谈巧用“三点”解三角函数图像与性质题型的“秒杀”法

甘肃省金塔县中学(735300) 闫飞

三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一.历年来在数学科高考中都占有重要地位,新课程标准实施以来,高考对三角函数的考查呈现出新的特点,但利用数形结合考查,通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图像特点依然是三角函数在高考中的高频考点.但大部分学生对y=Asin(ωx+ϕ)的解析式中的伸缩变换(周期变换),左右平移变换(相位变换),ϕ的确定理解不到位,应用不灵活.针对学生存在的问题,通过对比研究,发现用“1 起点”,“0 起点”,“第n点”(n=1,2,3,4,5),这三个特殊的“点”可以轻松解答这类问题.下面就以“三点”为例谈谈巧解三角函数图像与性质的应用题型的“秒杀法”.

1 根据f(x)=A sin(ωx+ϕ)(A>0,ω >0)的部分图像辨析已知“信息点”是“第n 点”(n=1,2,3,4,5),确定ϕ 的值.

反思感悟: 因为函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A> 0,ω>0,|ϕ| <π) 是由y=sinx通过伸缩,平移变换得到,所以f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A> 0,ω> 0,|ϕ| <π)的“第一点”与y=sinx的“第1 点”都是单调增区间与x轴的交点(俗称上坡零点);同理函数f(x)=-Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ| <π)是由y=-sinx通过伸缩,平移变换得到,所以f(x)=-Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的“第1 点”与y=-sinx的“第一点”都是单调减区间与x轴的交点(俗称下坡零点).因此,确定“第1(或5)点”与“第3 点”要分清是“上坡零点”和“下坡零点”,“第2 点”与“第4 点”要分清“极大值点”和“极小值点”.

2 函数f(x)=A sin(ωx+ϕ)(A>0,ω >0)的图像与f(x)=A sin x(A > 0)的伸缩变换中的“1 起点”和平移变换“0 起点”

3 “三点”秒杀例题赏析

总之,这类三角函数的图像和性质题型是高考的高频考点,但我们大多数同学容易犯错,如果同学们掌握了上述“三点”的含义,就可以做到“秒杀”该题,为我们节省时间.