基于GeoGebra的函数性质探究——以“幂函数”教学设计为例

⦿ 西华师范大学数学与信息学院 谢 涛 程国忠

幂函数是继函数概念及其基本性质后所学习的第一种基本初等函数模型.通过对幂函数的学习,构建出研究一类函数的基本方法,即定义与表示—图象与性质—应用.在教学中,大部分教师选择让学生通过观察图象,感知和发现函数性质.然而,观察图形变化是处理教学难点的一个关键因素,并且此过程中,函数图象均处于静态,学生难以感受到变化中的不变性,导致教学活动缺乏探究性,学生思维缺乏主动性.为解决这些问题,本文中基于GeoGebra(以下简称GGB)开展探究活动,对新人教A版高中数学必修第一册第三章第3节“幂函数”进行了如下教学设计.

1 回顾旧知,引出课题

问题1前面我们已经学习了有关函数的哪些知识?

设计意图:通过复习回顾所学内容,在学生原有的知识体系中生长出新的知识,帮助学生构建知识体系,探寻研究路径.

问题2利用已有知识,请同学们解决下列5个问题.

(1)如果张红购买了价格为1元/kg的蔬菜wkg,那么她需要支付p元,则p=______.

(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=______.

(3)如果立方体的棱长为a,那么立方体的体积V=______.

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=______.

(5)如果某人ts内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v=______.

追问1:如果去掉这些变量的实际意义,将自变量用x来表示,因变量用y来表示,上述五个式子分别如何表示?

追问2:观察抽象后的式子,它们在形式上都有哪些共同特征?

追问3:根据这些特征,可以用一个怎样的式子进行概括?

师生共同归纳总结,最终得到幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

设计意图:“情境问题是数学教学的平台”,创设合适的数学情境,有助于激活学生的数学思维.通过解决生活中的实际问题,抽象得到熟悉的函数模型,强化学生对函数概念的理解.通过3个追问,引导学生由这些特殊的函数概括出一般的形式,由特殊到一般,抽象出幂函数的定义.培养学生数学抽象核心素养,促使学生感悟特殊到一般的数学思想方法.

2 合作探究,体验过程

问题3根据初中研究一次函数、二次函数、反比例函数的经验,我们该如何研究幂函数?

问题4分别画出y=x,y=x2,y=x-1这三个函数的图象,并研究它们各自具有哪些性质.

教学组织:学生体验作图过程,并从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面研究这三个函数的性质,同时明确定义域是研究一个函数其他性质的前提.最后,教师借助GGB准确作图,如图1所示.

图1

设计意图:引导学生回顾研究一类函数的基本方法——图象法,并以学生熟悉的三个具体函数作为对象展开研究,符合“最近发展区”理论.引导学生从图象上直观感受函数的基本性质,让学生体验“说”的过程,进而体会“形”是研究函数的一种重要方式.

追问1:它们之间有什么共同的特点?

追问2:将它们放在同一坐标系下,有何发现?

教学组织:教师将合并后的函数图象(如图2)在GGB上呈现出来,引导学生发现它们的共性,鼓励学生提出有关一般幂函数性质的猜想,并借助GGB加以验证.

图2

发现1:这三个函数图象有共同的交点,都经过点(1,1).

猜想:幂函数图象都经过点(1,1).

探究:你能从代数的角度证明这一猜想吗?

根据幂函数的解析式f(x)=xα,可知f(1)=1α=1,所以幂函数的图象过点(1,1).

发现2:函数y=x,y=x-1是奇函数,函数y=x2是偶函数.

猜想:当指数α为奇数时,幂函数是奇函数;当指数α为偶数时,幂函数是偶函数.

探究:这是巧合还是必然呢?不妨借助GGB软件来探究(如图3).

图3

首先,在GGB的绘图区中创建两个滑动条,分别表示奇数和偶数,用于控制幂函数的指数.其次,在代数区中输入两类幂函数,绘制对应的函数图象.最后,拖动滑动条,让学生观察当指数α发生变化时函数图象的特点,猜想得以验证.

设计意图:单独研究每个对象时,要在变化中寻找不变性,即函数的性质,相对困难.因此,需引导学生学会用“分与合”这一思想,研究事物的个性与共性,认识事物之间的联系.对于函数性质的探究,信息技术不仅让抽象的函数“动”了起来,也让学生的思维“动”了起来,极大地提高了直观性,有助于发展学生的直观想象素养.

图4

设计意图:对于函数y=x3的图象,在描点过程中,部分学生喜欢取整数点,导致其与函数y=x2的图象在区间(0,1)上的位置关系拿捏不准.此时,引导学生在区间(0,1)上取点,并利用GGB实现交互,展示取点、列表、描点、连线绘制函数图象的动态过程,借助信息技术突破教学中的难点,克服学生思维上的障碍.同时,从“形”的角度再次证明了前面两个猜想的正确性.

追问1:再次观察这五个函数的图象,有何发现?

发现3:函数图象在第一象限均有出现,即幂函数在(0,+∞)都有定义.

追问2:聚焦第一象限,有何发现?

猜想:当指数α>0时,幂函数在第一象限内单调递增;α<0时,幂函数在第一象限内单调递减.

探究:创建两个滑动条,分别控制α>0和α<0.拖动滑动条,通过观察函数图象在第一象限内的变化,学生可以直观感受到这一猜想的正确性(如图5).

图5

追问3:当α<0时,函数在第一象限内单调递减.递减有怎样的特点?函数值会随着自变量的增大而无限减小吗?

发现5:当α<0时,x→0+时,函数图象无限接近于y轴;x→+∞时,函数图象无限接近于x轴.

设计意图:强化学生的作图能力和归纳概括能力,强化学生通过代数运算和几何直观来研究函数性质的方法.培养学生用数学的语言表达数学现象的能力.

3 自主归纳,提炼升华

根据探究得到幂函数的性质如下:

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1).

(2)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.

(3)若α>0,则幂函数图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.

(4)若α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋近原点时,图象在y轴右侧无限逼近于y轴,当x趋向+∞时,图象在x轴上方无限逼近于x轴.

4 学以致用,小试牛刀

例2利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:

5 梳理知识,形成系统

问题7我们是如何研究幂函数性质的?研究路径是怎样的?这一过程中学到了哪些数学思想方法?

设计意图:“思想方法是数学的灵魂”,通过构建思维导图(图6),总结研究对象所涉及的研究思路与方法,帮助学生建立良好的知识结构,从而促使学生核心素养的发展.

图6

新课程标准倡导数学教学要适当地利用信息技术进行辅助教学.对于抽象程度较大的数学内容,借助GGB的可视性,可建立起“抽象”通往“可见”的桥梁,为学生探索规律启发思路,为学生解决问题提供直观.只有这样,才能有效落实学生的“四基”与“四能”,发展学生的数学核心素养.