问题串、变式串、解法串

摘 要：问题串、变式串以及解法串通常被称为“三串”，教师合理地应用“三串”，可以实现高中数学教学内容的延伸，促使学生的数学思维得到有效发展。教师需要根据“三串”的特点和具体应用方法，构建高中数学教学的基本模式，以促进高中数学教学的有效开展。文章阐述了“三串”的概念与特点，探讨了“三串”在高中数学教学中的应用，希望能为高中数学教学的有效开展提供支持。

关键词：问题串；变式串；解法串；高中数学教学；基本模式

作者简介：蔡雪慧（1969—），女，贵州师范大学附属中学。

高中数学课程的内容比较复杂，涉及的知识点非常多，要求学生构建全面、完整的知识架构，具备良好的数学思维。通过基于问题串、变式串以及解法串（“三串”）的高中数学教学模式，教师可以逐层深入地呈现数学问题，并结合各种变式延伸数学知识，帮助学生形成完整的知识体系，提升学生的数学思维［1］。将“三串”融入高中数学教学中，不仅能促使学生有效吸收新学习的数学知识，还能够帮助学生复习以前学过的知识内容，使新知识和旧知识有机结合，这既能提升学生的学习效果，又有利于教师开展数学教学。因此，教师要在充分了解“三串”的基础上，将其融入高中数学教学中，有效发挥其教学作用。

一、“三串”的概念及特点

（一）“三串”的概念

问题串是指针对某一数学方法、概念、思想构建的一系列问题，这些问题之间具有一定的内在关联性，能引导学生逐层理解数学知识的本质，并促使学生掌握数学方法及数学核心思想。变式串是指根据某种范式产生一系列变式，其能使学生的思维保持活跃，有效培养学生的发散思维。解法串是指针对某一问题从不同维度出发形成的不同解法，包括一般解法、特殊解法和创新解法，能锻炼学生的多种能力［2］。

（二）“三串”的特點

问题串具有有序性、自主性以及反思性的特点。有序性是指问题串中的后一个问题均属于前一个问题的延伸，是根据前面问题拓展得到的新问题；自主性是指问题串中的每一个问题都能引导学生开展自主探究式学习［3］；反思性是指问题串可以引发学生的反思，使学生提出新问题。变式串具有广泛性、深刻性以及创造性的特点。广泛性是指同一问题可以形成多个不同的变式，考查不同的知识点；深刻性是指变式串可对学生的思维进行深刻培养，使学生学会透过问题看本质，深入掌握数学知识；创造性是指变式串体现了创造性思维，可以培养学生的创新能力。解法串具有实践性、创新性以及发散性的特点。实践性表现为一题多解是师生通过实践得出的结果［4］；创新性表现为问题的解决思路和解决方法具有创新性；发散性表现为解法串的形成是依托于发散性思维的。

二、“三串”在高中数学教学基本模式中的具体应用

（一）问题串的具体应用

问题是高中数学教学的基本要素，教师通过问题能够引导学生思考，增强师生之间的交流，促使学生进行自主探究学习［5］。因此，教师需要重视问题的质量，以充分发挥问题串的作用和功能。在开展高中数学教学时，教师可以设置一系列问题，引导学生感知、认识、理解数学概念，从而让学生循序渐进地掌握数学概念。

1.概念感知

以《充分条件与必要条件》一课的教学为例，教师可以设置以下问题情境使学生感知概念。

问题1：①已知命题为“如果y＞a2+b2，那么y＞2ab”，请同学们说出该命题的逆命题、否命题以及逆否命题，同时对上述命题的真假做出判断。②若命题为“如果ab＝0，那么a＝0”，请同学们按照同上要求作答。

对于这种简单的问题，学生一般可以准确解答。教师借助这样的具体问题引出抽象的数学概念，符合学生的认知规律。同时，这两个问题还具有“桥梁”的作用，不仅能帮助学生复习旧知识，而且能够引出本课新知识。

问题2：可否通过增加限制条件的方式使问题1中②的命题变为真命题？

对此，有学生会回答：“设b≠0，且为实数，如果ab＝0，那么a＝0。”也有学生会回答：“设a/b＝0，如果ab＝0，那么a＝0。”由此可见，问题2的解答方法有多种，能够在一定程度上拓展学生的思维，并让学生充分认识到，若要使一个假命题成为真命题，则必须在条件和结论间附加某种特定关系。教师可顺势阐述这一关系的必要性，提出问题：命题条件和结论之间究竟有何因果关系？通过这一问题使学生感知充分条件与必要条件，并引出本课内容。

2.概念认识

为了使学生对数学概念有更深刻的认识，教师应对一些数学概念进行解释。例如，在解释“”以及“”符号时，教师可以这样教学：“为了简洁地表达因果关系，我们可以使用一些符号，如问题1中的①，‘如果y＞a2+b2属于条件，‘那么y＞2ab为结论，因为该条件可以得出该结论，所以该命题为真命题，这说明条件和结论之间存在‘推出关系，这里的‘推出便可使用‘表示。而问题1的①的逆命题为‘如果y＞2ab，那么y＞a2+b2，这一命题的条件并不能推出‘y＞a2+b2这一结果，‘不能推出即可使用符号‘表示。”通过这样的讲述，学生能对“”“”两个符号以及充分条件和必要条件有初步的认识。此外，教师可以结合问题2的答案设置新的问题，进一步加深学生对充分条件和必要条件的认识。

