求函数值域问题研究

陈晓明

(安徽省宁国中学)

函数的值域是函数概念的三要素之一,用初等方法求函数值域是一个传统的重要课题.求函数的值域也是对函数问题进行进一步研究的基础,在试题中它常常以求函数的最值、求参数的取值范围以及恒成立问题等形式进行考查.因为求函数值域方法的灵活多变,所以学生在此类问题中经常出错.因此,笔者认为有必要对求函数值域问题进行进一步的研究,让学生抓住此类问题的本质、掌握解决此类问题的通性通法,从而更好地进行备考.

1 确定函数值域的原则

由函数的不同表示方法,可得到下列不同的原则.

1)当函数y＝f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中y的值的集合.

2)当函数y＝f(x)用图像给出时,函数的值域是指图像在y轴上的投影对应的y的值的集合.

3)当函数y＝f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定.

4)当函数由实际问题给出时,函数的值域应结合问题的实际意义确定.

2 基本初等函数的值域

要求解一些复杂函数的值域,首先要清楚基本初等函数的值域.

1)一次函数f(x)＝kx＋b(x∈R,k≠0)的值域为R.

4)指数函数f(x)＝ax(x∈R,a＞0且a≠1)的值域为(0,＋∞).

5)对数函数f(x)＝logax(x＞0,a＞0且a≠1)的值域为R.

3 求函数值域的方法

3.1 转化与化归思想

例1求下列函数的值域.

那天田铭在大早上的雪地里遇见趴车的女孩就是范青青，范青青就此和他认识并迅速决定追他，说是因为他长得帅个子高，心还善良。田铭不屑，一个人能这么快忘记上段感情，只能说明这样的女孩不可信，薄情。

因此该函数的值域为(－1,1].

推广运用类似解法可求函数0)的值域(通过换元可转化为反比例函数的值域问题).

(3)令t＝8－2x－x2＝9－(x－1)2∈(0,9],则y＝log3t,因此该函数的值域为(－∞,2].

因此该函数的值域为(－∞,1].

推广运用类似解法可求函数y＝ax＋b±的值域(通过换元可转化为二次函数值域问题).

点评本例主要通过“换元”使问题得以解决,即通过引入“中间变量t”,将问题分解为基本初等函数的值域,实现由复杂到简单、由高级到低级的转化与化归,形式和途径可能不同,但思想层面本质一致,关键是使学生感受转化与化归思想.特别提醒,利用换元法解题一定要注意换元后新元的取值范围.

图1

f(x)的值域表示直线z＝m＋n经过椭圆弧上的点时在纵轴(即n轴)上的截距的最值问题.平移直线m＋n＝0,当直线经过椭圆弧上短轴上的顶点它在纵轴(即n轴)上的截距的最小,最小截距为所以.平移直线m＋n＝0,当直线与椭圆弧相切于点C时,令直线方程为m＋n＝z,它在纵轴(n轴)上的截距最大,最大截距为z,把n＝－m＋z代入椭圆方程并整理得

点评借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路、预测结果.

3.2 函数与方程思想

点评本例所求函数的值域通常用所谓的“逆求法”“有界性法”“判别式法”等求解,其本质就是视函数关系式为关于x的方程,分析方程有解时,y必须满足的条件,从而得到函数的值域.

3.3 函数的性质

3.4 数形结合思想

例5求下列函数的值域:

解析该函数为分段函数,其图像如图2 所示,由图像易知该函数的值域为(－∞,2].

图2

例6求函数y＝x2－4x＋6(x∈[1,4])的值域.

解析(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2,其图像如图3所示,由图像易知该函数的值域为[2,6].

图3

点评我国数学家华罗庚说“数缺形时少直观,形少数时难入微.”“数”与“形”是同一数学对象的两种不同的表现形式,用“形”的眼光重新审视数学问题的代数推理演算过程与结果,有助于解读出“数”的几何意义,找到问题的几何背景,从而认清数学问题的本质.

3.5 基本不等式

例7求函数y＝log3x＋logx3－1(x∈(0,1))的值域.

综上,求函数值域的方法较多,如果从数学思想的高度审视有关解法,抓住问题的本质,淡化技巧和方法,回到源头,高屋建瓴,将会有助于学生从整体上把握问题,形成合理的知识结构,从而以不变应万变.

(完)