解答椭圆问题时常出现的错误及应对方法

马占龙

【摘 要】  椭圆的焦点和离心率问题是经常考查的知识点，熟悉常见的椭圆解答过程中的易错点，可以很好避免因默认焦点在x轴、忽略离心率取值范围而导致的错误，提高解答问题的正确率.

【关键词】  椭圆；易错点；焦点；离心率

椭圆常常与各种知识点交叉，综合考查学生对圆锥曲线有关知识点的把握.学生在解决此类问题时，常常会因为各种各样的原因导致错误，现在归纳两类椭圆解题中常出现的错误和应对的方法.

1 默认焦点在x轴

椭圆的焦点可以在x轴，也可以在y轴，但是因为常见的椭圆焦点都在x轴，学生容易受思维定式的影响，忽略了在y轴的情况，导致出现漏解.

例1   已知椭圆 x  2  k+8 + y  2  9 =1的离心率是 1 2 ，求k的取值.

错解   由题意知a  2 =k+8，b  2 =9，

所以c  2 =a 2 -b  2 =k-1，

又e= c a = 1 2 ，

所以e  2 = c  2  a  2  = k-1 k+8 = 1 4 ，

解得k=4.

错因   因为题目只告知椭圆满足 x  2  k+8 + y  2  9 =1，并未表明长轴在x轴，错误解法默认了长轴在x轴，即k+8>9.当题目未标明长轴所在位置时，应该分类讨论.

正解   （1）当焦点在x轴时，a  2 =k+8，b  2 =9，

所以c 2=a 2-b 2=k-1，

又e= c a = 1 2 ，

所以e  2 = c  2  a  2  = k-1 k+8 = 1 4 ，

解得k=4.

（2）当焦点在y轴时，a  2 =9，b  2 =k+8，

所以c  2 =a 2 -b  2 =1-k，

又e= c a = 1 2 ，

所以e  2 = c  2  a  2  = 1-k 9 = 1 4 ，

解得k=- 5 4 .

此题综合考查了椭圆方程的特征、离心率和a，b，c之间的关系，当题目未明确告知或无法间接得到焦点所在的坐标轴时，应该分类讨论，避免出现漏解.

例2   若椭圆的离心率e= 3 5 ，长轴长是10，则椭圆的标准方程是 .

错解   由题意知2a=10，e= 3 5 = c a ，

所以a=5，c=3，

因为c  2 =a 2 -b  2 =5 2 -b  2 =9，

所以b=4，

所以椭圆的标准方程为 x  2  25 + y  2  16 =1.

错因   题目并未告知焦点是在哪个轴上，错误解法默认了焦点在x轴.

正解   由题意知2a=10，e= 3 5 = c a ，

所以a=5，c=3，

因为c  2 =a 2 -b  2 =5 2 -b  2 =9，

所以b=4，

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为 x  2  25 + y  2  16 =1，

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为 y  2  25 + x  2  16 =1，

正确答案是  x  2  25 + y  2  16 =1，或  y  2  25 + x  2  16 =1.

注意椭圆方程的标准形式，特别留意焦点所在的位置，防止出现遗漏.

针对与椭圆焦点位置有关的问题时，当题目未明确告知焦点所在的坐标轴时，或者根据已知信息无法直接判断焦点是处于x轴还是y轴，应该分类讨论在x轴与y轴两种情形，并分别作答，避免出现解题不完整的现象.

2 忽略离心率的取值范围

橢圆的离心率整体限制在（0，1）区间内，在计算有关离心率时很容易忽略隐含的这个条件，导致求解的离心率取值范围不精确.

例3   椭圆 x  2  a  2  + y  2  b  2  =1（a>b>0）的右焦点记作F，右准线与x轴的交点为点A，在椭圆上存在点P使得线段AP的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率取值范围是（  ）

（A）  0，    2  2  .      （B）  0， 1 2  .

（C） ［   2 -1，1）.    （D）   1 2 ，1 .

错因   未充分把握垂直平分线的性质，通过设点、求直线反而加大了计算量.

正解    由题意知，椭圆上存在点P使得线段AP的垂直平分线经过点F，即点F到点P和到点A的距离相等，

而 FA = a  2  c -c= b  2  c ， PF ∈［a-c，a+c］，

所以 b  2  c ∈ a-c，a+c ，

即ac-c  2 ≤b  2 ≤ac+c  2 ，

所以  ac-c  2 ≤a  2 -c  2 ，a  2 -c  2 ≤ac+c  2 ，

即  c a ≤1， c a ≤-1或 c a ≥ 1 2 ，

又e∈（0，1），

所以e∈  1 2 ，1 ，故选 （D） 选项.

离心率的取值范围需要通过已知条件搭建起关于a，b，c的不等式，然后转化成离心率e的不等式进行求解，同时一定要注意离心率e在（0，1）内.

例4   已知F 1 ，F 2 分别是椭圆在x轴上的两个焦点，P是椭圆上的一点，∠F 1 PF 2 =60  °  ，求椭圆离心率满足取值条件.

错因   未充分考虑椭圆离心率需要满足（0，1），导致取值范围不够准确.

正解   设椭圆方程为 x  2  a  2  + y  2  b  2  =1（a>b>0），

由余弦定理得，

cos 60  °  =

（ PF 1  + PF 2  ）  2 -2 PF 1  · PF 2  - F 1 F 2    2  2 PF 1  · PF 2   = （2a）  2 -（2c）  2  2 PF 1  · PF 2   -1，

所以 PF 1  · PF 2  = 4 3 b  2 ，

又 PF 1  · PF 2  =   PF 1  + PF 2   2    2 =a  2 ，

所以3a  2 =4（a  2 -c  2 ）得e= 1 2 .

又橢圆中0

有关椭圆的离心率一定要特别注意，离心率e首先必须满足的0

椭圆离心率题目中隐含的条件是离心率始终限定在（0，1）之间，这是椭圆离心率必须满足的首要条件，在解决具体问题时要将求解的离心率范围结合隐含的离心率取值范围综合考虑，求他们的交集，才能解得正确的离心率取值范围.

3 结语

椭圆焦点既可以位于x轴，也可以位于y轴，两类不同情况给解题中的分类讨论创造了讨论空间；椭圆离心率的取值范围在区间 0，1 内，常常隐藏在求解椭圆离心率问题中.把握焦点位置的两种可能，熟记离心率的取值范围，耐心求解，避免错误.