初中数学学习过程中的一种策略——“猜”

徐世斌

（兰州市第三中学 甘肃 兰州 730030）

前言

所谓数学“猜想”（或称猜测、假设），它是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断。它既有逻辑的成分，又含有非逻辑的成分。人类绝大多数知识的发现都源于猜想，与人类发展和社会进步息息相关的数学也如此。大数学家、物理学家牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”心理学家同样认为：“猜想是人们根据事实，凭借直觉所做出的似真推测，是一种创造性的思维活动”。毫不夸张地说，数学“猜想”是推动科学发展的强大动力之一[1]。

九年义务教育数学课程标准（2022 版）明确规定：有效的教学活动是学生学和教师教的统一，在数学教学中，作为学习主体的学生学习应是一个主动的过程，同时作为学习的组织者、引导者与合作者的教师在教学活动的实施当中应注重启发式，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题。从而促进一些知识和技能的掌握，方法和经验的积累，良好的习惯和价值观、核心素养的形成和确立。因此，要培养学生的各种技能，除了一些学习数学的重要方式外还必须得担负起开发他们的思维的责任，思维的开发又离不开最初的观察、猜测、实验等基础方法。无论是教学发展史和人类发展史（如著名的哥德巴赫猜想、费尔马猜想、欧拉猜想等），还是平时的教学环节中一直在经历的一些过程（如“探索—发现—猜想—证明”等），我们都会用到“猜想”，也正因为这些“猜想”，才有了后来学者们继续为之而努力探索的必要；才有了我们的学生学习或者研究的方向。这些“猜想”，对推动数学的发展起着指导性的作用，对我们日常生活和教学中需要解决的数学问题有着“跨越式”的帮助。它为学生充分的思考和交流搭建了阶梯，提供了进一步推敲和想象空间，因此倡导学生去“猜想”，鼓励学生去积极“猜想”，对培养和发展学生的创造性和“猜想”意识，在新时代教育的当下尤其重要和必要。

让我们一起来看看，在平时的数学教学中常常通过什么方式来猜想的和一些和“猜”有关的知识吧。

1.通过“自学”相关内容，充分地“议论”，正确地“引导”，直观、形象的提出“猜想”

初中数学中的许多概念、性质、判定等知识，对于正处于由感性认识到理性认识转化的初中生而言是比较抽象的。这就需要我们对数学课程目标中的过程目标更加重视起来，促使他们在“自学”过程中，善于通过观察具体图形或实物模型，结合自己的亲身体验、思维体验以及主动探索，手、脑并用，在思想、行动上适时地与他人，或者与自己充分地 “议论”一番，在真诚地接受“引导”下，力争在感性认知的基础上获得合理的“猜想”。这对加深学生的认知，进一步促进、提高学生的直觉思维是相当有益处的。

通过直观、形象（有时候需要特殊的排列方式）把复杂的问题简明、形象化，从而帮助学生探明解决问题的思路，预测得出结果的例子在初中数学中也很常见。比如在学习八年级下册《不等式的基本性质》时，我们就是经历了通过类比、猜想、验证等一系列过程来发现不等式基本性质的。

如：北师大版八年级下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》第2 节《不等式基本性质》这一节知识的学习，就直接体现出了“猜想”在本节课中的优势。借鉴课本编排，大致过程是这样的：起初，我们不妨可以让学生先行自学课本这一节中的某些内容，随后逐步实施一些问题性的“引导”和暗示，引导他们能正确运用类比“等式的基本性质”这一内容，大胆“猜想”出属于“自己”的“不等式的基本性质”的相关内容（务必尝试用文字语言叙述出来），接着再让他们试举出一些例子来加以验证，最后结合以上实验结果进行分析整理，归纳总结，最终形成课本中给定的“不等式的基本性质1、2、3”。通过这样的形式即可实现“不等式的基本性质”的探索。在通过后面的一系列练习巩固中发现其知识能被大多数学生所理解和掌握，更能灵活应用还不易出错，简单而高效[2]。在此知识授课过程中所体现到的就是“猜想”在这节课中的强大作用和魅力！以及课本中所呈现的独特排列方式，这其中的每一点对我们顺利猜想出“不等式的基本性质1、2、3”都起到了积极的、实际的作用。下面就是课本所体现的如何通过它的方式将我们的探索过程与猜想联系起来的。具体如下：

