一个基本图形在相似三角形中的运用

杨树芳

【摘要】平面几何图形中识图（认识基本图形）、悟图（领会基本图形）、用图（运用基本图形研究复杂图形）是基本图形教学的三个阶段。其中解读基本图形是前提，运用基本图形研究复杂图形是关键。相似三角形中涉及的基本图形主要有平行截线型、交错截线型、旋转平移型。文章将针对其中的旋转平移型，谈谈该基本图形在相似三角形中的应用。

【关键词】相似三角形；基本图形；分离；构造；应用

平面几何图形的基本教学一般分为三个阶段：用典型例题解读基本图形；对基本图形进行变化，在变中突出不变；用基本图形研究复杂的图形，从复杂的图形中分离出基本图形或者是构造基本图形。相似三角形图形千变万化，因此在教学中需要丰富和完善学生关于基本图形的认知，引导学生分析构成基本图形的基本元素及其关系，学会从复杂的图形中区分出基本图形或者是构造基本图形，进而利用基本图形的性质研究复杂图形，并以此为切入点发展学生的空间观念，提高学生的核心素养。本文将针对其中的旋转平移型，谈谈该基本图形在相似三角形中的应用。

一、旋转平移型基本图形的特征及变式图形

旋转平移型基本特征之一：三个垂足在同一直线，所以也叫三垂型；基本特征之二：两个三角形有一对相等的内角，且可以利用外角定理说明另一对内角相等，其形状似大写M，所以也可叫M型。根据这两个基本特性，分别弱化直角的特征和强化直角的位置就衍生出以下两个变式图形。

把握基本图形，理解变式特征是运用好基本图形的重要条件。

二、旋转平移型基本图形的应用

1.直接应用

【安徽省中考试题】如图3，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。

【简析】本试题是对旋转平移型基本图形的直接运用，如果熟悉该基本图形，学生就能快速利用两直角三角形全等，对应边相等或两直角三角形相似对应边成比例，再利用勾股定理求出正方形的边长为。

2.学会分离

【天津市中考试题】如图4，正方形ABCD中，点E为AB的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为。

【简析】本试题将旋转平移型基本图形与正方形巧妙结合，学生如果能在正方形中分离出该基本图形，就能利用△GAE和△EBF相似对应边成比例求出线段AE、BE的长，再利用勾股定理求出线段GE、EF、GF的长，从而解决问题。

3.领悟变式

（1）强化边的条件。【试题】如图5，直角三角形ABC中，∠BAC=90°，直线l经过点A，过点B、C分別作BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为点D、点E。

①当AB=AC时，探究AD与EC的数量关系并证明你的结论；②当∠ABC=30°时，探究AD与EC的数量关系并证明你的结论；③当AB：AC=k时，求AD：EC的值。

【简析】本试题基于基本图形的条件变式，通过强化边的条件，引导学生在全等形和相似形中都能灵活运用该图形，进一步掌握该图形的特性，提高解决问题的能力。

（2）弱化角的条件。【广东省中考试题】如图6，平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC//OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，且点P不与点O、A重合，联结CP，过点P作PD交AB于点D。

①求点B的坐标；②当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；③当点P运动到什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且BD：AB=5：8，求此时点P的坐标。

【简析】①过点B作x轴的垂线，由等腰梯形的性质可知：AB=OC=4，∠COA=∠BAO=60°，利用三角比可以求得点B的坐标为（5，）；②分类讨论点P的位置：当点P在x轴的正半轴上，△OCP为等边三角形，此时点P的坐标为（4，0），当点P在x轴的负半轴上，△OCP为等腰三角形，点P的坐标为（-4，0）；③由△OCP∽△PAD可得点P的坐标为（1，0）或（6，0）。本试题∠CPD=∠OAB =

∠COA的条件就是旋转平移型基本图形弱化直角条件的变式，是不改变图形的基本形状和相似结论的综合运用。

（3）变换图形，强化三垂足一线。【上海市黄浦区中考模拟试题】如图7，已知点P是函数图像上一点，过点P作PA⊥x轴，垂

足为点A，交函数的图像于点M，过点

P作PB⊥y轴，垂足为点B，交函数的图像于点N（点M、N不重合）。

①当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；②证明：MN//AB；③试问：△OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由。

【简析】①利用数形结合的思想，分别求出点P

的坐标为（2，1），M的坐标（2，），N的坐标

（1，1），从而求出△PMN的面积为；②设点P的

坐标为（2a，a）（a＞0），那么点A点坐标为（2a，0）、

B的坐标为（0，a）、M的坐标为、N的坐标为，因为，所以MN//AB；③如图

8，当∠ONM=90°时，△OBN∽△NPM，所以，于是得到，解得，

所以点P的坐标为；如图8，当∠OMN=90°

时，△OAM∽△MPN，所以，于是得到

，解得，所以点P的坐标为。

本题问题②的解决过程中，运用到了平行截线型，问题③的求解过程运用到了旋转平移型以及其变式的三垂足一线型。在这样的问题解决过程中，有些基本图形是显而易见的，有些则是隐藏在复杂图形之中的，只要能将其完整地分离出，那么问题就迎刃而解了。

4.尝试构造

添辅助线是教好、学好平面几何的关键问题，是平面几何教与学的难点。构造基本图形添辅助线的实质就是将基本图形补充完整，添辅助线问题不应聚焦在作为图形局部的“线”上，而是一个完整的“图形”上。

【南京中考模拟试题】如图10，正方形ABCD的边长是2，点M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG。

（1）设AE=x，△EGF的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，直接写出点P的运动路线的长。

【简析】（1）如图11，作HG⊥AD交AD的延长线于点H，易得△AEM≌△DFM，由勾股定理可得EM=，根据构造的基本图形，得△AEM∽△HMG，，所以MG=2EM=

2，于是可得；

（2）点P的运动路线的长度为2。

本试题中添垂线段的方法构造该基本图形在中考试题中较为常见，其往往出现在问题条件中有互余角产生，且有垂直条件等特征的情况下。其实，构造基本图形添辅助线，其实质应该是一个补图的问题，是一个基本图形完整化的问题。

三、结论

几何问题千变万化，而基本图形则是解决几何问题的关键所在，所以教师在进行几何教学时不仅要注重思想方法的培养，还要注重基本图形的应用。在基本图形的教学过程中，如果总是习惯于在简单或者常见的图形中识别、运用基本图形，容易产生思维定式，在复杂的图形中发现、分离或者是构造基本图形，进而运用基本图形研究复杂图形或新的图形，是打破思维定式的关键，也是学生学习的难点，教师教学的重点。某种意义上，走进了运用基本图形研究复杂图形的境界，也就是走进了素养立意的境界。在今后的几何教学中，教师不仅要关注图形本身的教学，更要重视基本图形的直接应用、分离、变换和构造。

【参考文献】

[1]上海市教育委员会.上海中学数学[J]，2022（12）.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.