半覆水相变V形峡谷场地P波入射下的空间地震动散射频域理论解、验证及特征

柳国环, 陈欣宇, 李鑫洋

(1.天津大学 水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津 300350;2.天津大学 建筑工程学院,天津 300350)

1 引言

局部场地的散射效应是影响地震地面运动的重要因素。学者们采取了许多方法探究各类场地在地震波激励下的响应情况,其中通过数学推导并严格满足边界条件的方法称为解析法,其具有精度高的优点且能够避免数值解在地震波高频带入射时不收敛的问题。目前,学者们就不同局部地形影响下地震波散射效应的解析解做了针对性的研究。Trifunac[1]针对SH波入射半圆形沉积河谷地形,推导得到了地面响应的理论解;Cao等[2]在研究变深宽比的浅圆柱形峡谷周围的位移时,创新性地用半径很大的圆柱面近似地代替水平半空间表面,利用Fourier-Bessel级数表示散射波,这一方法在后续问题的研究中得到了广泛应用;高玉峰等[3]利用台阵记录和SH波传播解析理论,揭示了地形效应对地震动影响的规律;Liu等[4]针对层状饱和介质场地开展了研究,并模拟了地下多点地震动,在此基础上,Liu等[5]又进一步考虑了存在上覆水的情形;对分层的非均匀介质圆弧形峡谷[6,7]、覆水饱和圆弧场地[8]和U形峡谷场地[9]开展了一系列研究。朱赛男等[10]利用Hankel函数积分变换法研究得到了P1波入射下海底洞室的散射解析解;杨彩红等[11]重点关注了瞬态响应的解析解;Yan等[12]获得了软硬地层隧道的解析解,并设计了振动台试验予以验证。此外,V形峡谷也是一类常见的场地,Tsaur等[13,14]通过引入虚拟圆弧边界对场地进行子区域的划分,得到了对称深V形峡谷和浅V形峡谷场地地震响应的理论解;Zhang等[15]获得了SH波入射非对称V形峡谷的理论解;张宁等[16]针对含峭壁V形峡谷的解析解开展了研究。以上关于V形场地的研究,多是基于SH波入射下探讨的,而有关P-SV波入射的研究却较少。与SH波不同,P-SV波入射时需要考虑竖向约束,在分界面上会发生波形转换。Liu等[17]获得了平面P波入射第二类分层V形峡谷场地的地震响应理论解,为此类问题的后续研究提供了有价值的参考。

本文提出一种半覆水相变V形峡谷场地模型,考虑了介质相变、峡谷分层和局部地形覆水因素的影响,对该场地在平面P波入射下散射问题的理论解开展研究,其难点在于:(1)须要建立V形峡谷场地坐标系数量较多,理论推导过程中需频繁地对波函数在各坐标系间进行转换,各坐标系间既存在正交的位置关系,也存在斜交的位置关系,正确推导出各坐标系间的转换关系是求解的基础;(2)须要克服介质相变、峡谷分层且局部地形半覆水导致的固有边界值难题,不仅具有相变转换界面,而且覆水与无覆水峡谷表面的边界条件存在本质差异,是本文研究的半覆水相变场地与单相介质场地的本质区别。此外,根据饱和多孔介质理论[18],在双相介质中存在两种P波(P1波和P2波)和SV波,且边界上发生波形转换,产生的散射波场非常复杂,极大地增加了求解难度。通过构造虚拟圆弧边界对本文提出的半覆水相变V形峡谷场地进行分区,利用斜交坐标变换联立各区的边界条件,求得了P波入射下的理论解,通过与经典算例对比验证了理论解的可靠性,并进一步探究了相变界面的有无、入射波频率和入射角对地表位移的影响。

