最值:打开恒成立问题的钥匙

代成红

(湖北省天门中学)

恒成立问题是高考热点,也是复习中的重点、难点.分类讨论与分离变量是解决恒成立问题最主要的方法,其实质是构造函数,利用导数研究函数的单调性、最值,利用最值求出参数的取值范围.显然最值才是解决问题的关键,是打开恒成立问题的钥匙.那么,能不能绕开函数单调性的讨论过程,直接由最值求解恒成立问题呢? 我们知道,闭区间上的连续函数存在最值,且最值要么在极值点取到,要么在端点处取到.因此,如果最值在极值点处取到,将此极值点代入不等式,可得到参数取值的一个范围;如果最值在端点处取到,可确定端点处导数值符号,根据端点处函数值与导数值符号也可求得参数取值的一个范围.将此二者联合使用,一般可求得参数取值的准确范围,然后证明不等式在此范围内成立即可.为行文方便起见,本文将此方法称为赋最值法.赋最值法由两个环节组成,即赋值和证明,本文举例说明此方法的应用.

1 极值点处取最值

例2函数f(x)＝ex－aln(ax－a)＋a(a＞0),若f(x)＞0恒成立,求实数a的取值范围.

因此,实数a的取值范围是(0,e2).

点评例2中f(x)的定义域为开区间(1,＋∞),区间两端函数值均无意义.为了研究函数在区间两端的变化,此时考虑端点处函数的极限.当x→＋∞时,f(x)→＋∞,当x→1＋时,f(x)→＋∞,f(x)＞0均成立.因此,f(x)的最小值一定在区间(1,＋∞)内某点t取到.此时有即

例3已知f(x)＝ex－2＋x－2ax2＋xlnx,若对于任意x∈(0,＋∞),不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解析设g(x)＝x－2－lnx(x＞0),则g(2)＝－ln2＜0,g(e2)＝e2－4＞0,

可知存在t∈(2,e2)使g(t)＝0,即t－2＝lnt,即et－2＝t.由f(t)≥0,可知et－2＋t－2at2＋tlnt≥0,即t＋t－2at2＋t(t－2)≥0,所以a≤.

点评例3是开区间上的恒成立问题,首先考查函数在区间端点处的极限,发现f(x)＞0满足条件,其次假设fmin(x)在(0,＋∞)上某点t取到,则有即

消去a得(2－t)et－2＋tlnt＝0,即(t－2)et－2＝lnt·elnt,则t－2＝lnt,虽然求不出t的具体值,但它是存在的.结合前面的分析,将它代入f(x)≥0求得的范围一定是参数准确的取值范围.例3表明,函数在隐零点处取最值,赋最值法仍然有效.

2 端点处取最值

例4已知函数f(x)＝ex－1＋Ax2－1,若对于任意的x≥1,有f(x)≥A成立,求实数A的取值范围.

同理,若对于任意的x∈(m,n),f(x)＞f(n)恒成立,那么f′(n)≤0.使用此类结论判断参数范围,习惯上称为端点效应.

(2)由于f′(m)≥0只是f(x)＞f(m)的必要条件,因此使用端点效应既要证明在区间内不等式恒成立,还要寻找矛盾区间说明在区间外不等式不能恒成立.

例5设f(x)＝ax＋cosx－1－sinx,当x∈[0,π]时,f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.

点评图像是描述函数的重要工具和语言,考查函数1,x∈[0,π]的图像(如图1),可以帮助我们快速判断例5只需要使用端点效应即可.例5表明,使用数形结合,可大大提高赋值的准确性.

图1

例6已知f(x)＝xeax－ex＋1,当x＞0 时,f(x)＜0恒成立,求a的取值范围.

点评例6 中f(x)＜0＝f(0),由端点效应知f′(0)≤0,计算可知f′(0)＝0.由于当x＞0 时,,可以设想必有x0＞0,使f′(x0)＜0,然而f′(x)是连续不断的,因此应当存在区间(0,ε),当x∈(0,ε)时,f′(x)≤0,再一次使用端点效应,有f″(0)≤0,由此得a≤.例6表明:端点效应可连续使用,仔细体味例6 中“矛盾区间”(0,2ln2a)上的反证过程,可以加深对连续使用端点效应的理解.

(完)