浅叙高中数学选修课“微积分学”的基本定理

姚少魁 熊家永

【摘 要】  微积分基本定理就是牛顿莱布尼茨公式吗？该定理的基本性何在？微积分基本定理的正式名称是积分学基本定理吗？本文通过梳理国内高中教科书、大学教科书和国外高校教材中的相应内容并结合学习体会，尝试回答对微积分学中这个最重要的定理的这些疑问.

【关键词】  牛顿莱布尼茨公式；微积分基本定理；高中数学

1 微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式

今天微积分的学习已“飞入寻常百姓家”，大多数中学生也开始学习微分部分的内容.数学课程标准（2017年版）在选修课程中的 A 类课程为有志于学习数理类专业设置的课程，其中微积分部分阐述微分和积分的关系（微积分基本定理， The Fundamental Theorem of Calculus，FTC） 及其应用，并在定积分的部分指出通过微分感悟积分与导数的关系，理解并掌握牛顿莱布尼茨公式：f b -f a =∫ baf′ t  d t [1] .

在人民教育出版社2021年版数学 A 类《微积分》介绍了如下定理 [2] ：

定理1 牛顿莱布尼茨公式   设函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且F ′（x）=f（x），则∫ baf x  d x=F b -F（a），称F（x） 是f（x）的一个原函数.

问题1   微积分基本定理是不是就是牛顿莱布尼茨公式呢？

让我们看一看旧版高中教材的论述，如2005年审定通过的人民教育出版社 A 版高中数学选修2-2（旧教材）第53页：

一般地，如果f（x）是[a，b]上的连续函数，并且F ′（x）=f（x），那么∫ baf x  d x=F b -F（a）.

这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式 （NewtonLeibniz formula）.

北京师范大学出版社高中数学选修2-2第83页和江苏凤凰教育出版社数学选修2-2第49页关于微积分基本定理与人教版相同.苏教版教材在链接模块关于微分和积分的关系中解释道，微积分基本定理给出了微分与积分这两个关键词之间的关系.因为是由牛顿、莱布尼茨共同发现的，所以称之为牛顿莱布尼茨公式.

由张景中院士主编的湖南教育出版社数学选修2-2（理科）（2019年7月第2版）第四章第69页微积分基本定理部分注释到“牛顿和莱布尼茨发现了并且明确表述了微积分基本定理，标志着微积分学的诞生”，并给出了微积分基本定理的图形直观.

关于微积分中的原函数，李尚志教授诗云：“量天何必苦登高，借问银河落九霄.直下凡尘几万里，几公里处宴蟠桃.”从古典的诗歌意境阐述数学思想的美妙.并指出通过原函数求定积分的方法就是微积分基本定理，也就是牛顿莱布尼茨公式 [3] .

问题2   是不是限于中学生的理解能力和知识基础，高中数学教材中的微积分基本定理就是专指牛顿莱布尼茨公式呢？

为了求证此事，让我们看一看国内高校教材中的叙述.

2021年同济大学编写的《高等数学》第七版（上、下册）获得首届“全国优秀教材特等奖”，在上册第240页：

定理2   如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，那么函数Φ x =∫ xaf t  d t就是f（x）在[a，b]上的一个原函数.

定理3（微积分基本定理）   如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数，那么∫ baf x  d x=F b -F（a）.

该公式叫作牛顿莱布尼茨公式，也叫作微积分基本公式.该公式表明一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于一个原函数在区间[a，b]上的增量.因而解释了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.并注释到微积分基本定理的陈述最早出现在莱布尼茨1677年的一篇手稿中.

而由华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版上册第224页：

定理4（原函数存在定理）   若f 在[a，b]上连续，则Φ x =∫ xaf t  d t 在[a，b]上处处可导，且Φ ′ x =  d   d x ∫ xaf t  d t=f x ，x∈［a，b］.

本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系，同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以变上限的积分形式给出了f的一个原函数.正因为该定理的重要作用而被誉为微积分基本定理.

由于f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F x =∫ xaf t  d t+C， 令x=a，可得C=F（a），从而∫ xaf t  d t=F x -F（a）.再令x=b，即得牛顿莱布尼茨公式 ∫ baf t  d t=F b -F（a）.

在项武义老师的系列著作基础数学讲义之四《基础分析学之一》单元微积分学部分中有以下定理.

定理5（微积分基本定理） [4]

設f（x） 为[a，b] 上的连续函数.令F x =∫ xaf t  d t，则 F ′（x）=f（x）.

