教学中如何培养学生空间想象能力——以“简单组合体的三视图”为例

广西壮族自治区南宁市广西民族大学(530006) 张权 刘恒

1 前言

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》中指出通过高中数学课程的学习,学生能提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力[1].空间想象能力是数学三大基本能力之一,是人们对客观事物的空间形式(空间形体与位置)进行观察、感知、分析的思维能力,是形象思维与逻辑思维结合形成的一种认识、理解图形形状、位置及其变化的能力[2]. 有研究表明,空间能力对于右半球智力的开发十分重要,能让学生创造性地进行数学学习活动[3]. 可以看出,培养学生空间想象能力可以在一定程度上培养学生的创新意识和创造力. 这也就回答了为什么需要在教学过程中关注学生知识技能的掌握的同时关注数学学科核心素养的形成和发展,学生通过学科学习逐步形成正确的价值观、必备品格以及关键能力.

空间想象力的培养可以“借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律”[1],即学生通过观察现实生活中的实物,想象空间事物之间的联系,建构起对空间几何的感知.“简单组合体的三视图”是借助空间中物体的形状及位置关系培养学生对空间事物感知的内容,它是学生学习了基本几何体三视图画法之后学习的知识点,是培养学生空间想象力的一个重要内容. 本节课从“组织教学,回顾旧知”到“讲授新课,课堂实践”,再到“变式教学,发散思维”,最后“布置作业,巩固提升”,培养学生空间想象能力.

2 在“简单组合体的三视图”教学中培养空间想象能力

在“简单组合体的三视图”这节课中,教师从创设合适的教学情境,吸引学生的注意力,及引导学生回忆基本几何体的三视图开始,通过类比学习,由基本几何体三视图的绘制方法对比学习简单组合体三视图的画法,让学生们在课堂上进行实体操作,画出简单组合体的三视图,及根据三视图来还原实物图,最后合理地布置作业,培养学生的空间想象力.

2.1 组织教学,回顾旧知

教师首先在多媒体上展示几个生活中实物体的三视图,组织教学,引起学生的注意,调动空间想象思维. 其次引导学生复习基本几何体三视图的画法. 本节课的主要内容是“简单组合体三视图”的画法,简单组合体是由基本几何体经过拼接或者从基本几何体中挖掉一部分所形成的立体图形,学生们在初中已经接触过基本几何体和一些简单几何体的三视图,知道基本几何体三视图的绘制方法,由基本几何体的三视图逐渐延伸到简单组合体的三视图的学习,实现了层层递进的教学过程. 下面以复习圆柱体三视图的画法为例:

图1 圆柱体及其三视图

从不同的方向观察同一物体, 得到的三视图可能不同.绘制几何体的三视图,首先确定主视方向,再分别从主视方向、左视方向、俯视方向对几何体进行投影,即假设一束光分别从这三个方向投射过来,经过几何体后打在光板上形成投影. 其次对三视图进行绘制,投射时眼睛看得见的线段画实线,看不见的线段画虚线. 最后注意三视图位置: 左视图在主视图的左边,俯视图在主视图的下方;以及长度之间的关系:主视图与俯视图“长对正”,主视图与左视图“高平齐”,左视图与俯视图“宽相等”.

通过展示实物体的三视图和回顾基本几何体三视图的绘制方法,激活了学生的空间想象. 同时学生在观察三视图形成的过程中,对三视图的做法有了深刻的理解,为接下来学习绘制简单组合体三视图奠定了基础.

2.2 讲授新课,课堂实践

绘制三视图的过程即用数学语言表达世界的过程,数学是一门实践性比较强的学科,特别是几何与图形这个模块的学习[4]. 因此在简单组合体三视图的教学过程中要求学生动手实践,让学生绘出简单组合体的三视图,在绘制的过程中能够发现问题并解决.

这部分分为三个环节: 理解新概念、教师板演、学生实践. 第一,在本环节的学习中,起初学生对简单组合体三视图的绘制可能会无从下手, 但通过对简单组合体概念的理解,学生会发现简单组合体就是由几个基本几何体组成,而简单组合体三视图的绘制方法就是将简单组合体拆分成几个基本几何体,然后分别画出几个基本几何体的三视图,最后进行拼接,本质是根据基本几何体三视图的绘制方法对简单组合体的三视图进行绘制. 第二,教师在黑板上板演,给学生示范如何绘制简单组合体的三视图,如例2. 第三,学生自己动手画出简单组合体的三视图,教师予以指导.

例1 画出下列图2 螺栓简单组合体的三视图

图2 螺栓组合体

经过教师引导,学生发现这个螺栓组合体是由一个正六棱柱和一个圆柱拼接而成,因此,可以将它拆成一个正六棱柱和一个圆柱,在确定主视方向之后进行投影,分别画出正六棱柱和圆柱的三视图并按要求摆放,从而得到这个螺栓的三视图. 教师在黑板上对螺栓组合体三视图的绘制过程进行演示,如图3 所示:

图3 螺栓组合体三视图

教师板演之后,总结绘制简单组合体三视图的一般过程:第一步,先对给出的简单组合体进行拆分,分清楚由哪几个基本几何体组成. 第二步,分别画出拆分后的基本几何体的三视图. 第三步,跟据这几个基本几何体的摆放位置进行拼接,得到原来简单组合体的三视图.