2 场地模型与求解方案

2.1 场地模型

场地数学模型如图1所示。对称V形峡谷地表处的半宽为a,深度为H,壁长为L。以峡谷中覆水的水面为分界面,将整个场地分为了s层和d层,s层为单相介质,厚度为h,d层为饱和多孔介质(双相介质)。以峡谷底部为圆心,峡谷壁长为半径作圆弧,该虚拟圆弧边界又将整个场地分为了封闭区和开放区。由此,在求解问题时将该场地分为5个子区域来处理,即s层开放区、s层封闭区、d层开放区、d层封闭区和覆水区。建立直角坐标系xoy和极坐标系o1～o4,o3和o4与水平地表相距h1,且与峡谷中心点的水平距离均为h2。

图1 相变场地模型Fig.1 Media-transition model

(1)

式中i为虚数单位,kd1为d层中P1波的波数。该势函数略去了时间因子exp(-iωt)。

2.2 自由波场求解

场地的总波场由自由波场和散射波场两部分组成,自由波场为不考虑V形峡谷的存在,仅由水平地表和相变界面产生的反射波和透射波形成的波场,自由波场分布如图2所示。

图2 自由波场分布Fig.2 Distribution diagram of free wavefield

入射波在相变界面上发生反射和透射,产生反射P1波、P2波和SV波以及透射P波和SV波。其反射系数分别为α1,α2和α3;透射系数分别为β1和β3。相变界面上透射的P波和SV波在自由表面上发生反射,各自分别产生反射P波和SV波。自由表面的反射系数可直接按文献[17]计算。

系数α1～α3,β1和β3都是待定的,利用相变界面上(y=h)的边界条件求解这5个系数,完成自由波场的求解。除了两个应力连续条件和两个位移连续条件外,认为相变界面为不透水边界,共5个边界条件,即

(2)

进一步将xoy坐标系下的势函数转换到极坐标系o1中(二者间的转换关系为x=x1=r1sinδ1,y=y1+H=r1cosδ1+H)并展开为Fourier-Bessel级数,限于篇幅,仅以P1波为例

Bd0,nsinnδ1)

(3a)

(3b)

式中εn为Neumman因子并且有ε0=1,εn=2 (n≥1)。

2.3 散射波场求解

散射波场分布如图3所示。以o2为圆心,R(R≫L)为半径作大圆弧来替代水平地表,以R-h为半径作大圆弧替代水平相变界面;再分别以o3和o4为圆心,R3和R4(R3=R4≫L)为半径作大圆弧来替代V形峡谷左右壁。

图3 散射波场分布Fig.3 Distribution diagram of scattering wavefield

d层中峡谷边界和相变界面产生散射P1波、P2波和SV波;s层中峡谷边界、相变界面和地表边界产生散射P波和SV波;由于水无法承受剪力,故覆水区中只存在上行和下行的P波。其可以用系数待定的Fourier-Bessel级数表示。

将已经得到的展开后的自由波场势函数与散射波场势函数叠加,即得到场地的总波场势函数。总波场势函数严格满足场地的边界条件,借助虚拟圆弧边界上的连续条件,联立封闭区和开放区的边界条件求解待定系数。本文使用的边界条件如下。

s层开放区地表的零应力边界条件

(4)

s层虚拟圆弧边界上的应力连续条件

(5)

s层封闭区左右侧峡谷表面零应力边界条件

(6a)

(6b)

封闭区相变界面上的应力和位移连续条件

(7a)

(7b)

d层封闭区左侧峡谷表面的边界条件

(8a)

(8b)

(8c)

d层封闭区右侧峡谷表面的边界条件与左侧类似(r4=R4)。

d层虚拟圆弧边界上的应力连续条件

(9)

开放区相变界面上的应力连续条件

(10)

极坐标系中单相介质的应力和位移可以用势函数表示为[7]

(11a)

(11b)

(11c)

饱和多孔介质的应力和位移可以用势函数表示为[8]

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

在覆水中应力和位移可以用势函数表示为[8]

(13)

在代入边界条件求解待定系数时要对定义在不同坐标系下的势函数进行坐标系转换。文献[19]推导了斜交坐标系下的内域型Graf加法公式,即

(14)

