基于算理算法一致性，发展儿童运算能力

摘 要：数的运算教学要关注算理与算法的一致性，引导儿童在学习计算知识的过程中掌握算理和算法之间的联系，加强对数和形、算理和算法的理解，构建数的运算模型，由碎片化的学习向结构化、系统化的学习过渡。文章从素养导向、本质为根、多元表征三个方面，结合苏教版小学数学的计算教学实例，探究基于算理算法一致性，发展儿童运算能力的相关策略。

关键词：计算教学；算理；算法；运算能力；小学数学

作者简介：吴烨（1984—），女，江苏省无锡市天一实验小学。

一、以素养为导向，定位算理算法的一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，数的运算不仅要让儿童理解算理、掌握算法，更要引导儿童整体上联通算理和算法，从本质上构建计算模型，发展儿童的数学核心素养［1］。数的运算教学不仅是算理和算法的教学，更重要的是基于核心素养导向，加强儿童对算理与算法之间的关系的理解，感悟算理和算法的一致性，促进算理和算法融合，实现数的运算的迁移，提升儿童数的运算能力。

例如，在教学“小数乘整数”时，教师依据教材内容设定了如下与核心素养一致的算理算法。

数学核心素养描述：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。

算理算法一致的数学表达：借助多元表征（情境图、方格图），联系已有知识和经验，进行数学抽象，体会小数乘整数的含义，理解算理，掌握小数乘整数的算法。借助整数乘法进行推理，紧扣整数乘法算理的核心和小数加数中的相同计数单位，促进思考，培养分析、推理和抽象、归纳等思维能力。利用整数乘法的知识，实现小数乘整数的迁移和计算模型的类比建构。

在教学设计时，教师要基于数学核心素养和算理算法一致的数学表达，精准地确立教学目标，围绕教学目标来设定教学内容，设计教学流程。在引导儿童经历探索、发现小数乘整数计算方法的过程中，让儿童体会数学知识之间的内在联系，积累计算的经验，进一步发展儿童的数学思维能力［2］。数学计算的教学，绕不开儿童的学习能力。教师要真正做到以儿童为主体，考虑到教材的编排特点和儿童现有学情，顺应儿童的认知基础，将具体直观的感知与抽象的计算原理和算法联结起来，以素养为导向，基于运算的一致性，强化兒童对于计算过程原理的内化，实现直观感知与抽象思维的对接转换，经历数学化的过程。

二、以本质为根，把握算理算法的一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在计算教学中，应让儿童感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。在数学计算教学中，教师要引导儿童理解算理、探索算法，感悟计算中计数单位的重要作用，理解加、减、乘、除法的本质就是计数单位与计数单位之间的运算，以及计数单位个数与计数单位个数之间的运算。

（一）紧扣计算本质，促进算理算法理解

教师应认真研读教材，紧扣数学计算的本质，把握算理算法的一致性。例如，“小数乘整数”一课，阐明了小数与整数相乘可细分为小数乘整数和整数乘小数两种情况。儿童虽已有乘法交换律的知识，但整数乘小数的意义涉及“求一个数的几分之几是多少”，儿童的现有经验不能够支撑乘法意义的拓展。因此，在教学时，教师从儿童已有的几个相同加数和的背景入手，以理解小数的计数单位为支架，确定积的小数点的定位方法，归纳小数与整数相乘的方法。

教师先从夏天和冬天购买不同单价的西瓜的问题引入，让学生列出两道小数乘整数的算式，并尝试解决问题。

师：夏天买3千克西瓜，要花多少元？冬天呢？怎样列式？

（教师列式：0.8×3，2.35×3）

师：这两道算式与我们之前学的乘法有什么不同？

生1：之前我们学的是整数乘法，今天的算式中有小数。

师：今天学习的小数乘整数，与之前的整数乘法有没有联系呢？能不能把小数乘整数转化为整数乘法呢？

（在探究两道乘法算式积的计算时，教师放手让学生利用已有知识经验来解决）

师：怎样计算0.8×3的积是多少呢？

（学生独立思考，把自己的想法用笔写下来，再与同学交流）

生1：0.8×3就是3个0.8相加，0.8+0.8+0.8=2.4。

生2：可以把西瓜的单价由“元”换算成“角”来想。0.8元是8角，8角×3=24角，24角是2.4元。

师：怎样计算2.35×3的积是多少呢？

（学生探究后交流，把2.35×3转化成2.35+2.35+2.35进行计算，得到7.05；或根据问题的特点，利用单位改写，转化成235分×3=705分，得到7.05元）

儿童的两种算法，都是从数学信息出发进行思考。教师通过引导儿童收集信息，把小数乘整数的新知转化为旧知。方法一是从小数乘整数的意义出发，用几个相同小数的加法来间接求出积；方法二是通过将元改写成角或分的单位换算，把小数乘整数转化成整数乘整数，再进行单位换算，把整数积改写成小数形式的积。