看过教师板演之后,学生课堂实践. 实践是创新的源泉,实践是检验真理的唯一标准,学生通过在解决问题时的动手实践操作中,不断发展自己的空间想象力[5]. 在实践中形成自己的解题方法,提高这一类问题的求解能力,培养学生创造能力.

提升练习: 请同学们自行画出这个简单组合体(如图4)的三视图,教师走下讲台,观察同学们的作图情况,并予以指导.

图4

由图4 可知,这个组合体由四部分组成,两个长方体、半圆柱体、并在半圆柱体和一个长方体的拼接处挖了一个圆柱体. 此时要注意这四部分的摆放位置以及分别从三个方向进行投影,投影时注意哪些地方看得见画实线,哪些地方看不见画虚线,如图5 所示. 教师通过课堂观察发现学生们在绘制三视图的过程中存在以下问题: 第一,学生们没有严格按照尺规作图,使得画出来的图形不美观;第二,学生们总喜欢将三幅图放在一条线上,因此很难做到“长对正,高平齐,宽相等”;第三,学生们不理解“投影”的概念,因而不知道哪条线该画实线,哪条线该画虚线. 在学生实践环节教师根据学生在作图过程中出现的这些问题予以纠正,学生也从自己的实际操作过程中,深刻理解了简单组合体三视图的概念,和掌握了简单组合体三视图的画法. 对于简单组合体三视图的绘制不仅需要学生能够画出组成这个简单组合体的基本几何体的三视图,而且需要学生确定它们的位置,按照主、左、俯视图的位置规范作图,对学生做图能力提出了更高要求的同时提高学生的空间想象能力.

图5

2.3 变式教学,发散思维

在学习了简单组合体的三视图之后,学生习惯了看到实物图去联想三视图这种定向思维. 为了避免学生的思维定势,进一步提高学生的空间想象能力,可以让学生通过简单组合体的三视图反推实物图, 不仅有利于学生逆向思维的养成,锻炼了学生的作图能力,也能发展学生的空间想象能力. 因此本节课设计了由三视图还原实物图的例题,如例2.

例2根据三视图,想象物体原型,并画出物体的实物草图.

教师引导学生分析: 由图6 主视图和左视图可以看出这是两个柱体的组合, 再由俯视图可以确定上面是一个圆柱,下面是一个正四棱柱,如图7 所示.

图6

图7

学生通过简单组合体三视图还原实物图的学习,再一次体会空间事物的形状以及位置关系,在更深层次上锻炼了学生的空间想象能力,培养学生的创新能力.

2.4 布置作业,巩固提升

培养学生的空间想象力并非全靠课堂教学,学生课后独立思考同样重要,这就需要教师合理地布置课后作业. 对于本节课作业的设计, 要起到培养学生空间想象能力的作用,应由易到难、层层递进. 因此设计如下作业题[6]:

1. 画出下列几何体的三视图;

2. 由下图(1)中的三个几何体可组成不同的组合体,如(2)(3)(4). 请分别画出它们的三视图;

3. 根据以下三视图想象物体原形,并分别画出物体的实物图;

4. 画出你家的一个家具的三视图.

作业题的第一题是画出简单组合体的三视图. 本题中第一个几何体是由一个正方体削去一个顶点形成的简单组合体,第二个几何体是由一个正四棱柱和一个圆锥拼接而成的简单组合体,这两个简单组合体的三视图都能较容易的画出来. 布置此题的主要目的: 一是巩固学生的空间想象力;二是强调简单组合体形成的两种方法“在一个基本几何体中切掉或挖掉一部分”和“由两个基本几何体拼接而成”. 第二题同样是要求学生画出简单组合体的三视图,但相比于作业题的第一题,此题在空间想象和作图技能难度都有所提升. 第三题是考察学生有三视图还原实物图的能力,对学生的空间想象力提出了更高的要求. 第四题是一个开放型的问题,目的是让学生将数学与现实生活联系起来,理解学习数学不仅仅是为了数学而学习,更是为现实生活服务.

3 小结

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,简单组合体的三视图这节内容要求学生学会从不同的角度观察物体,这需要一定的空间想象能力, 同时也能够培养学生空间想象能力.数学课堂上如何培养学生的空间想象能力? 第一,教师要设计良好的导入. 好的开始等于成功一半,如在新课之前给学生观看一些现实生活中的立体几何,将学生的思维引入教学情境中,为一节内容做好铺垫. 第二,教师要把握好内容的逻辑结构. 培养空间想象力在高中涉及到的内容有“线面、面面位置关系”“圆锥曲线”以及“二面角与线面角的运算”等等,在接触到培养学生空间想象力的内容时要兼顾学生的认知规律,课程内容要循序渐进,由易入难、由浅到深. 第三,教师在教学过程中使用变式教学,引导学生发散思维,培养学生创新能力. 在培养学生空间想象力时,学生通常都是正向思维,如看到实物图去联想它的三视图. 但学生需要在学会了画三视图的基础上,学生要形成由三视图还原实物图的思维转变,由原来的正向思维跨越到逆向思维,使得思维更加发散、灵活. 第四,教师要巧妙地设计课后作业. 根据学生课堂表现,合理地设计作业题,巩固学生新学的知识和技能,发展学生空间想象力.