问题3：请同学们结合充分条件和必要条件的概念，对问题2的解答“如果ab＝0且a/b＝0，那么a＝0”进行表述。

对此，学生首先要判定该命题的真假，在判定该命题为真命题后，便可进行如下表述：因为“ab＝0且a/b＝0”“a＝0”，所以“ab＝0且  a/b＝0”是“a＝0”的充分条件。学生回答后，教师可以继续提出问题4。

问题4：综合探究以上原命题及其逆命题，思考如何结合充分条件和必要条件的概念进行表述。

对此，学生首先要对原命题的逆命题进行真假判定，得出其为真命题。随后，在问题3的基础上，其可进行如下表述：因为“a＝0”“ab＝0且a/b＝0”，所以“a＝0”是“ab＝0且a/b＝0”的必要条件，又因为“ab＝0且a/b＝0”是“a＝0”的充分条件，所以“ab＝0且a/b＝0”是“a＝0”的充分必要条件。

同理，教师也可通过问题串的方式加深学生对充分不必要条件、必要不充分条件等概念的认识。

3.概念理解

为了进一步加深学生对上述概念的理解，教师可以预先在教案中设计一些随堂练习题，以对学生的概念理解情况进行考查。

问题5：以下各选项中哪些条件是“a+b＞0”的充分不必要条件？

A.a＜0且b＜0

B.a＞0且b＞0

C.a＝3且b＝-2

D.a＞0，b＜0且|a|＞|b|

E.a＞-b

教师在学生解答该问题之前可以进行适当引导，辅助学生得出答案。设置该问题主要是为了使学生的思维灵活性得到加强，让学生能够深刻认识所学知识。教师也可以让学生自拟充分必要条件、必要不充分条件、充分不必要条件的命题，以考查学生对相应知识的掌握情况。

4.概念深化

为了加深学生对上述概念的理解，教师还需要对问题进行拓展。

问题6：若p代表某元素x，且∈集合P，q代表这一元素，且∈集合Q，怎样结合集合间的关系理解pq的含义？

学生在思考此问题的过程中，不仅能够深入学习本课知识点，还能够复习集合的知识。

由此可见，教师设置层层深入的问题串，可以拓展学生的思维，使学生的思维逐渐深入，将其他知识内容与本课知识联系起来，从而提升课堂教学效率。

（二）变式串的具体应用

变式教学法是教师在数学教学中常用的一种教学方法，教师利用变式串可让不同层次的学生有效理解数学概念及方法。教师在开展高中数学教学时可利用变式串提升教学效果。

例如，在探究y＝x+1/x（x＞0）這一函数的单调性时，教师便可以利用变式串开展教学。

变式1：从定义角度进行变式，让学生思考当x＜0时，函数的性质以及图象是怎样的。

这一变式能使学生想到函数的奇偶性，帮助学生画出图象草图，让学生结合图象得出单调区间，并在此基础上研究函数的单调性。

变式2：从联结符号角度进行变式，让学生探究y＝x-1/x这一函数的特性。

部分学生遇到这种函数时，会感觉无从下手，这主要是因为学生缺乏反思意识和总结习惯。该函数明显属于增函数。

变式3：从常数改变角度进行变式，让学生探究y＝x+a/x（a＞0）这一函数的特性。

实际上，该函数的图象与原题类似，只是极值点出现了变化，由x＝±1转变为，但是

从学生思维方面来看变化却比较大，函数已从常系数函数转变为变系数函数。

变式4：从x指数变化角度进行变式，让学生探究y＝x2+a/x2（a＞0）这一函数的特性。

这一变式主要考查复合函数的知识，对学生提出了更高的要求。

变式5：将原题变为y＝xn+a/xn（a＞0，n∈N*）， 让学生探究该函数的特性。

该变式的变化属于指数变化，与变式4不同的是n属于未知数，可能为奇数，也可能为偶数，因此学生按照变式4的分析方法，分别对n为奇数或偶数的情况进行分析即可。

部分学生在做数学练习题的时候，经常会发现有的题目似曾相识，与学过的例题相比，仅改变了数字和符号，但自己却还是不知如何下手，思维不清晰，这说明学生掌握的基础知识还不够扎实。无论题目变式如何变化，问题的本质均是对数学概念和理论知识的运用，因此，学生只要扎实掌握基础知识并能灵活运用，便可高效解决变式问题。

（三）解法串的具体应用

教师在高中数学教学中引入解法串，不仅能帮助学生构建完善的数学知识结构，而且还能优化学生的数学思维，培养学生的创新思维能力。

例如，在进行函数值域求解教学时，教师可以设置如下问题：在求函数y＝（x+1）/（x2+2x+2）的值域时，我们除了可以将其倒过来求得1/y的范围，进而求解原函数的值域，还能怎样求解？

解法1：先将x+1替换为t（t∈R），则原函数可变换为y＝t/（t2+1），然后分情况讨论，分别探究t＝0时和t≠0时的情况，进而得出函数的值域。

解法2：采用判别式法解题，将分母向左移，通过化简可以得出yx2+（2y-1）x+2y-1＝0，之后分别探讨y=0时和y≠0时的情况，进而得出函数的值域。

解法3：采用求导法，结合求导除法法则求出极值点，从而判定该函数的递减和递增情况，最终求出该函数的值域。

解法串可以引导学生从不同的角度思考问题，拓展学生的解题思路，提升学生的数学知识运用能力，培养学生的综合素质。

结语

“三串”在高中数学教学中比较常用，教师将其融入高中数学教学中可以使高中数学教学的基本模式更丰富、充实，对于提升课堂教学效率和效果有重要作用。此外，教师结合“三串”开展高中数学教学，还可以培养学生的发散思维，让学生掌握更多的解题技巧，形成完整的数学知识架构。

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