解题教学的追求

吴奇进

摘 要：“双减”背景下，很多初中都有延时服务、晚自习作业辅导的习惯，这也使得作业讲评成为教师更需面对的一个“现实课题”.在课题研究中，我们发现不少教师误以为作业讲评就是订正结果、核对过程，这样的解题教学往往只是让学生学会了解一道题，若能在课前针对待讲评的习题问题进行变式改编、同类链接，则可以引导学生深度学习，帮助学生从会解一道题迈上会解一类题，进一步培养学生知识迁移、举一反三的高阶思维，提高学生的学习效率，提升学生的数学核心素养，提增教师解题教学效益.

关键词：解题教学；变式教学；成果扩大；回顾小结

1 从一次作业讲评的听课说起

最近参与学校教导处组织的“推门听课”活动，听了一位“职初教师”（工作仅两年）的作业讲评课，其中该教师对一道习题的讲评还有继续优化的必要.以下先给出教师的讲评记录，再围绕该题给出教学再设计.

教师对学生的讲解很满意，追问其他同学“有没有听懂”，不少学生表示理解了之后，就继续订正下一道习题.但是笔者坐在教室后面，查阅了后面两排的一些学生的听课笔记，基本上还是空白，这些学生都没来得及记录上述过程，从他们的表情看得出仍然没懂，他们只是“端坐”着认真听讲，既没来得及记录一些关键步骤，也没有在图形上进行必要的标注.

听课随感：这种讲评方式，只是一种“核对答案式”的讲评，没能促进学生对这道题达到深刻理解的程度，可见教师本人在课前并没有对这道习题的解法及变式问题进行深入思考，所以在课堂上就没有能做出必要的变式或深度讲评.以下给出笔者对这道习题的解题教学微设计.

2 对“习题”教学的问题设计重构

教学环节（一） 习题讲评

出示“习题”，安排学生讲解思路之后（如上文听课所见），教师安排另一个学生再次复述思路，让更多的学生有足够的时间理解或做必要的解题笔记.在此基础上，将问题简化为以下问题，让学生对问题的结构看得更清.

简化问题：如图2，AM是△ABC的中线，点N在△ABC内部，且∠ABN＝∠ACB，MN∥AC.求证：∠BAN＝∠CAM.

教学预设：学生在“习题”思路的启发之下，应该容易想到延长BN交AC于E，如图3，接下来证明思路就与上文一样.通过“删减”圆之后，让学生在简化图形中看清问题结构，有利于学生对这道题的本质有一个更深刻的认识.

教学环节（二） 变式呈现

变式问题：如图2，AM是△ABC的中线，点N在△ABC内部，∠BAN＝∠CAM，∠ABN＝∠ACB.求证：MN∥AC.

“成果扩大”问题：如图5，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，BF交于点G，连接OG.若∠BAE＝∠CAD，∠ABF＝∠CBD.

（1） 判断OG与AD的位置关系，并说明理由.

（2） 求证：AE，BF互相平分.

（3） 请再提出一个问题，并说说解题思路.

教学预设：这是对原问题进行的进一步包装、改编，以平行四边形为背景呈现，O为BD中点，“两组角相等”的题设与“变式问题”是一致的，提出的两个问题也与之前的设问保持一致.最后安排学生再提出一个问题，可以促进学生对这个图形中的结论有深入的研究和分析，比如AF＝BE，又如连接EF，则四边形ABEF是平行四边形，再如AB²＝AF·AD，等等.

教学环节（四） 回顾小结

小结问题1：学习上面的习题及变式题组之后，你觉得处理这类问题的关键是什么？你积累了哪些解题经验？先在小组内交流，每个小组再选派一名代表到全班汇报展示.

小结问题2：本课从一道圆的习题出发，然后简化为三角形问题，最后还包装成平行四边形，你觉得不变的是哪些关键步骤，它们之间有怎样的联系？

教学组织：预设以上两个小结问题是引导学生学会回顾和反思，将问题的深层结构、本质特征、关键步骤看得更清，达到深刻理解的程度.这个小结的教学环节至少要安排5分钟左右.

3 关于解题教学的问题设计进一步思考

3.1 解题教学要重视同类链接、举一反三

针对一些较难题的讲评不宜只是“核对答案”，如果像上文听课所见的“职初教师”这样，只让优秀学生展示了自己的解法、过程，本质上是“以学生讲代替了教师的讲”，很多情况下，往往还不如教师自己讲.南京大学哲学系郑毓信教授关于解题教学的关键，曾强调要重视“问题的归类与辨识”^［1］.笔者在解题教学中十分重视问题的归类呈现、同类链接，引导学生在举一反三中实现“解一题、会一类”的教学效益.当然，这就需要教师本人在课前针对较难题要有深入的研究和同类习题的检索与搜集，这些功夫更多的是平时对典型习题的研究和归类收集.人们常说“书到用时方恨少”，解题教学的备课也是“题到用时难找齐.”

3.2 解题教学要引导学生识别“等价问题”

很多教师在开展解题教学都非常重视变式教学，特别是链接一些同类习题进行巩固训练，这对于提高学生同类问题的解题能力当然是有价值的.然而，通过变式教学促进学生学会转化、善于简化并识别“等价问题”才是解题教学更值得重视的教学目标.

美国著名数学家、1986年菲尔兹奖得主M·弗里德曼所说“解题就是把题归结为已经解过的题”^［2］.上文我们在“解题教学微设计”中，给出了简化问题、变式问题以及“成果扩大”问题，教学立意就是引导学生在这些系列题组的训练之后，学生能从这些“形异问题”识别“结构相同或相近”的问题，从而实现从“学解一道题”到“会解一类题”再到“学会解题”的教学追求.

3.3 解题教学在回顾小结时追求深刻理解

解题教学要重视解后回顾与反思环节，教师在课前就要精心预设小结问题，小结问题要在贴近解题教学过程中的关键步骤、易错点或解题经验进行设计，不宜提一些“空”“大”“泛”的小结问题，比如“这节课你学到了什么”“这节课你感悟了什么思想方法”之类.小结问题除了课前的精心预设之外，还可围绕课堂生成进行“即时预设”，比如，课堂中学生想出了课前预设之外的优秀解法或繁杂解法，小结时可以从这些课堂生成出发，引导学生进行对比，在比较中学会优化，“择优而从”.总之，解题教学的回顾小结环节，主要是促进学生对问题有更加深入的理解，特别是从某道习题的解题步骤的掌握迈上对一类问题的解题方法或转化策略的积累.

參考文献：

［1］ 郑毓信.中学数学解题教学之我见（续）［J］.中学数学月刊，2020（11）：14.

［2］ M·弗里德曼.怎样学会解数学题［M］.陈淑敏，尹世超，译.哈尔滨：黑龙江科学技术出版社，1981：79.