小学数学“数感”培养的三种方式

福建省晋江市华泰实验小学 许贻亮

在新课标核心素养的主要表现及其内涵中，“数感”的具体定义为“主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟”，同时“数感”与“量感”并列，意味着对“量”的直观感知与“数”的直观感悟在密切联系中各有侧重，虽然它们都隶属于“数学眼光”。小学数学教学中，“数感”培养的关键时期是在低年级，“数感”通过数数、记数、数的运算、解决问题等不断地得以培养与发展。那么，到了高年级，如何基于新课标的理念与具体要求，继续促使学生获得“数感”的发展及深化？下面，笔者结合执教北师大版数学五年级上册“分数的意义”单元中的三个课例，各撷取三个教学片段，试梳理三种常见的培养方式，求教于各方家。

一、直观式，让“数感”有形可依

数是对量的抽象，理解数的意义和数量关系，是“数感”培养的重要内容。史宁中、吕世龙教授认为，“‘数感’是对数的‘感悟’”，既包含感知的成分又有思维的成分。把抽象的数用直观的方式进行表达，有利于化抽象为形象，在形的依托下更好地展开对数的“感”与“悟”。在这里，直观的方式可以是计数器、数线图、面积模型等，不求华丽，但求贴切。

例如，北师大版数学五年级上册“分饼”一课，本课教学的主要内容是真分数与假分数的认识，内涵是分数“商的意义”，教材中设计的核心问题是“5张饼要平均分给4个人，每人分到多少张饼”，实际教学中，学生源于本单元第一课时分数的“份数意义”，对假分数的认知是有困难的，既不好迁移又不好理解：“平均分成4份，怎么可能取出这样的5份？”为此，教师在教学中可以把假分数的认识纳入数认识的大背景下，把前1课时的分数单位的认识与本课整合起来，基于“数，起源于数”的分数“度量意义”来设计并组织教学，采用多元直观的方式，让学生在真分数与假分数的认知中，化“难”为“利”，进一步发展分数的“数感”。

活动一：数数。教师在教学分数单位后，一张一张地出示圆片的，让学生在数一数的累加中由到、的同化后，这时再增加一个，“用哪个分数表示呢？”有些学生受限于三年级原有的知识经验，写出，理由是已经是第5份，不可能还是，应比大，所以是，而忽略了和其实是一样大的。也有的学生认为，累加过程中分数单位不变，所以分母依然是4，但分子不敢写5，因为没见过、没把握，误以为分数的值最多只能到“1”封顶，所以写成了。当然，也有学生受到圆片的的直观“暗示”，已在观察中自觉地拼接出，实现了从真分数到假分数认知上的突破与顺应（见图1）。教学中，圆形图片在重复中的累加以及圆形图片易于把握分数单位的特点被很好地体现出来，使学生对假分数的认知有了依托与直观上的认可，“能够在真实情境中理解数的意义”。

图2

活动三：判断。如图3，在对一组分数按真分数、假分数分类后，数线图上出现一个“点”，请学生判断这个点表示的是这组分数中的哪一个。这时，学生充分依托直观的图形可做出直觉判断：这个点不到“1”，肯定是一个真分数；它的位置更靠近“1”，肯定大于“一半”且超过部分较多。题目中符合这些条件的，只有真分数。把“数”与“形”结合在一起，不仅培养了学生的“数感”，而且发展了学生的几何直观与推理意识，可谓一举多得。

图3

二、浸润式，让“数感”有话可说

“数感”看似是个体的、内隐的直观感悟，但并非不可感知与洞见。要想感知与洞见学生“数感”现有状态、发展脉络等，需要工具也需要空间和机会。因此，教师在设计教学活动时，要以真实情境为载体，让学生的“数感”在数学语言的表达中潜移默化地得到提升。在这里，浸润的方式可以是操作探究活动、师生互动交流、数学资料阅读等，不求新奇，但求厚实。

例如，教学北师大版数学五年级上册“分数的再认识（一）”时，该课的教学重点是对分数意义的理解与把握，其核心是对“一个整体”及部分与整体之间数量关系的理解与把握。张奠宙先生说，概念教学要“注重本质，淡化形式”。为此，在突破“一个整体”这一教学重难点时，教师可以采取“题组”推进的方式，从“一个整体”的外延入手，让学生从整数量到小数量再到分数量，感受“一个整体”外延的变化，在较长时间内浸润其中，获得对其内涵的深入感悟及洞见表达。同时，紧扣“数感”培养，设计其他浸润式体验活动，把课堂构建成培养、发展及深化“数感”的场域。

