例谈高中数学教材变式设计的方法
2023-09-13杨洁郭繁华
杨洁 郭繁华
【摘 要】 变式设计有两种策略，一种是概念性变式，另一种是过程性变式.本文提炼关于概念性变式的方法，即创设合适的教学情境和提出恰当的数学问题.同时也提炼过程性变式的7种方法，并通过案例来阐明.
【关键词】 高中数学；变式;课堂教学
1 什么是教材变式
本文中的“教材变式”是指对人教 A 版普通高中数学教科书中的基本概念、典型例题、习题、练习等进行变式，通过变式揭示知识的本质及知识之间的内在联系，展示知识的发生发展过程，促进知识的迁移 [1] ，通过变式引导学生亲身经历数学对象的获得过程，经历数学对象的研究过程，经历数学对象的应用过程，从而促进学生的数学体验，发展学生的数学核心素养.
2 教材变式设计的方法
顾泠沅与鲍建生等总结了数学变式教学的基本内涵，提出变式教学实施的两种策略：概念性变式和过程性变式教学策略.本文针对这两种变式教学提炼了一些方法如下.
2.1 关于概念性变式的方法
概念性变式主要针对概念、公式、定理、性质等的发生发展、形成过程、来龙去脉以及知识的内在联系等创设合适的教学情境，提出恰当的数学问题，让学生亲身经历知识的发生发展过程，通过内化形成良好的数学体验，厘清知识的来龙去脉以及知识的内在联系，总结基本活动经验.
2.1.1 创设合适的教学情境
（1）创设合适的生活情境.生活情境也叫现实情境，变式设计中创设学生熟悉且与教学内容紧密联系的生活情境，以激发学生的学习兴趣，使教学内容更具直观性，帮助学生完成抽象过程，并更好地理解教学内容.
（2）创设合适的数学情境.根据教学内容创设合适的数学问题情境，激发学生的思维活动，引导学生思考，使学生经历数学思维活动全过程.
（3）创设合适的科学情境.联系数学教学内容和科学相关问题，创设合适的科学情境，带领学生走进科学世界，引发学生思考，体验数学与科学的联系，体会数学作为基础学科的重要性.
2.1.2 提出恰当的数学问题
（1）提出恰当的趣味性问题.通过将数学问题情境化，使学生平时接触的生活问题成为问题背景，通过学生熟悉的情境，提起学生更大的兴趣去思考与探究，从而激发学生的好奇心，激发学生学习数学的兴趣和意识.
（2）提出恰当的悬念性问题.在教学重点或难点处设置悬念，引导学生探索，能较好地突破难于理解或难于掌握的内容.
（3）提出恰当的开放性问题.开放性问题的设置有助于引导学生积极思考，通过从多个维度、多个角度提出对问题的思考，有助于培养学生独立思考和解决问题的能力.
案例 在“利用递推公式求通项”新课教学中，可以设计如下.
问题 已知数列 an 的首项a1=2，且an+1 －an=2（n∈ N *），求数列 an 的通项公式.
变式 已知数列 an 的首项a1=2，且an+1 －an= （n∈ N * ），求满足上述要求的数列 an 的通项公式.
请同学们自由想象，横线上我们可以填有关n的参数式吗？将你的想法写在横线上并把解题过程写出来.这种发散型的问题，可以从多个角度补充条件，带出新问题（累加法），引导学生积极探索解决出路，有很强的导向性、启发性，可以让学生在复习旧知中寻找规律得出新知解法，即在等差数列的求和公式、等比数列的求和公式的复习中，进一步加强知识体系的理解与构建.
（4）提出恰当的陷阱性问题.
案例 在“利用递推公式求通项”新课教学中，为了进一步梳理学生的易错点，特别在利用an与Sn的关系求an的表达式时要注意n的取值問题，针对此类问题特意利用变式资源思维，更换条件、设置陷阱、突出问题、铸牢易错点.
变式 已知数列 an 的前n项和为Sn，若a1=3，且Sn+1 －2Sn=2，求数列 an 的通项公式.教学时，根据学生当堂练习的反馈，有意识地展示下面的错误情况.
解 因为Sn+1 －2Sn=2，
故Sn－2Sn－1 =2，
故an+1 －2an=0，
即an+1 =2an，
所以 an 为等比数列，且首项为3，公比为2，
从而an=3·2 n－1 （n∈ N * ）.
以上过程看上去好像没有任何问题，严格按基本方法来操作，思路清晰，但仔细审查你会发现在n的范围的处理上，得到an+1 =2an没有标注n的取值范围，应该得：an+1 =2an（n≥2）.只能说从第2项开始是等比数列，要说从第1项开始是等比数列还得验证，因此得加上：而S2－2S1=2，故a1+a2－2a1=2，故a2=5，则 a2 a1 ≠2，所以 an 从第2项开始是等比数列，且a1=3，a2=5，公比为2，从而an= 3（n=1），5·2 n－2 （n≥2）. 教师通过设疑，引起学生的思考与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，有利于学生自主获取知识，取得学习的主动权，从而提高学生的发散思维能力.