推论   设f（x） 为[a，b] 上的连续函数而G ′ x =f（x）， 则∫ baf t  d t=G b -G a .

微积分基础理论是整个分析学的基础和精要之所在，它广泛的应用和深厚的发展可以说是无限的.

问题3   至此，我们看到高中数学教材和同济第七版高数教材中所给出的公式就是牛顿莱布尼茨公式，而两本国内数学专业教材给出的基本定理内容是变上限函数求导的公式，那么原函数存在定理是微积分基本定理的一个组成部分吗？

在《古今数学思想》（第四册）第15页柯西定义F x =∫ xx0  x  d x， 且证明F x 在 x  0 ，x］上连续. F x+h -F（x） h = 1 h ∫ x+h xf x  d x， 并利用积分中值定理，柯西证明了F ′（x）=f（x）.

这就是微积分基本定理. 柯西的表示方法就是微积分基本定理的第一个证明 [5] .

在证明了给定函数f（x）的全体原函数彼此只差一个常数之后，他把不定积分定义为

∫f x  d x=∫ xaf x  d x+C.

若假定f′（x）连续，

则∫ baf x  d x=f b -f a .

通过对比和分析，我们明确了变上限函数求导（原函数存在定理）是微积分基本定理（一部分），牛顿莱布尼茨公式可由微积分基本定理（原函数存在定理）推出.

问题4   带着“牛顿—莱布尼兹公式是否也应是微积分基本定理的一部分”的疑问，让我们一起看看国外三本经典教材中的相关阐述.

由 George Thomas 教授编写的占据美国微积分教科书市场主导地位的Thomas Calculus第十四版将微积分基本定理称为积分学的中心定理 （central theorem of integral calculus）， 牛顿—莱布尼茨这一数学发明推动了接下来200年的科学革命 [6] .

定理6   微积分基本定理， 第1部分如果f在 [a，b]上连续， 那么 F x =∫ xaf t  d t 在 [a，b]上连续，在 a ，b）上可导且其导数是 f x ：F′ x =  d   d x ∫ xaf t  d t=f（x）.

定理7   微积分基本定理，  第2部分，求值定理（The Evaluation Theorem） ：如果 f x 在 [a，b]上连续， F x  是 f x  在 [a，b] 上的反导数（ antiderivative ）， 那么∫ baf x  d x=F b -F a .

由第1部分可知 f的原函数存在. 定理7求值部分比用黎曼和计算定积分简便很多. 如果F x 是f的任意一个原函数，则可以写成F b -F a =∫ baF′ x  d x. 函数F（x）关于x的变化率的积分等于F（x）当x从a到b的净变化量（ net change ）. 该式也可改写为F b =F a +∫ baF′ x  d x.

从1980年开始，经过在麦克马斯特大学6年的试用， James Stewart 的Calculus第一版于1987年问世，目前已经进行了8次修订，第八版第326页微分和积分是互逆的過程（ Differentiation and integration as Inverse Processes ）.

微积分基本定理   假设 f x  在 [a，b] 上连续.

（1）若 g x =∫ xaf t  d t， 则 g ′（x）=f（x）.

（2）∫ baf x  d x=F b -F（a），其中 F x 是 f x 的一个反导数， 即F x  ′=f x .

第1部分用莱布尼茨的记号可以写成  d   d x ∫ xaf t  d t=f（x）.

第2部分可以改写为∫ baF′ x  d x=F b -F（a）.

综合考虑微积分基本定理的这两个部分，表明微分和积分是互逆的过程，每一个都将对方的操作还原 [7] .

在普林斯顿微积分读本中， 第1部分和第2部分分别叫作微积分第一基本定理（The First Fundamental Theorem of Calculus）和第二基本定理（The Second Fundamental Theorem of Calculus）.一般地，在美国非数学专业微积分教科书中，微积分基本定理通常包括两个部分：反导数（antiderivative part）部分和求值部分（evaluation part），牛顿莱布尼茨公式是微积分基本定理的求值部分 [8] .在R．Courant和F. John所著的数学专业教材 Introduction to calculus and analysis （Volume 1）中微积分基本定理的第1部分，也是反导数部分. 尽管牛顿莱布尼茨公式可以由变上限函数求导推出，但目前国际上流行的教科书仍是将牛顿莱布尼茨公式和变上限函数求导作为微积分基本定理的组成部分.

