新课改背景下初中数学三角函数的解题技巧研究

2023-10-24杨柳

课堂内外·初中教研 2023年8期

杨柳

摘要：随着新课改的推进，教师面临着如何更好地教授初中数学，特别是三角函数这一核心课题的挑战。三角函数是初中数学教学的重要部分，也是许多高级数学概念的基础。然而，学生在理解和应用三角函数方面，往往存在困难。因此教师需要研究更有效的教学方法，帮助学生掌握三角函数的解题技巧。文章分析了三角函数的各种解题技巧，包括加强对公式的记忆、利用正弦定理和余弦定理、利用三角函数的图像和性质求解不等式的解集等，从而提高学生的解题正确率、解题速度和灵活性，以供广大教师参考。

关键词：初中数学；三角函数；解题技巧

一、新课改背景对初中数学教学提出的要求

（一）强调“活动化”的教学方法

新的教育改革强调了“活动化”的教学方法。活动化教学是通过一系列的学习活动，让学生自主探究、合作学习，以增强他们的实践能力和创新思维。在数学教学中，教师可以设计各种活动，如让学生自己通过实际操作和观察，发现和理解数学的概念和规律，而不仅仅是被动地接受知识。

（二）强调数学应用的重要性

在当前的教育改革中，我国教育部门强调数学应用的重要性，这对初中数学教学提出了新的要求。教师不仅要让学生掌握数学的基本知识和技能，还要教会学生如何将这些知识和技能应用到实际生活中，培养学生解决问题的能力。

在初中数学教学中，教师可以通过多种方式实现上述目标：一方面，教师可以在教授数学理论和概念时，结合生活实例进行讲解。例如，在教授比例和比例关系时，教师可以引入菜市场购物、家庭经济预算等真实生活场景，让学生亲身感受到数学知识的实际应用；另一方面，教师可以设计一些基于现实生活问题的数学活动或项目。这种方式，不仅可以让学生感受到数学在现实生活中的應用，还可以培养学生数据处理和解决问题的能力。

（三）突出个体化教学

在教育改革中，个体化教学的重要性得到了强调，这对初中数学教学有着深远的影响。教师需要认识到，每一个学生都是独特的个体，学生在知识掌握、认知方式和兴趣爱好等方面，都有其各自的特点和需求。因此教师需要根据每个学生的实际情况，针对性地指导学生的学习，这是新的教育改革理念所倡导的。在初中数学教学中，实现个体化教学的方式有多种。在此过程中，教师可以通过课堂教学中的个别指导、小组活动等方式，关注每个学生的学习进程和存在的问题，并提供针对性的帮助和指导。

二、新课改背景下初中数学三角函数的常见题型

（一）三角函数的概念及同角关系式

在新课改的背景下，作为初中数学教师，对三角函数的教学需求和策略，应有所改变。教师应深入理解三角函数的概念，尤其是同角关系式，然后设计具有挑战性的题目，以检验和提升学生的理解能力。其中一个常见的题型是考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律。

题目：设α为第二象限的一个角，并且已知cosα= -，求sin2α和cos2α的值。

在解答这类题目时，教师需要引导学生运用三角函数的诱导公式，例如sin2α=2sinαcosα和cos2α=cos2α-sin2α。同时，学生也需要注意三角函数的符号规律，例如在第二象限中，正弦函数值为正、余弦函数值为负。

在讲解这类题目时，教师需要详细解析三角函数的诱导公式，展示如何从已知的cosα推导出sin2α和cos2α；同时也需要指出分类讨论的重要性，例如需要知道α在第二象限，从而确定出sinα的符号是正，cosα的符号是负。这一步是解题的关键，也是许多学生容易忽视的地方。

教师还需要强调，学生在解答这类题目时，正确选取三角函数值符号的重要性。在这个题目中，由于α在第二象限，因此sinα应该选取正数，cosα应该选取负数。这是根据三角函数的基本性质和象限的知识得出的结论。

（二）化简求值

新的教育改革要求，初中数学教师在三角函数的教学中，应更多地考虑学生的主动性和创新性，而化简求值题型则是一种很好的实践方式。这类题目主要考查三角函数的变换，尤其是和、差、倍角公式和诱导公式的灵活运用。以下是一个具体的题目示例：

题目：已知sinα=（α在第一象限），求sin2α+cos2α的值。

这是一个典型的化简求值题型，需要学生运用诱导公式进行化简求值。在解答这类题目时，教师需要引导学生正用和逆用各种三角函数公式，灵活地进行变形和计算：

1. 教师需要引导学生理解这个问题的基本结构，然后找到合适的公式进行变换。在这个问题中，学生需要知道sin2α+cos2α=1，这是一个基本的三角函数公式，因此题目的答案应该是1。