2.2 关于过程性变式的方法
过程性变式主要是对教材中的例题、练习或习题进行变式，让学生亲身经历变式的过程或解决变式问题（解题活动）的过程，以及经历反思解题活动的过程，通过自身内化形成良好的数学体验.从而加强对知识本质的理解，拓展学生思维的广度，促进学生思维的深度，提高学生思维的灵活性，以达到对教学内容的巩固、检测、提升、拓展或迁移的目的.
2.2.1 交换题目的条件和结论
案例 在教学“直线与平面平行”时，处理137页典例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行另外两边的平面.作如下变式：
变式1 四棱锥A-DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点.求证：AB∥平 面DCF.
变式2 已知空间四边形ABCD中，平面BCD与平面ABD相交于直线BD，E、F分别是AB、AD上的点，且EF∥平面BCD.求证：EF∥BD．
设计意图 由变式1探求常规处理方法.而通过对典例条件与结论的交换引入变式2，引导学生思考、加深印象（强化差异）、探求变化，从而为新知做准备.
2.2.2 改变条件，问题不变
案例 在教学“等比数列的前n项和公式”习题课时，处理40页练习题中第4题，作如下变式.
变式1 已知数列 an 的前n项和为Sn，若2an－1 =an（n≥2），a1=－1，求Sn.
变式2 已知数列 an 的前n项和为Sn，若2Sn－1 =Sn+1（n≥2），a1=－1，求Sn.
设计意图 变式1到变式2的设置难度逐步加强，层层推进，通过提供不同的递推关系得到不同的变式，继而梳理出一般的方法.
2.2.3 条件不变，改变问题
案例 在教学“同角三角函数的基本关系”时，处理例题环节中，设置如下变式.
问题 已知 tan α=2，求 tan α+1 tan α-1 .
变式1 已知 tan α=2，求 sin α-4 cos α 5 sin α+2 cos α .
变式2 已知 tan α=2，求5 sin 2α+2 sin α cos α.
设置意图 变式1到变式2让学生经历了由易到难，由特殊到一般的解题过程，并通过对比不同的解题方法，归纳总结出最简解法，形成解题经验.
2.2.4 改变条件，改变问题，本质不变
案例 在教学“基本不等式”时，对基本不等式求最大、最小值，选择教材例题2进行如下变式.
变式1 当x取什么值时，x 2+ 1 x 2 取得最小值？最小值是多少？
变式2 已知x>－1 ，
求函数f（x）= x 2－3x+1 x+1 的值域.
设计意图 变换角度对问题进行求解，揭示问题本质，加强运用并巩固公式.
2.2.5 增加递进性问题
增加递进性问题，设置由浅入深的问题，使学生思维经历由低阶向高阶发展的过程，为解决本质问题做铺垫.
案例 在教学“点到直线的距离”时，处理例题环节中，设置如下变式.
问题 求点P（2，2）到x轴的距离.
变式1 求点P（2，2）到直线l1：y=0的距离.
变式2 求点P（2，2）到直线l2：y=－1的距离.
变式3 求点P（2，2）到直线l3：x=2的距离.
变式4 将直线l3：x=2绕点（2，0）逆时针旋转45 ° 得到l4，求点P（2，2）到l4的距离.
设计意图 变式1到变式4让学生经历了从易到难、由浅入深、从特殊到一般的解题过程，体会了坐标法，坚定了解题意志，为解决问题：求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距离做铺垫.
2.2.6 增加開放性问题
案例 在教学“点到直线的距离”时，处理课堂练习的环节中，设置如下变式题组.
变式 已知直线l2：x+y+4=0，且点A（a，6）在直线l1：x+y+1=0上，求：（1）点A（a，6）到l2的距离；（2）直线l1与直线l2的距离.
设计意图 通过变式由点线距离过渡到线线距离，自然过渡到下节课内容，激发学生的求知欲.
2.2.7 增加迁移性问题
案例 在教学“正弦定理”时，处理47页例8：在△ABC中，已知B=60 ° ，b= 2 ，c=2，解这个三角形，作如下变式.
变式 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C= π 3 ，c=3，设向量 m =（a，b）， n =（ sin B， sin A）， p =（b－2，a－2） .（1）若 m ∥ n ，解三角形；（2）若 m ⊥ p ，求△ABC的面积.
设计意图 通过变式将向量运算、共线的坐标表示迁移到解三角形问题中，使学生感受正弦定理、余弦定理与向量之间的联系，学会用联系的眼光看待不同的数学知识，体会数学知识的系统性.
参考文献：
[1] 郭繁华，杨洁.点到直线的距离[J].数理天地，2022（02）：19-21.
[2]沈张军.高中数学教材中三角函数的变式素材比较研究[J].中学数学，2021（23）：5-6.
[3]许雪红.苏教版高中数学教材数列内容的呈现特征与教学建议[J].中小学班主任，2020（06）：7-10.
[4]陈萍，汤文兵.精彩课堂，在有效变式中绽放[J].数学之友，2017（04）：15-17.
[5]汪涛.高中数学教材习题的开放化训练与变式研究[J].中外企业家，2016（09）：151.
