解答三角函数问题的常见数学思想应用分析

张守城 唐玲

【摘  要】  三角函数是对高中数学函数知识与三角形知识的重要延伸，同时也是高中数学中的重难点知识之一.与三角函数有关的问题，其命题形式灵活多变且具有一定难度，结合常见的数学思想有助于问题的解答.本文主要介绍两种常见数学思想求解高中数学三角函数问题，以此帮助学生快速找到解题关键，从而提高解答三角函数问题的效率.

【关键词】  高中数学；三角函数；数形结合

1  数形结合思想

数形结合思想是解答三角函数问题的基本且重要的思路，运用的关键在于根据三角函数解析式得到相关图象，再从具体图象出发得到满足要求的关系等式，从而对问题做出完整解答.数形结合思想的运用，在三角函数解析式问题、具体函数值问题都有明显体现.运用数形结合思想解题，一般解题步骤可表现为：①结合已知条件画出具体三角函数图象，②分析图象特点，结合具体值得到三角函数的周期大小、拐点坐标，③将图象的坐标、值的大小代入相关等式中，得到问题所求.

例已知函数的部分图象如图所示，试求函数的解析式.

图

剖析 该题主要对三角函数的图象进行具体分析，从图象可得知拐点坐标、与轴的交点坐标，将其代入三角函数解析式中，可求出的大小，即可得到三角函数的具体解析式.

解析  由图象可知，

且，

得.

又因为，

所以，

将最高点代入上式，

可知，

故，

因为，所以，

故函数解析式为.

例已知，，在上恰有个极值点，则正实数的取值范围为_____.

剖析首先根据问题要求得到三角函数解析式，在规定范围内求解三角函数的极值点个数，可以结合三角函数具体图象进行解答，即在规定区间内有三个拐点，可根据图象列出不等式，运算求解即可得知实数的取值范围.

解析由题意可得，

令，则有，

问题转化为函数在上有个极值点，

图2

由图象可得，，

解不等式可得，

故正实数的取值范围为.

2  等价转化思想

等价转化思想也是求解三角函数问题的常见思路之一，着重于将三角函数问题转化为常规熟悉的数学问题，如将三角函数极值问题转化为方程实数根问题.等价转化思想，在三角函数的取值范圍问题、三角函数的极值问题都有一定体现.运用等价转化思想解题，一般解题步骤为：①分析问题要求，考虑三角函数问题的具体转化方向，如函数的零点问题、方程的实数根问题等方向，②等价转化问题后，列出相关关系式，运算求解得到答案.

例已知，函数的周期为，当时，方程恰好有2个不等实数根，求实数的取值范围.

剖析 首先对问题做出分析，与三角函数有关的方程实数根问题可以等价转化为三角函数与其他函数之间的交点问题，通过三角函数图象的变化列出对应不等式，即可求得实数的取值范围.

解析  由题意可得的最小正周期为，

因为，所以，

令，由，

则有，

如图所示，若在上存在两个不同解，

则，

图

所以方程在恰有2个不同实数根，恒有，

故实数m的取值范围为.

3  结语

数形结合思想和等价转化思想都是解答三角函数问题的有效思路，在解答过程中存在交叉现象，即两种数学思想既能单独运用在三角函数问题上，也能同时出现在三角函数问题解答过程中.熟练掌握三角函数基础知识，采取合适的数学思想解答三角函数问题，也就达到同学们学习和训练的根本目的.

参考文献：

• 张起洋.高中数学数形结合思想在三角函数问题中的应用探究[J].数理化解题研究（高中版），2017（06）：39.

[2]喇玉萍.运用数学思想方法，解答三角函数问题[J].语数外学习（高中版中旬），2020（11）：43.