2. 教师需要引导学生注意到，尽管在这个问题中，并没有直接使用到sinα和cosα的值，但这两个值在解决其他类似的问题时，可能会有用。例如，如果问题是求sin2α或cos2α的值，学生就需要使用到sinα和cosα的值，并运用倍角公式进行计算。

题目：假设已知sinα=（α在第一象限），要求计算sin

α+

+cos（2α）的值。

解决这个问题，需要学生熟练运用三角函数的和差角公式以及倍角公式。为了引导学生正确地解答这类问题，教师需要注意以下几点：

1. 对sin

α+

这部分，需要学生知道sin

α+

=cosα，这就是和差角公式的一个应用。由于α在第一象限，根据勾股定理，可以计算得到：cosα=。

2. 对cos（2α）这部分，需要学生知道cos（2α）=1-2sin2α，这是倍角公式的一个应用。已知sinα=，可以得到：cos（2α）=1-2x

=-。

3. 学生需要将sin

α+

和cos（2α）的值相加，得到最后的结果：-=。

在这个过程中，教师需要强调公式的运用以及对不同公式应用在不同场景中的理解；需要着重引导学生掌握如何在三角函数的加减变换中，寻找到合适的三角函数公式进行化简。

三、新课改背景下初中数学三角函数的解题技巧

（一）加强对公式的记忆

在新课改的背景下，作为初中数学教师，需要注重培养学生的解题技巧，提升他们解题的正确率、速度和灵活性。在三角函数的学习中，公式的记忆和理解尤其重要，这包括定义式、函数公式、诱导公式以及基本公式，教学过程如下；

首先，教师应以具体的题目为例，展示公式在解题中的应用。

题目：设角α在第一象限，已知sinα=，求cos（2α）的值。

在这个题目中，教师可以引导学生运用倍角公式cos（2α）=1-2sin2α来解答。通过这个实例，教师不仅可以教导学生如何应用公式，还加强了学生对倍角公式的记忆。

其次，教师需要让学生理解公式背后的数学意义，这样学生才能在不同的问题中进行灵活运用。在以上题目中，教师可以解释cos（2α）=1-2sin2α这个公式是如何由三角函数的定义和性质推导出来的。学生只有深入地理解了公式的由来，才能在面对不同的题目时，自如地选择和运用公式。

再次，教师还可以设计一些训练题目，让学生熟练运用各种公式。

如奇变偶不变、符号看象限的实际问题：

题目：已知α在第一象限，tanα=，求tan（270°+α）和tan（360°+α）的值。在这个问题中，教师可以先引导学生分析270°、360°与90°的倍数关系，270°是3个90°，是奇数倍，因此tan变为cot；360°是4个90°，是偶数倍，因此tan不变。然后，教师可以引导学生运用“符号看象限”的规则，即因为270°+α在第四象限，tan在此象限为负，所以tan（270°+α）的值为-；360°+α回到第一象限，tan在此象限为正，所以tan（360°+α）的值为。在这个过程中，教师可以重点解释“奇变偶不变，符号看象限”的规则，让学生明白这个规则的由来和意义，然后通过实例让学生熟练应用这个规则。同时教师可以设计更多类似的题目，让学生进行练习，以进一步加强他们对公式的记忆。

（二）利用正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理在初中数学教学中，是非常重要的知识点，可以解决许多涉及三角形的问题，如下：

题目：已知直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=10，求AC的长度。

解答这个问题需要利用正弦定理。正弦定理为：在任意三角形中，任意一边的长度与其对应角的正弦值之比是恒定的，即==。

为了解答这个问题，教师需要先引导学生应用正弦定理，将问题转化为=的形式；然后引导学生将已知的角度和边长代入公式，得到=。通过计算，可以得到AC的值为5。

在此过程中，教师需要引导学生理解正弦定理的意义，并教会他们如何正确地将正弦定理应用到实际问题中；需要着重强调正弦值的计算和三角函数在解决实际问题中的应用。此外，教师还可以设计一些类似的问题，让学生多加练习，以提高他们运用正弦定理解决问题的能力。

（三）利用三角函数的图象和性质求解不等式的解集

利用三角函数的图象和性质求解不等式的解集，是初中数学课程中的一项重要技能。想要解决该问题，学生不仅要熟悉三角函数的基本性质，还要理解和运用其图象特性。

题目：求解不等式2sinx-1≥0的解集，其中x∈［0，2π］。

为了解答这个问题，教师可以引导学生先将不等式转化为sinx≥，然后考虑sinx函数在［0，2π］区间的图像。众所周知，sinx在

，

区间内的值大于或等于。因此解集就是x∈