通过计算，在得到两道小数乘整数题的积后，教师组织儿童进行观察比较，说说两道小数乘整数题的积的位数，并猜测积的位数与乘位小数位数之间可能有什么关系。在儿童提出猜想后，教师顺势要求儿童联系计数单位的知识，来阐述猜想的正确性。教师结合0.8×3和2.35×3，说明其实质就是8个0.1×3得到24个0.1，以及235个0.01×3得到705个0.01，阐明乘数是几位小数，小数乘整数的积就是几位小数。这样的教学，就是引导儿童从本质上理解小数乘整数的意义和算法，可以把小数乘整数也归结为整数乘法的计算，有助于儿童经历过程，形成完整、有效的推理路径，在发展儿童的推理意识的同时，培育了儿童探究学习的必备能力。

（二）利用数形结合，促进算理算法融通

数学研究的内容往往离不开“数”与“形”。 “数”是“形”的内核，“形”是“数”的外在。“形”比较直观，而“数”比较抽象，“数”与“形”两者结合，可以有效地帮助兒童深度理解概念，建构知识。在计算教学中，特别是对于一些抽象的算理，就需要直观的图形来进行表征，打破算理与算法之间的理解障碍，使算理和算法更好地融合，建构体系，实现计算教学由教师的教向儿童的学转变，使数学计算的学习从知识本位迈向素养能力本位。

以“小数乘整数”一课为例，教师通过图形来展示小数的意义，进行小数乘整数的算理推算，实现算理算法的融通。

教师先把一个长方形平分成10份，涂色表示0.8，再依次出示2个表示0.8的长方形，引导学生指出0.8是8个十分之一，乘以3，得24个十分之一。

师：结合图形想一想，0.8里有几个0.1？可以怎样计算0.8×3？

生：0.8里有8个0.1，0.8×3就是24个0.1，也就是2.4。

师：在写竖式计算时，需要注意什么？怎样计算0.8×3？

生：写竖式时，注重数的末尾对齐。按照整数8×3，算出积24，再在积上点一位小数。

师：为什么积上要点出一位小数呢？请与同桌讨论交流。

生1：得数2元4角是2.4元，所以积应是一位小数。

生2：0.8是8个0.1，0.8×3得数是24个0.1，是2.4，所以积就是一位小数。

（在此基础上，依此类推，学生独立计算2.35×3）

在小数乘整数的算理和算法的探究环节，教师要让儿童学会自己研究，教师只起到指导的作用。在研究的过程中，教师引导儿童利用数形结合，实现“算理直观”与“算法抽象”的一致联结，使儿童在具体的形象演示中，理清了先算8×3或235×3的算理，掌握了怎样确定小数数位的方法，在理解算理的基础上建构起了算法。这样的过程，更好地确立了算理和算法的一致性，加强了新旧知识的联系，利于儿童理解小数乘整数的算理，掌握相应算法［3］。

三、以多元表征，探索算理算法的一致性

（一）创设有效情境，引出内容

儿童的数学学习离不开数学情境的创设。好的数学情境，贴近儿童已有的知识基础和生活经验，符合儿童的认知规律和特点，能够更好地实现儿童的直观理解，是儿童实现深度学习的必经途径之一。在计算教学中，创设有效的情境，有利于儿童进行直观的观察，帮助儿童建立直观表象，使儿童探究算理，明晓算法，让数学探究有迹可循。数学思维可视化，能更好地实现算理和算法的融合，发展儿童的数学思考力。

例如，教学“三位数除以两位数（口算）”时，教师从儿童学生熟悉的情境出发，引导儿童进行算理的探索，在理解算理的基础上掌握算法。

（教师出示情境图：要给儿童活动中心运送400袋大米，每辆卡车可运80袋，一共需要几辆卡车才能一次运完？）

师：从图中你了解了什么数学信息，要解决什么问题？

生1：已知两个信息：给儿童活动中心运送400袋大米、每辆卡车能运80袋。

生2：要解决的问题是一共需要几辆卡车才能一次运完大米。

师：对于这样的问题，你觉得用什么方法来解决？

生3：要求一共需要几辆卡车才能一次运完，就是求400里面有多少个80，可以列除法算式400÷80来解决。

师：怎样计算400÷80呢？这就是我们今天要研究的“三位数除以两位数的除法”。

教师利用贴近儿童生活的运送物品的情境，引入新知教学，引导儿童学会收集信息，发现问题，建立除法的计算模型。

（二）多元表征，丰富算法、明晰算理

教师应重视利用助学单，引导儿童进行多元表征，探究运算的一致性，提升儿童的运算能力。下面以“400÷80”的计算教学为例。

师：400÷80应该怎样计算？请你拿出助学单思考。

三位数除以两位数（口算）助学单

1辆卡车→（ 80 ）袋大米

2辆卡车→（      ）袋大米

3辆卡车→（      ）袋大米

4辆卡车→（      ）袋大米

5辆卡车→（      ）袋大米

①依据相关信息，完成填写。你能解决“一共需要几辆卡车才能一次运完”的问题吗？你有什么发现？与你的学习伙伴分享一下吧。

②你还有其他的解决方法吗？先想一想，再写在助学单上。

（在学生独立完成后，进行集体交流）

生1：1辆卡车装80袋大米，2辆卡车装160袋大米，多一辆车就多加一个80袋，依次加下去，5辆卡车装400袋大米。可以发现，400袋大米5辆卡车能一次运完。

生2：1辆卡车装80袋大米，就是1个80袋；2辆卡车装160袋大米，就是2个80袋；3辆卡车装240袋大米，就是3个80袋……依次算下去，5辆卡车装400袋大米，也就是5个80袋。

