换元探究指对数复合函数含参恒成立问题
2023-09-13纪明亮
纪明亮
【摘 要】 本文从换元角度探究指对数复合函数不等式恒成立问题，先将问题中变量部分变形，使含变量的部分具有相同的结构形式，并作为整体进行换元，简化函数不等式，再构造关于所换元的函数求其最值确定参数范围.
【关键词】 指对数复合函数；恒成立；换元；最值
换元法是高中数学中的重要思想方法，其内.涵是引入新的变量代替原来的某些变量，巧妙设元将问题简化.指对数复合函数含参恒成立问题中函数形式复杂，若其中变量可通过变形化为结构相同，是否能将其看作整体进行换元简化函数形式？换元之后再如何求解？下面具体实例展开探究.
1 换元构造函数
例1 已知函数f（x）=ax ln x－x e x+ax 2+x.若 x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a 的值.
解 因为 x∈（0，+∞），f（x）=ax 2－x 2 e x+x+ax ln x≤0恒成立，
所以 x∈（0，+∞），x e x－ax－1－a ln x≥0恒成立，
则 x∈（0，+∞）， e x+ ln x －a（x+ ln x）－1≥0恒成立.
设t=x+ ln x，x∈（0，+∞），
则t∈ R ，则 t∈ R ， e t－at－1≥0恒成立.
设g（t）= e t－at－1，t∈ R ，
则g（t） min ≥0.
因为g′（t）= e t－a，
所以，当a≤0时，g′（t）= e t－a>0，
则g（t）在 R 上单调递增，
则g（－1）= 1 e +a－1<0，不符合题意.
当a>0时，令g′（t）= e t－a>0，则t> ln a，
令g′（t）= e t－a<0，则t< ln a，
则g（t）在（－∞， ln a）上单调递减，在（ ln a，+∞）上单调递增，
则g（t） min =g（ ln a）=a－a ln a－1≥0.
设h（a）=a－a ln a－1，a∈（0，+∞），则h（a）≥0.
因为h′（a）=1－1－ ln a=－ ln a，
所以，令h′（a）>0，得0
則h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则h（a） max =h（1）=0，故h（a）≥0时，a=1.
评注 利用关系式x= e ln x 使x e x－ax－1－a ln x≥0中x e x= e ln x · e x= e x+ ln x ，得 e x+ ln x －a（x+ ln x）－1≥0，再设t=x+ ln x进行换元，构造函数g（t）求其最值. 需要注意的是换元之后函数不等式中变量应只有t，且要求出所换元t的范围，它是g（t）的定义域，这样函数g（t）才构造完成，再借助形式简单的函数g（t）来解决恒成立问题.
变式1 已知函数f（x）=x（x 1 x －1）－a ln x， x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的值.
解 因为 x∈（0，+∞），f（x）=x（x 1 x －1）－a ln x≥0恒成立，
所以 x∈（0，+∞），
e ln x x － a ln x x －1≥0恒成立.
设t= ln x x ，x∈（0，+∞），
则t′= 1－ ln x x 2 ，
令t′>0，得0 t′<0，得x> e ， 则t=x ln x在（0， e ）递单调递增，在（ e ，+∞）上单调递减， 则x= e 时取最大值t max = 1 e ， 则t∈ －∞， 1 e . 设g（t）= e t－at－1，t∈ －∞， 1 e ， 则g（t） min ≥0. 当a≤0时， g（－1）= 1 e +a－1<0，不符合题意. 当0 令g′（t）= e t－a≥0，得 ln a≤t≤ 1 e ， 则g（t）在（－∞， ln a）上单调递减，在（ ln a， e 1 e ］上单调递增， 则g（t） min =g（ ln a）=a－a ln a－1≥0. 设h（a）=a－a ln a－1，a∈（0， e 1 e ］， h′（a）=1－1－ ln a=－ ln a， 令h′（a）>0，得0 令h′（a）<0，得1 则h（a）在（0，1）上单调递增，在（1， e 1 e ］上單调递减， 则当a=1时，h（a）取最大值h（a） max =h（1）=0， 则h（a）≥0时，解集为（a=1）. 当a> e 1 e 时，则g′（t）= e t－a<0在 －∞， 1 e 上恒成立， 则g（t）在 －∞， 1 e 上单调递减， 则g（t） min =g 1 e 综上，a=1. 评注 利用关系式x= e ln x 使x（x 1 x －1）－a ln x≥0中x 1 x = e ln x 1 x = e ln x x ，得 e ln x x － a ln x x －1≥0，再设t= ln x x 进行换元并确定其范围，构造函数g（t）求其最值.g（t）在 －∞， 1 e 上的单调性与参数a的取值有关，所以要对参数a的取值进行分类讨论. 