关于绝对值和数轴的一个注

史宁中

关于绝对值和数轴的一个注

史宁中

（东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024）

现行初中数学教材关于绝对值的内容，是通过线段长度或者距离定义绝对值，然后再论述有理数的绝对值性质，这样的表述并不合适．绝对值概念源于复数大小的表达，然后用于向量长度的表达，因此，实数的和线段长度的绝对值表达都是特例，可以分别称为绝对值的代数表达和几何表达．两种表达在形式上的一致性，构成了数形结合的理论基础，成为初中数学的重要内容．建议：未来初中数学教材的编写和教学，可以尝试回归绝对值的本原．

绝对值；数轴；复数；向量

至少对于数学教育而言，数形结合始于初中数学，是通过数轴和绝对值表述的．但仔细阅读现行的教材可以发现，这些内容的表述不尽合理，不仅不能自圆其说，也没有揭示数形结合的数学本质．正值《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施之际，特写此文供教材编写者、教研员和中学数学教师参考，欢迎批评指正．

现在，关于绝对值概念的论述出现了矛盾：非负数的绝对值到底是线段长度呢？还是它本身所表达的数量的多少呢？因为在本质上，无论是正数还是负数都是对数量的抽象，数量相等、意义相反，而绝对值表达的正是相等的数量，因此才会有“相反数的绝对值相等”这样的结论．事实上，这也是数学家定义绝对值的初衷．

因为在一般情况下，复数是无法比较大小的，于是德国数学家魏尔斯特拉斯于1841年发明了绝对值这个符号（参见：CAJORI F. A history of mathematical notations [M]. New York: Dover Publications, 1993: 123–124, 133．国内著作参见：徐品方，张红．数学符号史[M]．北京：科学出版社，2006：269．），用以表示复数的大小：复数的实部与虚部平方和的开方．因此，对于实数的特殊情况，绝对值就是：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．也就是说，任意实数的绝对值可以表示为

的形式．由此可见，最初定义的绝对值与数轴无关，可以称为绝对值的代数表示．

的形式．这恰好是数轴上的线段长度，可以称为绝对值的几何表示．

苟直线上之点，裂为前后两段，前段各点均在后段各点之左，如是则必有一点，且仅有一点使此两段之分裂得以产生．

是说，数轴上的点是连续的，基本特征是：任意一个点都可以把数轴上的点划分为两类，一类点在另一类点的左边，这样的划分能并且只能产生一个点．类比数轴上的点，戴德金认为实数的连续性也具有这样的特征：任何一个实数都对应一个划分，可以把实数分为两类，一类中的实数小于另一类中的实数，这样的划分能并且只能产生一个实数．借助连续性公理，戴德金最终定义了具有连续性的实数，使得极限的严谨定义与表达成为可能．

综上所述，初中数学教材的内容最好既包括绝对值的几何表示，也包括代数表示．数学教育应当让学生知道，正是因为这两种表示形式上的一致性，使得有理数与数轴上点的对应（小学数学的内容）升华到数量与距离的对应（初中数学的内容），帮助学生建立数形结合的直观，感悟数学的本质．

A Note on Absolute Value and the Number Axis

SHI Ning-zhong

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

The content of absolute value in current middle school mathematics textbooks defines absolute value through segment length or distance, and then discusses the properties of absolute value for rational number, which is not an appropriate statement. The concept of absolute value originates from the expression of the magnitude of complex number, and later extends to the representation of vector lengths. Therefore, theabsolute value expressions of real numbers and segment lengths are both special cases, being termed algebraic and geometric expressions of absolute value, respectively. The formal consistency of these two expressions constitutes the theoretical foundation of the combination of numbers and shapes, becoming a pivotal aspect of middle school mathematics. This article suggests that the writing and teaching of future middle school mathematics textbooks should consider returning to the origin of absolute value.

absolute value; number axis; complex number; vector

G632

A

1004–9894（2023）05–0001–02

史宁中．关于绝对值和数轴的一个注[J]．数学教育学报，2023，32（5）：1-2．

2023–09–03

史宁中（1950—），男，江苏南京人，教授，博士生导师，国家教材委员会数学专业委员会主任委员、中国教育学会学术委员会主任、高中数学课程标准修订组组长、义务教育数学课程标准修订组组长、CAP数学专家委员会主任，主要从事数理统计与数学教育研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]