一道解三角形取值范围问题的解法

周春生

【摘  要】  解三角形是高考的高频考点，要求学生能利用正弦、余弦定理，三角形的内角和定理，面积公式等综合知识来解三角形，在解题的过程中体会数形结合、转化与化归的数学思想.本文以一道解三角形取值范围的题目，结合余弦定理、基本不等式、海伦公式等知识点进行求解，拓宽解题思路.

【关键词】  高中数学；解三角形；余弦定理

题目已知非等腰的内角的对边分别是，且，若为最大边，则的取值范围是（   ）

分析题中已知的关系，可以以余弦定理为切入点进行解答.由的取值范围可以联想到用三角形三条边的定理和基本不等式的知识点进行求解.

1  运用余弦定理求解

已知的关系，便可以使用余弦定理得到，对其两边进行平方并拆解，得到条件中等数据，并带回条件公式，得到的值，使用三角形的三边定理和基本不等式对取值范围进行求解，由三角形的两边之和大于第三边得到.

解由余弦定理得

，

.

由条件，

得代入上式得

，.

因为为最大角，所以，

由余弦定理得

，

当且仅当时，取等号，

但是非等腰三角形，故，

即，

由，得，

所以的取值范围为.

在解题的过程中，对余弦定理公式的两边进行平方并拆解的运算量大，需要耐心仔细，灵活使用余弦定理为基本不等式的使用做铺垫.

2  运用海伦公式求解

海伦公式的表达式为为解三角形问题提供了新的方法和思路，公式中的为半周长，表达方式为，将的值代入海伦公式得到三者的关系，再通过题目中已知的三者关系进行转化得到三角形的面积，并将其转化为三角函数形式，求出的两个取值.最后，将条件中的取值范围转化为三角函数问题，求出的取值范围.

解  由海伦公式知

，

又由，

得，

故，

即，

即，

由为最大边知，，

若，则为等边三角形，不可能

故，由，得，

，，

故，

若，则，与是非等腰三角形矛盾，故，

故的取值范围为.

一般地，对海伦公式需要熟练掌握，根据三角形的面积求出∠C的大小，将题目转化为三角函数进行解答，在运算的过程中同样需要耐心仔细.

3  结语

总而言之，在学习的过程中学生需要掌握解三角形问题中取值范围问题的常规解法，根据题目给出的条件灵活选择解决方法，综合运用学过的数学知识，理顺基本知识和答题技巧，提高解题能力.

参考文献：

[1]朱贤良，付朝华.解三角形中的取值范围问题攻略[J].数学通讯.2016（Z2）.37-39.

[2]吴利华，朱贤良.强化思想意识指引解题方向——例谈解三角形中的取值范围与最值问题的求解[J].数学教学研究，2021（05）：57-62.

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[4]吕佳峻.对一道解三角形求取值范围问题的思考[J].中学數学月刊，2022（06）：77-79.