒,也就是默认碰撞过程中子弹与杆之间的碰撞力(系统内力)远大于轴反力(系统受到的外力),即轴反力可略.但是,这里的轴反力真的可以忽略吗?

(2)

由式(2)可知

若子弹射入均质杆,则有

图3 均质杆上平均轴反力水平分量与碰撞位置的关系曲线

2 物体与杆发生完全弹性碰撞

如果将1中的子弹换成橡皮小球,和杆发生完全弹性碰撞.与1的分析类似,相对于O轴,小球与杆组成的系统仍可认为角动量守恒,即

mυ0l=JOω+mυl

(3)

式中υ为碰后瞬间小球的速率.由于小球与杆之间发生的是完全弹性碰撞,因此碰撞前后二者与地球所构成的系统机械能守恒;又由于碰撞前后系统的势能保持不变,因此碰撞前后小球与杆的动能之和保持不变,即

(4)

由式(3)、(4)可得

在情形1的完全非弹性碰撞中,物体和杆组成的系统一般情况下水平方向上动量不守恒,那么在情形2中发生完全弹性碰撞时,水平方向上动量是否守恒呢?与情形1类似,先分析轴反力的大小.

以杆为研究对象,设小球给杆的碰撞力在水平方向上的分量为F碰,轴反力的水平分量为F轴x,对杆用质心运动定理(考虑水平方向的分量形式),有

F碰+F轴x=Mrcα

(5)

其中rc为杆的质心到O轴的距离,α为碰后瞬间杆获得的角加速度.利用定轴转动定律,有

F碰l=JOα

(6)

由式(5)、(6)可得

(7)

p末=mυ+Mωrc=mυ0=p初

综上所述,当物体与杆发生完全弹性碰撞时,通常情况下的外力大小不可忽略,因此水平方向上动量不守恒,只有在参数满足特定关系的时候符合动量守恒的条件.

3 物体与杆发生非完全弹性碰撞

定义恢复系数e为杆的碰撞点与物体(比如小球)的相对速度在碰撞前后的比值,即

(8)

前面讨论的完全弹性碰撞对应e=1的情形,而完全非弹性碰撞是e=0的情形,那么一般情况下(0

联立式(3)和(8),再考虑υ杆末=ωl,可得

显然,代入e=0和e=1即可分别得到前面情形1和2中解得的角速度.在一般情况下,碰撞后瞬间杆获得的角速度介于这两者之间.

碰后小球获得的速度大小为

碰撞前后系统损失的能量为

当e=1,体系发生完全弹性碰撞时,不损失能量;当e=0,体系发生完全非弹性碰撞时,损失能量最多;0

由以上的讨论可以看出,当所研究的系统涉及转动时,不能主观臆断认为碰撞过程水平方向上动量守恒,因为通常情况下,轴反力不等于零,也不能想当然地认为轴反力远小于系统间的碰撞力,一定要通过计算进行比较.当无法明确判断内力和外力的相对大小时,可以利用力矩的概念,通过选择合适的参考点,以规避未知力贡献的力矩,尝试从角动量定理或角动量守恒定律来求解问题.在准确地把握了角动量概念及角动量守恒条件之后,作为拓展学习可鼓励学生用它来解决一些实际的问题,比如研究平面运动刚体上小虫的运动轨迹[15]、电影流浪地球中让地球停止转动发动机需要喷射多少物质[16]等.这些问题既能增加学生学习物理的乐趣,又能提升学生用课堂所学的物理知识分析问题和解决问题的能力.

从整个分析过程我们可以体会到,角动量守恒的条件似乎比动量守恒的条件更容易满足.动量守恒要求无外力,角动量又称为动量矩,其守恒条件是无外力矩,而“矩”的大小与参考点的选择有关.要合理利用角动量守恒,适当选用参考点是前提.参考点的选取不同,就可能得到不同的结论.

4 结论

角动量守恒是自然界最基本最普遍的定律之一,帮助学生准确理解该定律的内容并灵活应用是大学物理教学的基本要求.本文以刚体力学中物体和直杆碰撞的经典问题为例,详细计算了在几种不同碰撞类型中的轴反力大小,辨析了动量守恒和角动量守恒的成立条件.结果表明在这类碰撞问题中,角动量是否守恒与碰撞是否弹性无关,水平方向上动量是否守恒与碰撞点的位置有关.因此,对守恒条件的判断必须具体问题具体分析,不能主观臆测,而应严格推断、善于质疑辨析,做到格物致理[17].