一题多解 发散思维——从一道菱形试题出发

张长青

⦿ 甘肃省庆阳市宁县早胜初级中学

在课堂教学时,笔者经常有这样的经验:如果学生的思维受限严重,那么数学课堂氛围将会异常沉闷,而如果学生的思维比较灵活,那么课堂教学效果也会得到提升.由此可见,课堂教学不应只是传授知识,而更应该培养学生的发散性思维.本文中从一道菱形试题出发,尝试研究通过渗透数形转化、一题多解的方式提升学生的思维能力.

1 数形转化与思维发散之间的关系

数形转化是解决数学问题非常重要的一种思想或方法,也就是将“数”与“形”进行转化,借助直观图形对抽象的问题进行分析并最终解决问题.发散思维强调多角度分析问题及多方法解决问题,而当分析的问题比较抽象、复杂时,往往需要利用数形转化思想具体化或简化问题.因此,笔者认为数形转化是思维发散的过程,而思维发散是数形转化的结果.

下面,借一道例题进行分析和说明:

例题如图1所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.

图1

求证:四边形EFGH是菱形.

本题需要证明四边形EFGH是菱形,而所给的条件只有菱形ABCD和四条线段的中点.很显然,需要仅仅抓住“中点”这一“数”的特点,并与“菱形”这一“形”结合起来分析问题.那么,此题如何体现出数形转化与思维发散之间的关系?

首先,应明确各条件所能得到的结论有哪些,如由“菱形ABCD”可得四边形ABCD的四条边都相等、对角线互相平分且垂直、两组对边分别平行且相等、对角线平分一组对角等.“菱形ABCD”是“形”,而边相等、角相等都是“数”量关系,是通过“形”推理出“数”.

然后,由“点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点”可证得EF,FG,GH,HE分别是△AOB,△BOC,△COD,△DOA的中位线,再结合三角形中位线定理即可证得四边形EFGH是菱形．“点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点”是“数”,而证得“四边形EFGH是菱形”是“形”,是通过“数”推理出“形”.

发散思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面寻求答案的思维方式.那么,如何发散学生的数学思维与渗透数学转化思想呢?由于菱形的判定定理非常多,因此可从多种思路出发,尝试一题多解,最终让问题得到解决.

2 一题多解及评析

根据上述分析,本题的解法非常多.在实际课堂教学中,主要出现了以下三种解法.

证法一：∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=DA.

∵E是OA的中点,F是OB的中点,

∴EF是△AOB的中位线.

∴EF=GF=HG=HE.

∴四边形EFGH是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).

证法一紧紧抓住“点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点”这个条件,积极利用三角形中位线定理和菱形的性质,通过证明四条边都相等得到四边形EFGH是菱形.可以说,靶向定位准确、思路清晰明了,过程层次分明,内容通俗易懂,是这种解法最大的特点.

证法二：∵E是OA的中点,F是OB的中点,

∴EF是△AOB的中位线.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB∥DC,AB=DC.

∴EF=HG,EF∥HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

∵四边形ABCD是菱形,

∴BD⊥AC.

∴四边形EFGH是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).

证法二先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形EFGH是平行四边形,然后结合菱形ABCD的性质“菱形的对角线互相垂直”得到BD⊥AC,最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证得四边形EFGH是菱形.其中,菱形的性质与判定的灵活使用是重要前提,如果性质与判定搞混淆了,将会给解题带来极大的困扰[1].

证法三：∵E是OA的中点,F是OB的中点,

∴EF是△AOB的中位线.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD.

∴HE=EF.

∵H是OD的中点,G是OC的中点,

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=DC,AB∥DC.

∴EF=HG,EF∥HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

∴四边形EFGH是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).

证法三先结合菱形的性质、三角形的中位线定理证得一组邻边相等,即HE=EF,然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形EFGH是平行四边形,最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证得四边形EFGH是菱形.该判定方法与前两种判定都不同,抓住菱形与平行四边形之间的区别是解决这类问题的关键.

3 总结与启示

首先,从题目要证明的结论出发,引导学生思考具体能根据哪些判定进行证明.如本题的结论是“四边形EFGH是菱形”,那么让学生思考菱形的判定方法有哪些,这样就给学生解决问题提供了重要启示.

然后,结合菱形的判定寻找条件.如果根据“四条边都相等的四边形是菱形”来证明,那么需要证明四条边都相等.如果根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来证明,那么需要证明四边形是平行四边形且对角线互相垂直.如果根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”来证明,那么需要证明四边形是平行四边形且一组邻边相等.

最后,继续探究如何根据已知条件证明所需条件.例如,如果根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”来证明,那么题中有哪些已知条件可证明一组邻边相等,又有哪些条件可证明四边形是平行四边形.如此下去,将每个所需条件根据已知条件全部证得即可.

需注意的是,在以上三种不同的解法中,菱形的性质和判定都有体现,注意区分菱形的性质和判定是正确解决该问题的关键.因此,在讲完性质和判定之后,笔者认为应将性质与判定之间的区别讲清、讲透,让学生将性质与判定完全区分开,否则在解题时极易混用[2].

总之,像本文展示的例题一样,有些题目的思维突破口非常多,但因其综合程度较高,其中包含了许多其他的知识点,所以无形中提高了解题难度,学生解答的准确性也随之降低.因此,在日常教学中注重基础知识的夯实与借助变式、一题多解等训练学生的思维非常有必要.