活动二：涂色部分占几分之几。在学生对“一个整体”及分数意义有了进一步的理解后，教师可出示一张无刻度的宽纸条，并将其中部分涂上颜色，问：“涂色部分占整张纸条的几分之几？”（见图4）由此让学生浸润于独立的观察与估测中。有的学生仅用眼观察、分析；有的学生则手眼并用，眯眼并用手指尝试比画、估量其大致的平均分情况。在交流时，教师可先请学生说出对涂色部分所占比例的估测，再以两手的距离为一份进行比画验证。刚开始，有的学生以为是，经过验证发现这样会超出整张纸条；也有的学生以为是，经过验证发现这样整张纸条度量不满。这时，学生便大胆猜测“应该是”，折射出对分数的敏锐直觉。此时，借助直尺度量，确定涂色部分占整张纸条的，也就是学生猜测的（见图4）。在这里，“观察—估测—验证—调整—再估测—再验证—再调整”组成一个循序渐进的体验活动，学生浸润其中，进而“能在简单的真实情境中进行合理估算，做出合理判断”。

图4

活动三：谈对三分之二的感觉。在练习强化中，教师可出示一组蕴含分数的数学信息（见图5），在让学生判断出各题的“一个整体”后，提问：“对这两个，你有什么感觉？”直面学生对相同分数在不同现实情境中的直观感悟，让学生沉浸其中。对于第一条信息，学生的主要观点是“太多”——睡眠不足的占全班同学的；而对于第二条信息，学生的主要观点是“太快”“太好看”——10分钟读了绘本故事书的。同一个分数，在不同现实情境中蕴含着不一样的认知体验，也让学生在数学交流中丰富对分数的多元感知。

图5

三、启悟式，让“数感”有光可闪

启发式教学强调的是“不愤不启、不悱不发”，学生在“愤悱”状态中更易于激发、点燃数学思维，从而获得认知上的飞跃。在“数感”的培养中，通过启悟式的教学活动设计，直面数学学习过程中的“盲区”，让学生产生困惑，然后教师再给予循序渐进的“启”与“悟”，从而促使学生有更多数学思维的灵光闪现。在这里，学习“愤悱”的方式可以是教师的提问、待解的问题、挑战的任务等，教师可以在其中投一些“石子”、设一些“堤坝”，不求深奥，但求通透。

例如，北师大版数学五年级上册“分数的基本性质”一课，本课教学重点是对“等值分数”的理解，即有规律地改变分子、分母的数值而保持分数的大小不变。从本质上讲，分数的基本性质与商不变的规律虽名称不同，实则数理相通。但是，想把预设的“理想”转变为生成的“真实”，需要设计启悟式的数学活动，从而促成学生对分数基本性质的通透感悟。

活动二：你熟悉吗？在归纳概括出分数的基本性质后，教师让学生再慢慢地读一遍，然后追问：“对这个规律，你是否感到很熟悉？”创设“愤悱”的问题情境，唤醒学生对商不变规律的记忆。利用课件把二者并排放在一起，梳理其中的相同点。借由分数与除法的关系进行再次举例强化，从而把二者深度地连接在一起，学生发现：“它们是一样的！”如此，在不同中寻找相同，把新知与旧知联系、融合起来，学生对分数基本性质的感悟得到了升华。

活动三：敢挑战吗？根据“等值分数”的特点，教师有序出示和相等的5个分数，先让学生从这个“家族”中选出一个数作“代表”，多数学生支持，因为最简单；其他分数都是从“生”出来的。接着，再请学生利用直尺在数线图上标出，然后布置挑战性任务：“在30秒内，把剩下4个分数都标到数线图上。”在学生紧张操作的同时，教师还可以看着手表进行倒计时报数——还有20秒、10秒、5秒，时间到！营造时间紧迫的气氛，从而“迫使”学生从最初“先平均分，再在合适的位置写上分数”的惯性思维中“挣脱”出来，意识到问题所在——“这样的平均分太慢了，来不及”，进而直接抓住这组分数“它们一样大”的特点，灵光一闪，快速地把剩下4个分数写在所在位置的下方，“初步感受数学表达的简洁与精确”。如此，实现了从原来数线图上的一个点表示一个分数，到现在数线图上的一个点可以表示无数个的等值分数，发展学生的“数学直觉”，获得对分数直观感悟的再次升华。

当然，“数感”的培养还要关注数量关系、运算结果等方面的直观感悟，需要在有关“数与运算”教学主题下的每一节课中都有意识地加以培养、发展与深化，这样才能不断提高学生对数与数量关系等的“数学化反应”，为学生创新意识的发展提供营养，并奠定厚实的经验基础。其中，以上三种培养方式仍适用，只是要针对具体课例具体分析，并做出具体调整与优化，从而使看似“虚”与“玄”的“数感”得以生动、深刻地生长于学生的数学理解之中。