数形结合求解函数零点问题

蔡秋峰

【摘  要】利用数形结合法可以求解函数零点问题，包括求函数零点的和、比较零点的大小关系、参数的取值等.具体求解时需要整理变形函数，绘制函数图象；再分析图象作出判断，代数运算完成求解.本文结合实例探究数形结合法求函数零点问题，总结方法过程.

【关键词】  高中数学；数形结合；函数零点

函数零点问题的类型众多，具体求解时可以采用数形结合的探究方法，即转化零点问题，绘制函数图象，结合图象分析判断，代数运算推理求解.下面结合实例探究数形结合法在三大零点问题中的应用.

探究一  数形结合求函数零点的和

利用数形结合法求解函数零点和，即利用函数图象来判断函数的零点，再通过运算求解零点之和的方法.求解时可分两步进行：第一步，首先根据给定区间的函数解析式作出图象，再根据函数的性质补全图象；第二步，分析函数图象，确定函数零点，运算求解零点之和.

例1  函数，则的图象在内的零点之和为（   ）

（A）2. （B）4. （C）6. （D）8.

解析由可得.

则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，

又函数与函数的图象都关于点对称，可在同一直角坐标系中作出函数与函数的大致图象，如图1所示.

由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4，答案为（B）.

评析上述利用数形结合的方法来求解函数的零点之和，针对复合函数采用拆解构造的方法，分别绘制函数图象，利用图象中的函数交点来确定原函数零点，并求解零点之和.

探究二  数形结合比较零点的大小关系

采用数形结合法可以比较函数零点的大小关系，即利用函数图象中零点位置的相对关系来作出判断的方法.求解时同样可分两步进行：第一步，观察分析所属函数的解析式，并画出函数图象；第二步，分析图象交点横坐标的大小，再判断所求数的大小关系.

例2 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的（   ）

（A）.        （B）.

（C）.        （D）.

解析由题可得a，b，c即为的图象分别与，，的交点的横坐标.在同一坐标系中画出三函数的图象，如图2所示.由图可得，，所以答案为（A）.

上述求解時采用数形结合法来分析函数零点的大小关系.所涉三函数中均含有，从而将零点问题转化为的图象分别与，，的交点，从而可直接利用图象来判断零点的大小关系.

探究三  数形结合求零点问题的参数范围

数形结合法也可求解零点问题中的参数范围，具体求解时可根据函数解析式来绘制图象，分别讨论参数不同取值情况下零点的个数或取值，从而作出判断.破题核心思想为数形结合与分类讨论.

例3  已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值范围是（   ）

（A）.    （B）.    （C）.    （D）.

解析由可得是一个周期为2的奇函数，

当时，，

因此，.

因为是奇函数，

所以，，，

且的周期为，且，

，，，.

求的零点，即是与的交点，如图3所示为与在区间的交点图形.

因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此，所以答案为（A）.

评析  上述采用数形结合的方法求解零点中的参数取值，分析函数性质绘制函数大致图象，再结合图象来讨论满足条件的参数m的取值.

结语

总之，上述探究了利用数形结合法求解函数零点的三类问题，涉及了求零点之和、零点大小判断和参数取值.整体上可分为两大过程：过程一，变形整理函数，函数图象确定零点；过程二，解析讨论图象，确定最终结论.探究学习还需注意方法综合，包括构造函数，分类讨论，化归转化.