师：像这样从1辆卡车开始写的方法，就是一种列举的方法，是解决问题时经常使用的方法，以后大家也可以尝试用这种方法解决问题。

师：400÷80还可以怎样算呢？我们一起来分享一下吧。

（教师展示学生的作品，并让学生交流自己怎样想的）

生1：80+80+80+80+80=400（袋），我是从加法来想的，5个80袋加起来是400袋，这样，400÷80=5（辆）

生2：我想的是乘法，因为80×5=400（袋），所以400÷80=5（辆）。

（在学生交流的基础上，教师引导学生尝试总结方法，有通过连加来求的，有通过相乘算除来求的，都是从已知条件出发来解决问题）

生3：40÷8=5，400÷80=5（辆），发现400÷80的末尾都有一个0，同时去掉一个0，计算结果不会变化。

生4：我也想说，400÷80，可以看成40捆小棒除以8捆小棒，等于5。

……

教师引导儿童交流自己想到的方法，既让儿童用自己喜欢的方式对计算的过程进行了表述，又让儿童对自己的探索进行了梳理和提炼。这一语言表述的过程，其实就是儿童进行多元表征的过程。在这个过程中，儿童经历了思维碰撞、分析评价，在丰富儿童的计算方法的同时，有效地实现了算理和算法的融通，促进了儿童对算理的理解，使其更好地把握运算的一致性。

（三）关联算理算法，提升思维品质

在儿童提出400÷80可以看成40÷8的計算方法后，教师引导儿童观察计算过程，说一说为什么可以去0，去0对于计算有什么好处。

师：刚刚我们已经会计算400÷80的商了。谁来把这个计算过程用自己的语言来说一说？

（教师指名学生回答，相互补充，形成规范的语言表达：400÷80，把400看成40个十，80看成8个十，用乘法口诀“五八四十”来计算，可以算出400÷80=5）

（教师出示练习：200÷50，480÷80，600÷ 20，让学生使用刚才的方法来计算。教师在学生独立完成练习后与学生交流，并引导学生对三位数除以两位数的计算方法进行总结）

师：在几百几十除以整十数时，可以按照怎样的方法来计算呢？

生：可以看成“几个十”除以“几个十”，用乘法口诀来计算，得到商。

师：刚刚我们学会了几百几十除以整十数的计算方法，能不能利用这个方法来计算更大的数呢？

生：可以。

（教师出示：810÷90，8100÷900，81000÷ 9000）

师：这三道计算题怎样算呢？

（学生完成后进行交流）

生1：第一道算式，直接用刚才的方法看成81个十除以9个十，得到商是9。

生2：第二道算式，可以看成81个百除以9个百，得到商是9。

生3：第三道算式，可以看成81个千除以9个千，得到商是9。

师：是啊！虽然要计算的题目数位比较多，但我们可以用今天学会的计算方法来计算。把未知的问题转化成已知的问题，这是一种重要的数学思想方法。

……

教师引导儿童通过观察计算过程，用语言进行表述，把感性的想法逐步提炼为抽象的方法，由形象的表征向抽象的表达过渡。虽然不同计算题的位数不同，但是在计算的算理上有着本质上的关联：把题目看成几个计数单位除以几个同样的计数单位，再利用乘法口诀计算出商。这样的学习过程，让儿童在不知不觉中体验了运算的一致性，不仅让儿童对算理和算法的学习有迹可寻，又使儿童在三位数除以两位数（口算）中实现了算理和算法的融合。教师对于多位数的计算的教学设计，是对新知学习顺理成章的延伸，是恰到好处的知识迁移，使儿童在自然的学习过程中知晓算理、掌握算法、提高计算能力，在发展了儿童学习能力的同时，提升了儿童的思维品质。

结语

总之，在新课程标准的素养发展导向下，教师要重视计算教学中的算理算法的一致性，从整体上关联计算教学中的算理算法，充分利用多元表征，结合直观的“形”来理解“数”的本质，实现算理算法的融通，引导儿童体验运算的本质。在计算教学过程中，教师需要从整体上把握计算内容的脉络，使儿童从已有认知向新知迁移，提升儿童的计算能力，发展儿童的数学核心素养。

［参考文献］

中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）［M］北京：北京师范大学出版社，2022.

程天君.学生自由发问何以缺失？［J］.全球教育展望，2006，35（4）：13-18.

华应龙，贲友林，张齐华，等.深度学习的模样［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2020.