首先，我们可以从这些简单易懂的入手

如果2＜3；那么

一开始我们便要按要求对上面的“空格”进行填写，之后，结合以上的形式（或者说排列、特点）通过纵向观察，引导学生在对比中先去“猜想”发现了什么？紧接着让大家得出一个初步的结论，最后再照此法换几个具体的数字试一试并加以验证，同时启发学生思考下去，慢慢地让学生尝试用式子来表示先前的发现，不等式的基本性质，就这样在一系列的尝试、探索中逐步形成了。

在这一教学过程中，我们的学生始终是处于主导地位的，完全是通过自己的积极参与和简单的填写、判断后，形成了“不等式的基本性质”的“雏形”，随后在老师的帮助引导，同学的合作交流下，成功的实现了本节内容上由学到掌握的一个提升。相信期间的努力与付出都会被认为是值得的。

2.通过“引导”和“议论”摸索出来的一些规律“猜想”

数学中有很多的知识点，若要把每一个知识点都清楚地、准确地记住就很困难，灵活运用就更是难上加难了。（自学）然而，若以某些知识为载体，（议论）使其帮助学生一定程度上领悟数学思想方法、培养学生数学能力才是我们新时代新教育真正要做的、更是今后重视的。“归纳”是数学思想和数学能力中很重要的一块，而“操作+猜想”又是为“归纳”做保障的，更能在培养学生的“归纳”思想与技能方面起着至关重要的作用。例如：两条直线相交最多只有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有六个交点……，那么n 条直线相交，最多有多少个交点？在找规律这一内容里经常会遇到类似的题目。怎么办呢？不妨先动手画一画，再想一想，猜一猜，通过特例来研究考察问题的本质，归纳问题的规律和性质。于是在画一画，数一数之后得出：当画第二条直线时，因为已有直线一条，因此最多可有1 个交点；当画第三条直线时，最多可与原有的两条直线都相交并有两个交点，因此一共有1+2=3 个交点；当画第四条时，在原来交点的基础上最多可与原有的三条直线都相交成3 个交点，那么总共会出现1+2+3=6 个交点……渐渐地我们就会发现，当n 条直线相交时总共会得到：1+2+3+4+…+（n-1）个交点。这时我们就很容易回答：n 条直线相交，最多可有n（n-1）/2 个交点。我们还可以将这种方法灵活应用到一些知识的识记当中，这样有效地学习不但不容易出错，而且还不用花大量时间去死记硬背。数学中常用的“类比”和“猜想”结合法就是如此。例如：一个多边形有几条对角线、过多边形的一个顶点有几条对角线等等都可以这样去解决。通过“操作”和“猜想”的一种双向过程，让学生在“操作”过程中建立起“猜想”，由“猜想”指引着“操作”，两者相辅相成，逐步激起“归纳”与“总结”的欲望，实现从“特殊”到“一般”，快捷地“归纳”出更完美更具代表性的结论。相信这定是我们每个学生“梦寐以求”的事情。

3.通过备选答案和积累的经验“引导”“猜想”

我们有时也可以通过估算法或者末尾计算法来快速“猜想”我们想要的结果。这种方法通常在选择题中很常见。

总之，我们在教学过程中，经常会应用到一些策略和方法来解决问题，解决问题时更要善于、合理采用“自学·议论·引导”教学论的学习方法，注重精准创设“猜想”情境，大胆、合理进行“猜想”，充分展现和感受“猜想”在数学中的作用，让学生在学习过程中以动手操作为基础，以体验乐趣为动力，以“猜想”为翅膀，让他们在课堂上“动”起来，自由地操作、思考、讨论、交流；让他们在课堂上勇于表现，发展个性，展现自我，让他们都能以“主体”的身份最大程度地参与到教学活动中来，实现自我，超越自我。我想：这是符合我们新课程改革的，也是我们数学教育的初衷[3]。

有效的教学活动是学生学和教师教的统一，作为学习的组织者、引导者和合作者的教师同样应在“自学·议论·引导”教学论的学习方法合理引领下，要和学生一起共同科学地、巧妙地、理性地利用起来“猜想”这一方法，教会他们主动的认真听讲，独立思考，自主探索。还应在激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难和引导学生在真实情景中发现问题和提出问题上多下功夫，促进他们理解和掌握一些基本知识和基本技能，体会和运用数学的思想和方法，获得经验，形成积极的、正确的价值观。在课堂教学与紧密联系的生活实践中互相学习，共同探索、共同进步。力争把“过一种幸福完整的教育生活”真真切切落实到每一个教育者和受教育者当中，让我们的学生和老师一起伴随着“猜想”，真正“自主”、“快乐”地学习数学，“创造数学”，在享受“猜想”带给我们乐趣和多元化的同时去爱上数学！