式中

(-1)nCm-n(kL)cos(m-n)γ]

(15a)

(-1)nCm-n(kL)sin(m-n)γ]

(15b)

Cn(*)可取第一类Bessel函数Jn(*)或Hankel函数Hn(*)。L为坐标原点间的距离,γ为坐标原点的连线与竖直方向所夹的锐角。

得到场地的完整波场分布后,再由式(11c,12d)可求得极坐标系下的位移,将其转换到直角坐标系下,二者间的转换关系为[17]

(16)

进而按式(17)计算水平向和竖向位移的绝对值|ux|和|uy|,即[17]

(17)

3 对比验证

(18)

式中λd1为入射P波的波长,αd为入射P波的波速,其余物理量如前所述。

图4 本文退化模型与文献[17]的位移对比Fig.4 Displacement comparison of degraded model in this paper with ref.[17]

4 数值分析与讨论

表1 土体物理参数Tab.1 Physical parameters of soil property

首先,探究是否存在相变界面对场地地表位移的影响。存在相变界面的场地模型中,s层厚度取为h=0.5H,无相变界面的场地s层厚度h=0。

图5 垂直入射时(θ=0°)存在与不存在相变面的工况结果对比Fig.5 Results comparison between models with and without interfaces

图6给出了斜入射时(θ=30°)两种场地地表位移的对比情况。结果表明,斜入射时也存在峡谷局部位移放大以及相变界面使位移增大的初始位置向峡谷中间移动的现象,进一步印证了图5的结论。此外,由于P波斜入射时会发生波形转换,波场的构成更加复杂,与存在相变界面的场地相比,无相变界面的场地整体位移有增大的现象。将不存在相变界面(h=0)的场地看作h趋于0过程中的极限情况,h足够大时,介质分界面产生的反射波和散射波得到充分耗散;随着h的减小,地震波在上下边界反复发生反射和散射,产生复杂的相干效应,使得位移幅值增大。从图5和图6可以看出,相变场地与非相变场地的地震地面运动存在显著差异。

图6 斜入射时(θ=30°)存在与不存在相变面的工况结果对比Fig.6 Results comparison between models with and without interfaces

图7 存在相变界面时入射波频率对地面运动的影响Fig.7 Influence of incident frequencies on surface displacement with interface

图8 =0.5时入射角对地面运动的影响Fig.8 Influence of incident angles on surface displacement at=0.5

5 结 语

该研究首次在V形峡谷中充分考虑引入了介质相变、相变界面穿越峡谷边界和半覆水因素的影响,对P波入射下的散射问题开展研究,结论如下。

(1) 首次推导并得到了半覆水相变V形峡谷P波激励下的散射解。克服了介质相变、峡谷分层且局部地形覆水导致的固有边界值难题,首先利用相变场地的连续性条件得到了自由波场分布,并将自由波场的势函数展开为Fourier-Bessel级数。考虑局部地形散射影响,通过构造虚拟圆弧边界将整个相变V形峡谷场地分为封闭区和开放区,并利用斜交坐标变换进一步将封闭区和开放区联立求解,得到了该场地的散射波场分布。

(2) 验证并解释了本文理论解的科学性与正确性,通过与文献[17]的算例进行对比澄清了峡谷局部区域出现的可预见性微小偏差的理论来源,即数学意义的圆弧法导致。

(3) 计算和分析并总结了覆水和相变两大因素对场地反应规律及特征的影响,强调了其不可忽视性。通过对比分析存在相变界面与否时的地表位移,进一步探究了入射波频率和入射角对地表位移的影响。结果表明,峡谷覆水部位的位移明显大于非覆水部位,相变界面的存在使位移增大的初始位置向峡谷中间移动,斜入射时,相变界面对位移幅值的大小也产生了明显影响;入射波的频率和入射角不同时,地震地面运动存在较大差异,应对这些因素予以充分考虑。