基于APOS理论的概念教学设计探究*——以“指数函数的概念”为例

⦿ 哈尔滨师范大学教师教育学院 于沛琳 陈建强

由于概念本身的抽象性会导致学生学习难度增大,且数学概念的学习效果与学生在课堂上的主观能动性和主体地位息息相关,因此教学中要以学生的发展为出发点,探索高效的教学模式.本文中以“指数函数的概念”为例,结合APOS理论进行教学设计的探究.

1 APOS理论

APOS由Action,Process,Object和Schemas的首字母缩写组成,它最初是由美国学者埃德·杜宾斯基在皮亚杰的反射抽象概念基础上发明的.APOS理论指出,个体通过活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段四个环节,来掌握数学的基本原则,从而形成一个完整的、有机的、有意义的、有系统的、有规律的数学思维模型.

APOS理论是一种从学习者的角度分析学习者如何阶段性地学习概念的学习理论.学习者的学习过程一般要经历APOS理论的前三个阶段.通过前三个阶段和其他与模式相关的数学概念的构成形成图式,达到对问题情境内外的概念的理解.

如图1,活动阶段是个体将对象转换为外部对象,需要逐步说明如何执行活动.通过对活动的反思,人可以将活动内化,并进行称之为过程的内部心理建构,个人可以在没有外部刺激的情况下进行转变.当个体将过程抽象为一个整体并且可以对这个过程执行转换时,即构造了一个对象.最后,图式是个人的活动、过程、对象和其他图式的集合,这些图式由一些一般原则联系起来,在个人的头脑中形成一个连贯的框架.四个阶段的教学应该有条不紊,逐步深入,不可跨越.也就是说,教学不应该局限于具体的、直观的阶段,而应该通过深入的思考和实践,将数学概念转化为抽象的的知识.

图1

2 基于APOS理论的概念教学设计

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在指数函数的教学提示中指出:“指数函数的教学,应关注指数函数的运算法则和变化规律,引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程,掌握指数函数的运算法则和变化规律.”

2.1 教材内容与分析

在必修一人教A版第四章第二节“指数函数”第一课中,指数函数被视为一类关键的初等函数,它不仅可以帮助学生掌握对数函数和等比数列的基础概念,还可以利用这些概念的学习更好地理解和掌握相关基础概念.

2.2 学情分析

学习指数函数的过程可以说是一个漫长而复杂的过程,因为需要从初中就开始积累函数的基本概念,需要对函数进行更加系统的分析,以及更好地理解函数的特征、运算规律与变换规律,这样才能更好地掌握指数函数,培养创新意识,以及思考、分析、总结的能力,提升自身的综合素养.

2.3 教学重点及难点

重点:深入研究指数函数的定义、特性,以及在实际应用中的具体表现.

难点:指数函数模型的理解.

3 教学过程

3.1 活动阶段(Action)——创设情境,激发想象

“指数函数的概念”的内容相对比较抽象,因此传统教学的重点一直放在如何让学生初步理解指数函数的概念之上,只有理解了指数函数到底是什么,学生才有可能将其与图象、性质等内容结合起来.在活动阶段,让学生动手参与活动,比如,拿一张1 mm厚的纸,通过反复折叠分析折叠次数和折叠后纸张厚度的关系,进而真切感受函数的存在.通过直观感受和思考,学生很容易在活动阶段就获得对指数函数的概念的初步认知,具备进入过程阶段的基础.

活动1:把一张1 mm厚的纸对折1次,可以得到纸张的厚度为2 mm,对折2次得到纸张的厚度为4 mm,对折3次得到纸张的厚度为8 mm,如此下去,设第x次对折得到的纸张的厚度为ymm.

问题1纸张厚度y与对折次数x的函数关系式是什么?如何描述这两个变量之间的关系?

预设:y=2x.

活动2:当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),若年衰减率为p,把刚死亡生物体内碳14含量理解为1.

问题2死亡生物体内碳14的含量y与其死亡年数x存在什么样的相关性?

预设:y=(1-p)x(0

设计意图:一开始,就清楚地指出要研究的是函数变量之间的相互影响.学生可以通过分析函数变量之间的关系,来理解指数函数的形成规律.

