谈谈五点作图法

周启杰

【摘 要】  五点作图法是作正弦型、余弦型函数简图的重要方法，本文通过f x =A sin  ωx+φ 为什么可以用五点法作图，为什么用整体换元方法处理问题，并用运算的角度解释图象变换，说明五点法所蕴涵的思想价值.

【关键词】  五点作图法；整体换元；图象变换

五点作图法是作正弦、余弦函数简图的重要方法，是在学生掌握正弦、余弦曲线图形特征的基础上，选择一个周期中的五个关键点，确定函数图象的基本形状.对于函数f x =A sin  ωx+φ ，利用五点作图法作出其图象的大致形状，借助图象直观分析问题，往往有利于获得解题思路，是解决函数f x =A sin  ωx+φ 具体问题的有效方法，也是五点作图法的价值所在.

为什么可以用五点法作f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象？

令X=ωx+φ，这样X每取一个确定的值，通过x= X－φ ω ，都有唯一的x与之对应，于是函数y=A sin X 图象上的点与函数f x =A sin  ωx+φ 图象上的点一一对应.由于ω>0，X增大时，x也相应增大，则X增大时，其对应的函数y=A sin X的图象上的点从左向右排列，对应的f x =A sin  ωx+φ 图象上的点也是从左向右排列，其图象形状与正弦曲线类似.当X∈ 0，2 π  时，函数y=A sin X的图象与x∈  －φ ω ， 2 π －φ ω  时f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象相对应；当X∈ 0，2 π  时，函数y=A sin X图象上的五个关键点 0，0 ，   π  2 ，1 ，  π ，0 ，  3 π  2 ，－1 ， 2 π ，0 分别对应f x =A sin  ωx+φ  A>0，ω>0  图象上的五个关键点  －φ ω ，0 ，    π  2 －φ ω ，1 ，   π －φ ω ，0 ，   3 π  2 －φ ω ，－1 ，  2 π －φ ω ，0 ，因此可用五点法作f x =A sin  ωx+φ  A>0，ω>0 的圖象.

为什么研究f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0 ）的性质如单调性、对称性、最值时，往往整体换元，令X=ωx+φ，转化为研究y=A sin X的性质？这是因为二者间的单调区间、对称轴、对称中心、最高（低）点、零点等从左至右是一一对应的，比如，若M是y=A sin X的一个增区间，则f x 有唯一的增区间N与之对应.求f x = sin  －2x+  π  4  的增区间时，令－  π  2 +2k π ≤－2x+  π  4 ≤  π  2 +2k π （k∈ Z ），求得的结果恰恰是f x 的减区间，为什么？令 X=－2x+  π  4 ，则x=－ 1 2 X+  π  8 ，当X对应的点从左至右方向从最低点上升到最高点时，相应的x对应的点恰恰是从右至左方向从最低点上升到最高点，恰对应f x = sin  －2x+  π  4  的减区间.

我们知道，由y= sin x的图象经过一系列变换得到函数f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象，主要有两种途径，一是教材给出的：先平移，后横向伸缩（周期变化），最后纵向伸缩（振幅变化）；二是先横向伸缩（周期变化），后平移，最后纵向伸缩（振幅变化）.前者平移 φ 个单位长度，后者平移  φ ω  个单位长度.为什么？我们也可以从五点法中找到答案.

对于函数f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0），令X=ωx+φ.这样X每取一个确定的值，通过x= X－φ ω 计算x的值时，先计算X－φ，然后计算X－φ与ω的比值.第一步计算X－φ，其实质就是平移变换，在y=A sin X图象上任取点 X，y0 ，即y0=A sin X，点 X，y0 向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 φ 个单位，对应的点就是 X－φ，y0 ，而点 X－φ，y0 就是函数y=A sin  x+φ 图象上的点.为什么水平方向的平移法则是“左加右减”？X－φ就能清楚地说明这一点.第二步计算：X－φ与ω的比值，其实质就是横向的伸缩变换，点 X－φ，y0 的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍，对应的点就是  X－φ ω ，y0 ，而  X－φ ω ，y0 就是函数y=A sin   ωx+φ 图象上的点.也就是说，函数y=A sin x图象上各点的横坐标向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 φ 个单位（纵坐标不变），就得到函数y=A sin  x+φ 的图象；函数y=A sin  x+φ 图象上各点的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），就得到函数y=A sin  ωx+φ 的图象.

由于 X－φ ω = X ω － φ ω ，如果通过x= X ω － φ ω 计算x的值，其中 φ ω 是常数，第一步先计算 X ω ，然后再计算  X ω － φ ω .第一步运算的实质就是横向的伸缩变换，在y=A sin X图象上任取点 X，y0 ，即y0=A sin X，点 X，y0 的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），对应的点就是  X ω ，y0 ，而  X ω ，y0 就是函数y=A sin ωx图象上的点.第二步运算的实质就是平移变换，点  X ω － φ ω ，y0 就是由点  X ω ，y0 向左 φ>0 或向右 φ<0 平移  φ ω  个单位（纵坐标不变）后对应的点，而  X ω － φ ω ，y0 是函数y=A sin  ωx+φ 图象上的点.也就是说，函数y=A sin x图象上各点的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），就得到函数y=A sin ωx的图象；函数y=A sin ωx的图象向左 φ>0 或向右 φ<0 平移  φ ω  个单位（纵坐标不变），就得到函数y=A sin  ωx+φ 的图象.

可以看出，五点作图法与图象变换也有内在的联系，能从运算的角度解释图象变换，运算的过程对应着变换过程，能清楚地说明由函数y=A sin x图象变换到函数y=A sin  ωx+φ 的图象，平移变换和横向伸缩变换的顺序不同，平移的距离也不同.

例   函数f x =2 sin  ωx+φ （ω>0，－  π  2 <φ<  π  2 ）的部分图象如图1所示，则φ= .

解析   显然， 3 4 T= 5 π  12 － －  π  3  ，得T= π ，则ω=2.

可以利用特殊点求φ（方法略），也可以利用平移求φ.如图2所示，易知点A的横坐标为  π  6 ，函数f x 的图象可以看作是由函数y=2 sin 2x的图象向右平移  π  6 而得到，于是2 sin 2 x－  π  6  =2 sin  2x－  π  3  ，于是得φ=－  π  3 .

事实上，也可以利用五点法求φ，选择形如“～”的一个周期，把点  5 π  12 ，2 看作五点作图法中的第二个点    π  2 －φ 2 ，2 ，于是   π  2 －φ 2 = 5 π  12 ，得φ=－  π  3 .

体会到五点作图法所蕴涵的思想，就可以利用五点法解决更多的问题.