变式2 已知函数 f（x）=x ax －x ln x－1，若 x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的值. 提示 利用关系式x= e ln x 使x ax －x ln x－1≥0中x ax = e ax ln x ，得 e ax ln x －x ln x－1≥0，再设t=x ln x 进行换元并确定 t∈ - 1 e ，+∞ ，构造函数g（t）= e at -t-1.g（t） min =g 1 a ln 1 a = 1 a - 1 a ln 1 a -1≥0，求得a=1.具体过程读者可自行完成. 2 参数分离换元构造函数 例2 已知函数f（x）= e x（x－ ln x）+ax，若 x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围. 解 因为f（x）= e x（x－ ln x）+ax≥0， 所以a≥－ e x（x－ ln x） x =－ e x x ln e x x . 设t= e x x ，则t′= e x（x－1） x 2 ， 令t′>0，得x>1， 令t′<0，得0 则t= e x x 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则t= e x x 在x=1时取最小值 e ，则t∈［ e ，+∞）. 设g（t）=－t ln t，t≥ e ，则a≥g（t） max . 因为g′（t）=－ ln t－1≤－2<0在［ e ，+∞）上恒成立， 所以g（t）在［ e ，+∞）上单调递减， 则g（t） max =g（ e ）=－ e ， 则a≥－ e ，即a∈［－ e ，+∞）. 评注 分离参数并利用关系式x= ln e x使a≥－ e x（x－ ln x） x 中x－ ln x= ln e x－ ln x= ln e x x ，得a≥－ e x x ln e x x ，再设t= e x x 进行换元并构造函数g（t）求其最值. 变式1 已知函数f（x）= ln x－x e x+a x ，若 x∈（0，+∞），f（x）≤ 2 x －1恒成立，求a的取值范围. 解 因为 x∈（0，+∞）， f（x）= ln x－x e x+a x ≤ 2 x －1恒成立， 所以 x∈（0，+∞），a≤x e x－x－ ln x+2= e x+ ln x －（x+ ln x）+2恒成立. 设t=x+ ln x，x∈（0，+∞）， 则t′=1+ 1 x >0， 则t=x+ ln x在（0，+∞）上单调递增，t∈ R . 设g（t）= e t－t+2，t∈R，则a≤h（t） min .g′（t）= e t－1， 令g′（t）>0，得t>0， 令g′（t）<0，得t<0， 则g（t）在（－∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 则t=0時，g（t） min =g（0）=3， 则a≤3，即a∈（－∞，3］. 评注 分离参数并利用关系式x= e ln x 使a≤x e x－x－ ln x+2中x e x= e x+ ln x ，得a≤ e x+ ln x －（x+ ln x）+2，再设t=x+ ln x进行换元并确定其范围，构造函数g（t）求其最值. 变式2 已知函数f（x）=（a－1）x－2（a－1） ln x，若 x∈（0，+∞），f（x）≤ e x x 2 恒成立，求实数a的取值范围. 提示 利用关系式x= e ln x 使（a－1）x－2（a－1） ln x≤ e x x 2 中 e x x 2 = e x－2 ln x ，得（x－2 ln x）a≤ e x－2 ln x +（x－2 ln x），设t=x－2 ln x，确定t∈［2－2 ln 2，+∞），根据t>0，分离参数并构造函数g（t）求其最值. 3 结语 指对数复合函数含参不等式f（x）≥0（≤0）恒成立，其中f（x）含有 e x和 ln x项，先利用关系式x= e ln x （x>0）和x= ln e x对函数不等式中变量的部分进行变形. 若变量能转化相同组合形式，则将其看作整体，设为变量t，并求出变量t的范围. 第一类问题是换元构造函数g（t），使f（x）=g（t（x）），则f（x）≥0（≤0）恒成立可转化为g（t）≥0（≤0）恒成立，则g（t） min ≥0（g（t） max ≤0），得到h（a）≥0（h（a）≤0）确定a的范围. 第二类问题是换元分离参数再构造函数g（t），使f（x）≥0（≤0）恒成立a≥g（t）（≤g（t））恒成立，则a≥g（t） max （≤g（t） min ）. 整个换元过程中是将 e x和 ln x项分配到函数t（x）和g（t）中进行分步处理，起到了降阶的作用，降低了问题难度.