3.2 过程阶段(Process)——抽象本质,初步概括

过程阶段是掌握概念的关键阶段.这一阶段中学生需要经过反思活动、抽象分析过程、组织数学语言、形成数学概念这四个环节,因此,要给学生足够的思考时间.比如,在活动阶段,学生经历折纸活动之后进行思考,探究折叠后纸张的厚度和折叠的次数之间的抽象关系,并将这种抽象关系用数学语言表示出来,这一系列的过程就是对指数函数本质概念的思考过程.一旦学生思考完毕,就可以形成自己的数学概念.由于学生在接触指数函数之前己经有一定的函数基础,因此在思考的过程中能够比较容易提炼出其中的数学关系.此时,教师应当积极鼓励学生进行归纳,可以采用列表法(如表1,表2)帮助学生提炼数学概念.

表1 折叠次数x与纸张厚度y之间的关系

表2 死亡年数x与死亡生物体内碳14含量y之间的关系

问题3由示例得到的两个关系式y=2x(x∈N)和y=(1-p)x(0

预设1:是函数.

预设2:不是函数.

师:经过仔细观察,我们可以发现对于任意一个x是都有唯一的y与之相对应,所以它们是函数.

设计意图:帮助学生理解并应用所学的知识,从而更好地掌握函数的概念和应用,并能够轻松地推断出相关结果.

问题4这两个函数表达式有什么共同特征?

预设:这两个函数表达式的未知量x都在指数的位置.

师:非常好.我们通常把未知数x出现在指数位置的函数表达式称为指数函数.

设计意图:通过对比观察,探究指数函数的各种特性,学生可以更好地理解它们的整体性质.

通过对比两个函数表达式,帮助学生更好地理解它们之间的差异,从而顺利归纳总结出指数函数的一般表达式.

问题5如何用一般形式来表达刚才提到的函数?

预设:y=ax.

设计意图:通过对指数函数的深入研究,学生可以更清晰地理解其一般形式,从而更好地掌握指数函数的基本概念.

3.3 对象阶段(Object)——加强巩固,概念深化

当学生能够自由地把“过程”作为一个整体进行转换和活动的时候,就已经进入到了对象阶段.在“活动”和“过程”的基础上,“对象”的出现,使得抽象的概念得到了具体的表达,并且变得更加形式化、精确,从而让学生能够更好地掌握与之相关的数学运算.

问题6指数函数y=ax中的底数a的取值是否受到限制?a取任何数都可以吗?

引导学生对底数a分三种情况进行讨论:

(1)若a<0,会有什么问题?

(2)若a=0,会有什么问题?

(3)若a=1,又会怎么样?

(2)若a=0,x>0时,ax=1,x≤0时,ax无意义.

(3)若a=1,ax=1是常量,没有研究的必要.

设计意图:通过数形结合和小组讨论,帮助学生关注并思考底数的取值范围,并通过实际操作来验证结论,最终得出底数的取值范围是a>0且a≠1.

3.4 图式阶段(Schemas)——初步建构,形成图式

对象阶段只是意味着学生对于指数函数相关知识的掌握,而对相关知识的运用才是教学的最终目的.知识的灵活运用需要学生将指数函数的知识与自己原有的函数知识体系统一起来,形成一个初步的概念图式.这样学生在之后遇到任何与指数函数相关的问题,都会首先考虑这些问题与自己的图式是否有相似之处,是否能够利用自己的图式来解答这一问题.因此,在图式阶段,教师需要用具体的实例来帮助学生强化运用能力.

在这个阶段,我们的目标是帮助学生从已有的认知结构中提取出新的概念,并帮助他们建立综合的心理模型,扩展这些概念的范围,以便更好地理解和运用新的知识.在这个阶段,一方面通过综合训练,帮助学生将新的概念与他们现有的认知结构联系起来,进行综合思考;另一方面通过课堂总结,帮助他们使用简单的思维导图或结构图来巩固对新概念的定义和本质特征的理解.

例1判断下列函数是否为指数函数:

(1)y=2x; (2)y=(-2)x;

(3)y=2x+1; (4)y=2-x; (5)y=2x+1.

例2已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(3)=π,求f(0),f(1),f(-3)的值.

通过深入研究发现,图式阶段不仅是将概念应用到现实世界的过程,而且还能帮助学生更好地掌握指数函数的知识及应用.

APOS理论的四个步骤可以帮助我们更好地掌握数学知识,从而更好地运用它们解决问题.使用APOS理论来指导数学课堂,除了充分利用具体的案例帮助学生掌握指数函数的定义外,还需根据课堂的具体情况,充分发挥APOS理论的优势,灵活运用,进而更好地指导学生的学习.