2 微积分基本定理的作用及“基本”性

微积分基本定理说明：连续函数积分的计算，只要寻求它的原函数在两端点函数值之差即可，可以不用“分隔、作和、求和与取极限”这种大动干戈的方式进行. 从欧多克索斯和阿基米德到伽利略和费马的时代，求曲线的面积、几何体的体积以及曲线长度这些生活中的问题，只有当时的一些天才才能迎接这些挑战，但是现在有了微积分基本定理（求值部分），我们的中学生也能解决其中一些问题. 尽管牛顿、莱布尼茨都不是最早注意到这个定理的人，但他们各自证明了这个定理，并认识到它巨大的效用和重要性 [9] .

这种不断追寻问题本质，将复杂问题变简单的基本想法不愧为人类理性精神的伟大成就之一.但即使学过微积分的人比如笔者和一些同事，往往也会忽略定理的反导数部分. 那么定理的这两个部分分别有哪些作用呢？

对于初学者，黎曼和是一个令人头疼的概念，定理的第2部分让我们不必再借助先求黎曼和再判断其极限的方式来求定积分，而只需要估计该函数的不定积分在两个端点函数值的差即可，因此也被称为求值部分. 定理的反导数部分保证了导数已知的函数其原函数的存在性.

该定理表明微积分的两大主体内容微分和积分间是互逆的运算，具体地讲 [10] ：

对于连续函数f，我们先进行积分然后再微分就可以得到原函数：

f x  积分   ∫ xaf t  d t 微分     d   d x ∫ xaf t  d t=f（x）.

另一方面，如果对函数进行先微分然后再积分，在差一个常数的意义下，也可以给出原函数：

f x  微分   f ′ x  积分   ∫ xaf′ t  d t

=f x -f a .

作为积分学的基础，该定理建立了微分中值定理与积分中值定理的联系：

f c = F′ c （b-a） b-a = F b -F（a） b-a

= 1 b-a ∫ baf x  d x，a

并且微积分学中四个重要的概念，极限、导数、不定积分与定积分通过微积分基本定理建立了联系.不仅如此，变化率的积分是净变化量∫ baF′ x  d x=F b -F（a），因此该定理也被称为净变化量定理，它可用于刻画自然科学和社会科学领域的所有变化量问题，如一段时间内速度变化产生的位移，速率变化产生的距离，化学反应速率的变化产生的物质浓度的变化量，边际成本变化所导致的生产单位商品成本的变化，人口变化率引起的人口数量的变化，等等.

此定理反映了一元函数微分和积分之间的基本关系，这种整体和局部之间的关系可以推广到高维空间，多元函数微积分学中的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是建立在微积分基本定理这个共同基础之上的.

3 微积分基本定理（ FTC）原为积分学基本定理（FTIC ）

函数是微积分的基本研究对象，甚至在函数概念没有明确之前就已经从几何学中逐步建立 [11] ，函数概念的提出，使得微积分走上了代数化的道路，如同函数概念是一代代数学家接续发展的结果，牛顿和莱布尼茨关于微积分的工作通过欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯一直继续发展.尽管牛顿和莱布尼茨共同发现并证明了微积分基本定理， 但是这个定理的萌芽既不是从两位微积分的集大成者开始，也不是发展到他们时结束.但无疑该定理是数学发展史上的一个里程碑，其建立标志着微积分的诞生 [12] .凡是要真正懂得科学的力量和全貌，都必须了解这门知识的现状是历史发展的结果.1820年泊松称牛顿莱布尼茨公式为“定积分理论的基本命题”，这可能是第一次有人称这个定理为“基本的” [13] . 通过对陈见柯老师推荐的《教授积分学基本定理历史反思》的梳理，我们可以得到该定理名称如图1的发展脉络：

无论是 Thomas的书还是D. M. Bressoud的观点，微积分基本定理均是关于积分的等式，进一步Bressoud认为应将积分一词还回微积分基本定理中，即為积分学基本定理The Fundamental Theorem of Integral Calculus，简称FTIC，这一名称似乎源于P.B. Reymond 1876年关于傅里叶级数的论文，并将此定理描述为“积分学中最重要和有用的定理”. 20世纪50年代和60年代，这两个名称往往同时使用，到了20世纪70年代，大多数作者省去形容词“积分的”（integral）进而选择较短的名称（FTC）， 从而加强了把该定理解释为微分与积分互逆这种特性的倾向 [14] .

