立体几何中常见动态问题及解题策略

陈腾

【摘 要】  高中时期，在对于学生综合素养的培养要求中，空间思维是其中重要的一项，而立体几何作为几何知识体系的重要組成部分，是考查学生计算能力及空间思维的重要途径，因此，在考试中，关于空间几何的问题占有较高的比例.在试卷中，经常出现立体几何与点动、线动、面动等动态知识综合考查的问题，对于学生有着较高的要求，本文结合实例，对相关题型进行总结分析，供师生参考.

【关键词】  高中数学；立体几何；解题策略

立体几何作为数学问题中的重难点，需要学生具有较强的计算及想象能力，在考试中，往往不对其进行单独的考查，会将其与点动问题进行结合考查，而这也在很大程度上增加了学生解答问题的难度，影响学生最终成绩.因此，本文将较系统地总结立体几何问题中常见的动态问题，促进学生数学素养的提升.

1 点动问题

点动问题主要是研究点在平面或是空间内因运动而引起的各种问题，在实际考查中，通常会让学生计算因点动而引起的几何线段、周长等最值问题，此时，解题时需要首先将问题进行转化，将其转到一个平面内，而后进行解答.在这个过程中，一般要运用翻转、点共线、点到直线的距离等方法，最终目标都是将立体几何问题平面化、折线问题直线化.

例1   如图1所示，正三棱锥V－ABC中，侧棱长为 3 ，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40 ° ，过点A作截面△AEF，则△AEF的周长最小值为（  ）

（A）  3 .   （B） 2 3 .   （C） 3.   （D） 2.

解析   如图2所示，沿侧棱VA将正三棱锥V－ABC展开，通过观察可以发现，此时AA′的长即为△AEF周长的最小值，同时，△VAA′中，∠AVA′=3×40 ° =120 ° .

则有

AA′= VA 2+VA′ 2－2VA·VA′· cos ∠AVA′  =3.

故正确答案为 （C） .

例2   如图3所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB= 2 ，BC=AA1=1，M为AB1的中点，P为对角线AC1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则MP+PQ的最小值为 .

解析   将平面AB1C1沿AC1向上翻折，此时将折线转化为直线段，从而便可以求出MP+PQ的最小值.

如图4所示，当Q是P在底面ABCD的射影时，PQ最小，

将面AB1C1沿AC1翻折，使其与平面ACC1共面，

此时有∠CAC1=30 ° ，AM=  3  2 ，

当M，P，Q三点共线时，MP+PQ取最小值，

此时，MP min  =AM sin ∠CAB1=  3  2  sin 60 ° = 3 4 .

2 线动问题

线动问题主要研究目标图象因空间中某条线段变化而发生改变时所产生的各种问题，如最为常见的图象绕某一条直线进行旋转、折叠，在面对这类问题时，学生需要明确图象在变化过程中的各线段的运动路径、轨迹及最终落点，同时，将问题进行转化，最后借助相关几何知识及定理进行计算.

例3   在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图5所示，求直线BA′与CD所成角的范围.

解析   等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，

取BC的中点E，连接AE，四边形AECD为平行四边形，

所以AE=AB=CD，

所以△ABE为等边三角形，

则∠A′BD=  π  6 ，CD⊥BD，CD∥AE，

翻折中，BA′绕BD旋转，BA′可视为以B为顶点、BD为轴的圆锥的母线，

此时，母线与轴的夹角为  π  6 ，

则母线与底面直线所成角的范围为   π  3 ，  π  2  .

故直线BA′与CD所成角的范围为   π  3 ，  π  2  .

3 结语

综上所述，立体几何存在多种题型，且难度相差较大，在点动问题中，通常只考查点动所引起线段长度、图象周长的变化，此时学生只需要将其问题进行转化便可以快速解答.而线动则有更高的要求，需要学生对运动过程有一个明确的认识.在日常学习中，学生应当进行大量的练习，进行总结归纳，达到在遇到相关问题时，可以快速找到解题思路的水平，便可在考试中取得好的成绩.

参考文献：

[1] 陈灯煌.关于立体几何动点轨迹的探究[J].数理天地（高中版），2022（22）：12-13.

[2]刘长柏.剖析立体几何中的“动态”问题[J].数学通讯，2022（09）：45-47.

[3]顾小存.立体几何多动点最值问题的求解策略[J].高中数学教与学，2021（11）：47-48.

[4]苏艺伟.对一道立体几何动点问题的解析[J].数理化学习（高中版），2019（09）：9-12.