例谈高考三角函数复习备考策略

2023-10-16吴伟雄

数理天地(高中版) 2023年19期

关键词：复习备考高考数学三角函数

吴伟雄

【摘要】三角函数是高中数学的六大主干知识之一，也是历年高考的热点问题^[¹^].本文结合近两年的全国高考试题，对三角函数知识的考点进行分类、总结，突出在高考中三角函数部分考查的侧重点，提高三角函数高考复习的质量.

【关键词】三角函数；高考数学；复习备考

1 考点回顾

1.1 考点分布

近两年高考试题中三角函数的考点主要有：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式、图像与性质、解三角形以及与三角函数的综合问题.

1.2 命题规律

从试题结构与考点分布上看，难度保持相对稳定且题目适度创新；基本是1或2道小题加1道大题，分值一般为17分或22分；主要为选择题、填空题和解答题，一般属于中档题.

1.3 考点预测

结合近两年三角函数高考试题的命题规律、考点分布及与其它知识点交汇的情况来预测下一年高考在选择题或填空题中将重点考查：同角三角函数的基本关系、三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合是考查的热点，同时要注意三角函数定义的复习，难度为基础题或中档题.在解答题的考查中将重点考查：已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理求平面图形的边、角与面积，多为中档题，也可为压轴题.

2 典例剖析

2.1 考查三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式与三角恒等变换

例1 1）（2020全国Ⅱ卷理）若为第四象限角，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

2）（2021全国新高考Ⅰ卷）若，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析 1）本题考查的是任意角三角函数的定义、象限角的概念、二倍角公式的应用.本题解法可以是从选项出发，用二倍角公式展开，利用角的位置判断的符号，从而得到所求三角函数的符号；也可以利用角的位置确定角终边所在的象限，再根据三角函数值在各象限的符号而得到所求三角函数的符号.意在考查学生的基础知识和解题能力.

2）本题考查的是三角函数式的化简求值问题，涉及到的知识是同角三角函数的基本关系、二倍角公式.本题解答的关键是利用和进行处理，结合齐次式的特征即可求得三角函数式的值.意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

评注 1）三角函数定义法求值：一般地，设角终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则.

2）判断三角函数值符号及角的位置的方法：如果已知角的三角函数值中的两个的符号，可以确定出角终边的可能位置，两者的交集即为该角的终边位置，也要注意终边在坐标轴上的特殊情况^[^2].

3）同角三角基本函数关系式的应用策略：借助实现角的正弦与余弦的互化，通过实现角的正弦、余弦与正切的互化.在使用这两个互化公式求三角函数时，对于角的象限不明确时，一定要注意函数值的符号的判断.

4）诱导公式常用在化简、求值及证明恒等式等题型中.在化简或求值的应用，关键在于根据给出角的特点，将角化成（为整数）的形式，再根据值“奇变偶不变，符号看象限”进行化简，化简时应遵循“负化正、大化小、化到锐角再计算”的原则.

5）三角恒等变换的基本思路是找差异、化同名（角）、化简.策略是：①在使用两角和（差）、二倍角的正余弦、正切公式时，首先必须是记住公式的结构特征，根据问题条件的结构选择合适的公式进行变形，在变换过程中常用到换元、逆向使用公式等方法.②对于求函数的有关问题，通常化为或的形式再应用其对应的基本函数的性质来解决问题.

2.2 考查三角函数的图像与性质

例2 1）（2021全国乙卷文）函数的最小正周期和最大值分别是（）

（A）和. （B）和2. （C）和. （D）和2.

2）（2021全国乙卷理）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析 1）本题考查的是三角恒等变换的应用及三角函数的性质，其中性质涉及的内容是三角函数的周期性与最值.本题的解法是先将原函数化为，再结合函数的性质确定周期为，最大值.意在考查学生推理能力和化归思想.

2）本題主要考查三角函数的图像变换，既可以正向推导，也可以逆向求解.由图像得到图像有两种方法：一种是先左右平移再伸缩，另一种是先伸缩再平移.无论是哪一种变换，它变换的都是对自变量.本题的解法是反推逆向变换，可以把函数的图像向左平移个单位长度（即把函数解析式中的换成），得到函数的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍、纵坐标不变得到函数的图像.也可以把函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍、纵坐标不变，得到函数的图像，再向左平移个单位长度（即把函数解析式中的换成），得到函数的图像.

评注三角函数的图象与性质的解题策略：①在三角函数图像的伸缩平移变换时，一定要注意先伸缩再平移是平移个单位而不是个单位，且变换前后两个函数是同名的；若不同名，则可通过诱导公式化为同名.②解答函数、、（）的性质时：对于求定义域、值域、对称性、单调性、最值时，可以将看作一个整体，再与相应的简单三角函数性质比较得解.对于求奇偶性，只有当取特殊值，即这些复合函数可以化为、、时才具备奇偶性.对于或的周期用公式求解，对于的周期用公式求解.

2.3 考查解三角形

例3 1）（2021全国乙卷理）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 .

2）（2021全国新高考Ⅱ卷）在中，角，，所对的边长为，，，，.

①若，求的面积；

②是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3）（2020全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

分析 1）本题考查的是余弦定理与三角形的面积公式的应用，属基础题.本题的解答由、及联立解得.意在考查学生公式的运用和解题能力.

2）本题主要考查了正、余弦定理的运用.本题的解答是：对于①，根据已知条件以及正弦定理可得，，，再结合余弦定理及三角形面积公式，即可求得.对于②，由及余弦定理可推得为钝角三角形时，角必为钝角，再运用余弦定理可推得，再结合，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求得.意在考查学生对三角函数基础知识的综合运用.

3）本题是一道结构不良题目，打破了常规形式，目标指向开放，增加思维量，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等学科素养^[^1].主要考查了正、余弦定理的灵活应用.本题的解答是：对于①，根据题意，结合正弦定理可得，，结合，运用余弦定理，即可求得.

对于②，根据题意，中，即可求得，进而得到.运用余弦定理，即可求得.

对于③，根据，即，可列式求得，与已知条件矛盾，所以问题中的三角形不存在.意在考查学生知识掌握的系统性、解题的灵活性和创造性.

评注解三角形主要是从正（余）定理出发，结合面积公式及三角形的相关结论，活灵求解三角形的边角问题以及三角形中的边角互化、判断三角形形状等问题^[³^].一般来说，在三角形中，若“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”使用正弦定理求解；若“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”则使用余弦定理求解.在应用定理中要做到“统一角、统一函数、统一结构”即“三统一”.

2.4 三角函数的综合问题

例4 1）（2021全国甲卷理）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为________.

2）已知为坐标原点，点，，，，，则

（A）（B） .

（C）（D）

评析 1）本题的考点是三角函数的图像与不等式的综合.本题的解法是：由的部分图象可求得周期，，由五点作图法可得，确定其解析式，故可得，，最后通过求解三角不等式可得最小正整数为2.意在考查学生的数形结合思想与运算求解能力.

2）本题考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数与平面向量数量积的性质及运算的综合.本题的解法可以是由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案；也可以是由题意画出图形，利用向量的模及数量积运算逐一分析四个选项得答案.意在考查学生的转化思想、数形结合思想、數学运算能力.

评注对于三角函数的综合问题，在涉及到与三角恒等变换有关的问题时可以优先考虑角与角之间的关系；在涉及到与三角形有关的问题时可以优先考虑正弦（余）弦定理.

3 精题集萃

1.若已知，则的值为（）

（A）. （B）. （C）. （D）.

2.已知函数，图象的相邻两条对称轴间的距离为，且，则不等式的解集为