4 微积分的学习与“双减”

作为一切高级数学的基本功，微积分和线性代数是大学生必修的公共课程，基于严格极限定义的微积分让大学生初学者也摸不着头脑. 作为微积分学创立的标志，结合几何意义和动态直观，国际高中的学生对闭区间上的定积分还能理解，也能利用牛顿莱布尼茨公式进行基本的运算，但面对微积分基本定理的反导数部分，即使学过的学生也可能不知所措. 学习者忽略第1部分或许与我们平时更重视练习和实际应用，时常忽略数学的理性精神，不注重从数学发展等多角度赏析有关 [15] . 定理的证明是理解其含义的一个重要途径，遗憾的是即使美国大学选修课程的教材（正文）中一般也都跳过证明，仅叙述结论与应用. 那么微积分可以变得易于全部高中生学习吗？

“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来. 一个问题被解决以后，相应发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.” [16] 源于1996年6月张景中先生与林群先生开会时同桌进餐，一南一北两位数学家开始了长达20多年的数学科普创作.两位先生就中学数学教材中有关基本定理简化证明中的错误和原因进行了分析，并通过反例说明严格证明可以消除直观中的错误，也可以让读者学到正确有效的思想方法 [17] .

2021年，“双减”成为教育的重要课题和全民关注的热点，如何减轻中学生数学学习的负担，进而让更多同学体验到数学的有趣，获得学好数学的信心是每个教育工作者关心的问题. 张景中先生认为“双减”中有相当一部分内容是关于数学的. 对数学课来说，减轻负担最有效、最根本的方法就是把数学本身变得更有效、更容易学. 这就必须对数学本身进行加工，最好能改造数学知识体系，研究更优的解决方法，让“过去曾经困扰成年人的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解”.两位“微积分爷爷”的新作《减肥微积分》将激发更多不满足于课内知识的青少年的科学兴趣，训练孩子们学习科学研究的方法、素养和精神 [18] . 这种不借助极限的微积分逻辑新体系已经通过了辅助工具 Coq 的形式化验证，并在计算机上运行通过. 微积分基本定理中的求值部分已经实现了机器证明，这种利用计算机实现现代数学理论的证明模式，不仅可以节省时间，而且便于人们理解、构建现代数学理论 [19] .

2022年1月25日，张景中教授由于长期致力于科普工作所做的卓越贡献和推动机器证明智能化技术的发展获得2021年中国计算机协会“中国计算机协会（ CCF ）终身成就奖”. 最后让我们祝愿两位“80后”爷爷身体健康，继续为祖国数学科普事业的创新与发展、为我国数学实力的增强、青少年数学学习兴趣的激发与培养逐梦前行.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：50-53.

[2]高夯.数学A类，微积分[M]，北京：人民教育出版社，2021：82-83.

[3]李尚志.微积分诗四首[J].大学数学，2011，27（1）：1-2.

[4]项武义.单元微积分学[M].北京：人民教育出版社，2004：43-48.

[5]莫里斯·克莱因.古今数学思想（第四册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002：14-15.

[6] ThomasGB，HassJ，et al（revised）.Thomas′s Calculus[M].（Fourteenth Edition.），Pearson Education，Inc，New Jersey ，2018：279-282.

[7]StewartJ. Calculus [M].（Eighth Edition），Cengage learning，Boston， 2015：326.

[8]童增祥.牛顿—莱布尼兹公式再议[J].高等数学研究，2014，17（6）：1-3.

[9]史蒂夫·斯托加茨.微积分的力量[M].北京：中信出版社，2021：201-255.

[10] Rogawski J.，Adams C. CALCULUS （Third Edition）[M]. 2015，New York：W.H.Freeman and Company，2015： 261.

[11]姚少魁，张浩.莱布尼茨还是欧拉？谈函数概念的历史发展[J].数学教学，2021，3：10-17.

[12]刘炳麟.深入剖析“微积分基本定理”的内涵[J].数学通报，1993，2：27-29.

[13]David M. Bressoud， Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Integral Calculus [J].The American Mathematical Monthly，118.（2）：99-115. 陆柱家（翻译）.教授积分学基本定理的历史反思[J].数学译林，2011，3（3）：260-272.

[14] David M.Bressoud.Calculus Recorded： A History of Big Ideas.New Jersey：Princeton University Press.2019.（中譯本林开亮、陈见柯、叶卢庆预计2022年出版）

[15]张奠宙，丁传松，柴俊等.情真意切话数学[M]，北京：科学出版社，2011：56-150.

[16]张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热地思考[J].高等数学研究，2006，9（2）：2-4.

[17]林群，张景中.微积分教材也会错吗？[J].数学通报，2019，58（10）：1-3.

[18]林群，张景中.减肥微积分[M]，长沙：湖南教育出版社，2022.

[19]郭礼权，付尧顺，郁文生.基于Coq的第三代微积分机器证明系统[J].中国科学：数学，2021，51（1）：115-136.