高中数学导数在解答各类问题中的应用

王衍星

【摘  要】  导数作为连接学生函数知识体系的重要节点，良好的知识掌握对学生数学成绩有十分重要的意义.通过总结可以发现，在不等式证明、极值问题、参数取值范围等诸多问题的解答中，都需要导数的参与，但是学生对其的掌握和运用并不理想.因此，系统性分析导数在各类问题解答中的运用，可以促进学生成绩的提升.

【关键词】  导数；解题；高中数学

高中阶段，导数是一个十分重要的知识点，贯穿于整个函数知识体系.灵活运用导数知识对于学生解答函数问题有很大的帮助，能降低学生解题的难度.无论是在不等式证明、极值问题中，还是在参数取值范围、函数图象推导及综合运用题中，都能发挥极大的作用.但是在考查中，学生对导数知识的运用并不理想，因此，本文系统性总结导数在相关题型中的解题方法及策略，以帮助学生快速提升.

1  证明不等式

不等式证明作为一种常见题型，当涉及比较复杂的不等式时，借助导数往往可以更加快速地解答问题.

例1证明：

证明令，则可根据与0的关系进行求证，

对其进行求导可得，

因为，

所以，

所以，

因为在处连续，

所以在区间内函数单调递增，

所以当时，

2  极值问题

在极值问题中，通常有多种方法，但是普通的方法往往会增加解题的复杂性，浪费时间，而借助导数，极值问题就会变得直观明了.首先，根据导数与0的关系，确定函数的变化趋势，然后根据变化趋势确定函数的最值.

例2已知函数

（1）若在点处的切线与轴平行，求；

（2）求函数的极值.

解（1）因为，

根据其求导可得，

因为在点处的切线与轴平行，

所以，

即，故

（2）由上可得，，

①当时，，

所以在上是增函数，故函数无极值.

②当时，令，

得，即

所以当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取最小值，为，无极大值.

综上所述：时，无极值；

时，在处取极小值，无极大值.

3  参数的取值范围

确定函数中参数的取值范围是数学问题中较为复杂的一类题目，是对学生综合知识的考查，需要学生熟练运用导数的相关知识，以此分析函数图象特点，降低解题难度.

例3设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.

解当时，

，

所以，

函数在区间上是单调函数，

即或在上恒成立，

（1）若在区间上单调递增，则，

所以，对恒成立，

因为，

所以，不符合题意，舍去；

（2）若在区间上单调递减，则，

所以，

在上连续递增，

对恒成立，

因为，

因此

综上所述，时，函数在区间上是单调递减函数.

4  推导函数图象

图象问题是函数考查的重点，当遇到复杂函数时，学生根本画不出其相应的函数图象，解题更无从谈起.此时，学生便可以借助导数，根据导数的大小确定函数的大致趋势及变化规律，再解答问题便变得十分简单.

例4 设函数在定义域内可导，图象如图1所示，则其导函数的图象为（   ）

图1

解析根据图象可得：当时，单调递增，所以在上，，故（A）（C）错误；当时，呈现先增、后减、再增趋势，根据时为增函数，为减函数，可以得到图象趋势为先在x軸上方，而后到下方，最后又到上方的形状.故正确答案为（D）.

5  综合应用题

综合运用题是对学生运用函数能力的考查，当学生熟练掌握函数基础知识时，能够快速解答第一部分，对于第二部分解答时，则需要学生借助导数来降低解题难度，将解析式正确求导后，根据题意便可一步步得到结果.

例5 某产品成本为6元，售价为元，销量为万件，已知与成正比，当售价为10元时，销量为28万件，

（1）利润与售价之间的关系为？

（2）为多少时，利润最大.

解  设，因时，销量为28万件，

所以，，

可解得

所以

所以

（2）对函数进行求导，

得

令，得或，

因为，所以舍弃

当时，；当时，；

所以函数在上递增，上递减，

所以当时，最大为

故售价为9元时，利润最大为135万元.

6  结语

综上所述，在诸多问题的解答中都需要学生运用导数思维，灵活运用导数思维不但可以降低解答问题的难度，还能提升解题速度，节约时间，所以，在日常学习中，学生需要系统性学生导数相关的知识，灵活掌握基础性质，以保证在考试中快速解答问题.

参考文献：

[1]谭芳芳.导数几何意义的应用研究[J].高中数理化，2022（Z1）：20-21.

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[4]杨岩.导数在函数不同题型解题中的应用[J].中学数学，2022（01）：86-87.