例谈放缩法证明函数与导数常见试题

汪敏

【摘  要】  放缩方法是解答函数与导数证明问题的一种常见方法，以不同函数类型进行区分，常见的放缩公式有、和等.掌握常见放缩公式的具体应用情境和求解思路，有助于学生更加深刻地认识和掌握放缩方法.本文主要列举3个不同常见的放缩公式，探讨分析运用的情境和解题思路.

【关键词】  放缩法；函数与倒数；指数函数

通过近年来高考试题的观察，我们可以发现在函数与导数的问题中，很少单独考查初等函数，而是综合考察一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种类型，命题经常涉及求最值、极值、单调区间、函数的零点、参数的取值范围等等，从而全面检测考生将不同板块的知识融会贯通，灵活解题的能力.然而，在解题过程中，有的解析式过于复杂，有的求导繁琐，导致考生难以进行运算，无从下手，甚至中途放弃.

1  指数放缩

当函数与导数的证明问题中存在指数函数时，运用放缩公式解答问题十分常见.该放缩公式源于教材的一组习题，通过证明发现可以运用在其他函数与导数相关问题中.运用该放缩公式证明相关问题，具体解题步骤可表现为：①证明需要运用的放缩公式成立，代入问题相关的不等式中进行部分放缩，②根据放缩后不等式结构构造函数函数解析式，结合导函数讨论函数的性质和值域，对放缩后的不等式进行证明，③由于放缩得到的不等式成立，故问题原不等式也随之成立.

例1已知函数，当时，证明.

分析首先证明放缩公式成立，其次借用对不等式进行放缩，可转化为证明不等式成立，此时对放缩后不等式构造函数，讨论构造的函数单调性和极值，通过证明放缩后不等式成立，继而证明问题原不等式成立.

解析由，得，

即证明，

令，则，

因为时，

所以当，，函数单调递减；

当，，函数单调递增，是函数的最小值，

所以恒成立，

即恒成立，

因为，当且仅当时等号成立，

即不等式等价于证明，

令，

则，

因为当時，

所以在上，函数单调递增；

在上，函数单调递减；是函数的最小值，

因为恒成立，即成立，

所以当时，.

2  对数放缩

当函数与导数相关的证明问题中存在对数函数类型时，放缩法解答相关问题运用的公式有，运用该公式对其不等式、函数或导数进行放大或缩小，进而使问题求解更加直接简洁.运用该放缩公式证明相关问题，具体解答步骤为：①证明放缩公式成立，②将其代入问题函数或导数中放缩，得到放大后或缩小后的不等式，③证明放缩后不等式成立，即可达到问题所求目的.

例2  已知函数，试证明：时，在上恒成立.

分析  根据不等式构建新函数，先证明成立，再将其代入函数中进行放缩.由于需要证明的不等式中含有参数，故首先对参数的大小进行分类讨论，分情况讨论不等式的成立情况.根据对应单调性和极值进一步讨论放缩后不等式是否成立，即可证明原不等式成立.

解析  令，

则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

，

所以恒成立，

即恒成立，

令，

则，

• 当时，此时，，在上单调递减，，即当时，恒成立；
• 当时，在恒有成立，不符合题意，
• 时，由时，

可得可得，

即恒成立，当且仅当时等号成立，

所以时，恒成立，

故，

令得，

当时，

在上递增，，故不符合题意，

综上所述，时，在上恒成立.

3  结语

运用常见的放缩结论证明函数与导数问题，能使问题的证明更加简洁直观.不同的放缩结论应用有着对应合适的情境，需要学生进行准确判断.只有在合适的情境中运用正确的放缩思路，才能准确快捷解答问题.总的来说，放缩法是函数与导数问题中非常重要的一种解题思路.通过巧妙地运用代数技巧和数学不等式，可以有效地缩小问题的范围，简化问题的求解过程，从而解决原本复杂的问题.在高考中，许多常见的函数与导数问题都可以通过放缩法来解决，例如求证函数单调性、证明最值等问题.因此，对于高中数学学习者来说，掌握放缩法解题技巧是非常重要的.同时，我们也需要注意，放缩法虽然可以缩小问题的范围，但也需要一定的思维能力和数学功底来运用，需要在多做题和不断练习中逐渐掌握.

参考文献：

[1]关传平.谈谈放缩法在"函数与导数"中的应用[J].数学大世界（下旬），2020（10）：12-14.

[2]吴跃，陶来舟.例析用放缩法解导数中的存在性问题[J].语数外学习：高中版（下），2018（02）.38-39.