二维三角形受限势量子结构的电子能谱与波函数

张 立,卢飞跃

(广州番禺职业技术学院 智能制造学院,广东 广州 511483)

在量子力学教科书中,对一维受限势和三维受限势的可解模型有相当多的讨论,比如一维情况下,有一维无限深势阱、方势阱、线性势及一维线性谐振子等,三维情况下,有球形方势阱、三维线性谐振子及氢原子等[1-3].然而,对于二维受限势,除了二维氢原子和二维谐振子外[4],二维可解模型却讨论得相对比较少.在本文中,我们提出一类二维三角形受限势的精确可解模型,主要包括等腰直角三角形、半等边三角形和等边三角形这三类不同形状的三角形量子结构(见图1),选取适当的材料参数,分析此类量子结构中的电子能谱和波函数的特征.

(a) 半等边三角形 (b) 等腰直角三角形 (c) 等边三角形图1 三类三角形模型

另外,从半导体材料科学的角度,研究三角形截面量子结构的电子能谱与波函数特性也有相当重要的意义.基于先进的晶体生长技术,人们已经获得了自由站立的三角形截面量子结构[5,6].比如,基于金属有机物化学沉积技术,美国学者杨培东小组[5]在2003年合成了三角形截面的GaN半导体纳米线,透射电镜显示纳米线的截面接近于等边三角形.中国学者Yu及其合作者[6]基于热化学气相沉积技术,于2011年成功制备出三角形截面的AlN纳米棒,扫描电镜图证实了此生成物具有三角形的截面形貌,如图2所示.印度学者Gangopadhyay 和 Nag[7]提出了GaAs等腰直角三角形截面的结构,用于分析箭头形纳米线结构中的电子特性,所得结果与实验符合很好.

(a) GaN (b) AlN图2 三角形截面纳米线的透射电镜图[5,6]

基于以上实验发现与二维可解受限势讨论不足的事实,因此研究二维三角形受限势是十分有意义的.我们将基于一种非分离变量方法,给出3种不同截面的三角形受限势结构中的精确解析的电子态波函数和能级表达式,以AlN材料为例,数值计算和分析体系的能级结构与波函数的分布特点.

1 理论方法

考虑单电子被局域在二维三角形受限势中,3种不同的三角形截面,即半等边三角形、等腰直角三角形与等边三角形被考虑了.这些三角形模型及建立的二维坐标系,见图1.电子在二维三角形受限势作用下的薛定谔方程可写为

(1)

其中Φ(x,y)是电子波函数,me是电子的质量,E是电子的能量本征值,V(x,y)为电子的受限势,它表示为

(2)

1.1 半等边三角形受限势

(3)

(4)

(5)

由式(5)和式(1),可以得到半等边三角形中电子的能级方程,即

(6)

1.2 等腰直角三角形受限势

等腰直角三角形的3个内角分别为π/4、π/4和π/2,设它的两条直角边长为lI,如图1(b)所示.以等腰直角三角形的直角顶点为原点,以两条直角边分别为x和y轴,建立二维平面直角坐标系,则等腰直角三角形的三条边的直线方程可写为

x=0,y=0,x+y=lI

(7)

(8)

其中CI是电子波函数归一化常数,p和q也是2个量子数,它们只能取一系列的整数值,即q=1,2,3,…,p=q+1,q+2,q+3,…,通过积化和差的方法,可以证明,当量子数q和p同为奇数或同为偶数时,要满足ΦI(x,y)在边界x+y=lI上为0,则式(8) 中的第2项前的符号必须取“-”号;而当q和p一个为奇数,另一个为偶数时,式(8)中的第2项前的符号必须取“+”号.考虑了量子数q和p的奇偶性后,等腰直角三角形中电子波函数可改写为

(9)

由式(9)和式(1),可以得到等腰直角三角形中电子的能级方程,即

(10)

特别地,当q=1,p=2时,电子获得最低的能量,即半等边三角形中电子的基态能.当(q,p)的取值分别为(1,3),(2,3),(2,4),…时,分别获得电子的第一激发态、第二激发态、第三激发态等激发态的能级.

1.3 等边三角形受限势

(11)

相比于前2种三角形,由于等边三角形具有更高的对称性.因此,等边三角形中的电子态波函数及相应的能级方程,受到很多学者[8]的关注,并获得了精确解析的结果.这些研究发现,等边三角形受限势中的电子态波函数分为对称和反对称两种类型.在我们建立的坐标系下,对称的电子波函数ΦE/S(x,y)可写为[8]

(12)

反对称的电子波函数ΦE/A(x,y)可写为

(13)

由式(12)、式(13)和式(1),可以得到等边三角形中电子的能级方程,即

(14)

2 结果与讨论

下面在有效质量近似下,以典型的AIN三角形量子结构为例进行了数值计算.AIN材料中电子有效质量约为me= 0.4m0(m0为自由电子的质量)[9].

表1给出了3种类型三角型量子结构中电子的基态E1、第一激发态E2、第二激发态能量E3及相邻态之间的能量间隔ΔE1、ΔE2随三角形面积S变化的数据.随着S的增大,三角形的基态、激发态及能量间隔均减小,表现出明显的量子受限效应.而且注意到在相同的S情况下,半等边三角形(等边三角)的基态能量最高(最低),而等腰直角三角形的基态能量处于中间.这说明在三角形面积一定情况下,半等边三角形(等边三角形)的量子受限程度最高(最低).这一结果也可从对称性方面获得理解,通常量子结构对称性高(低)时,能量相对较低(高).等边三角形有3条平面对称轴,对称性最高;等腰直角三角形有1条平面对称轴,对称性次之;而半直角三角形无平面对称轴,对称性最低.另外,发现半等边三角形的ΔE1、ΔE2几乎完全相等.对于等腰直角三角形与等边三角,其ΔE2与ΔE1比值约为0.6与1.25.这些结论直接可从能级方程(6)、(10)与(14)中获得.

表1 三种类型三角型量子结构数据表

图3 半等边三角形(a)—(d)与等腰直角三角形(e)—(h)中电子基态与低激发态波函数分布图

图4 等边三角形中对称基态与低激发态(a)—(d)及反对称的低激发态(e)—(h)电子态波函数分布图

总之,基于一种非分离变量方法,我们得到了3种二维三角形量子结构(半等边三角形、等腰直角三角形与等边三角形)中的解析精确的电子态波函数与能级方程.以典型的AIN半导体材料参数进行了数值计算,讨论了这些三角形量子结构能级结构与波函数分布特点.发现在相同截面积情况下,半等边三角形的基态能量最高,等边三角形的最低,而等腰直角三角形的基态能量处于中间.半等边三角形电子波函数既不是对称的,也不是反对称的.等腰直角三角形的电子波函数分布表现出对称性或反对称性的特点.当量子数为分数时,等边三角形的电子波函数有一条对称轴;当量子数为整数时,等边三角形电子波函数有3条对称性.等边三角形对称电子波函数关于对称轴对称,反对称电子波函数关于对称轴反对称.本文的研究结果不仅丰富和补充了量子力学中二维可解势的理论模型,还可用于进一步研究这些三角形截面量子结构的光电子特性[6-8,10,11].