“数学运算”小初衔接教学探索

摘要：基于教学内容分析，对“数学运算”小初衔接教学提出建议：注重算理和算法的比较，沟通各种运算之间的联系；运用运算定律和运算性质，铺垫从“数”到“式”的变化；追溯数与运算知识的源头，体会运算思维的发展性；加强针对性的专项训练，提高运算能力。

关键词：小初衔接；数学教学；数学运算；运算思维

一、 教学内容分析

运算是数学的核心内容之一，贯穿于各个阶段的数学学习中。从小学到初中，数学运算的有关内容有两大显著变化：一是数的范围从自然数、正小数、正分数扩充到有理数、实数领域，数的运算也相应地在加、减、乘、除的基础上引入了乘方、开方，实现了由局部到“全局”（实际上是更大的局部）的跨越；二是运算对象从“数”扩充到“式”，即从算术运算过渡到代数运算，实现了由具体到抽象、由特殊到一般的跨越。具体的变化关系（衔接内容）如下：

关于有理数的运算，小学阶段学习自然数、正小数、正分数的四则运算，分为加减、乘除两级；初中阶段学习有理数（包括负数）的加、减、乘、除、乘方、开方运算，分为三级，一般包括确定符号、进行计算两个步骤。

关于运算律和运算性质，小学阶段学习加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，还学习减法的性质、除法的性质等；初中阶段数系扩充后，运算律和运算性质依然适用，但灵活运用的要求更高。

关于代数式的运算，小学阶段学习用字母表示运算律和数量关系，以及简单的代数求值；学习倍数关系和因数关系、公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数；还学习从长方形的面积公式推导出正方形、平行四边形等平面图形的面积公式。初中阶段学习合并同类项和去括号的法则，简单的整式加法和减法运算，简单的整式乘法运算；学习因式关系、公因式、提取公因式，以及因式分解；学习分式的约分、通分，简单的分式加、减、乘、除运算；还学习由面积公式推导出乘法公式。

二、 衔接教学建议

上述变化会让刚踏入初中的大多数学生感到很不适应，因此，教师需要做好“数学运算”的小初衔接教学。总的来看，从小学到初中，虽然数学运算的内容以及形式都有很大变化，但是本质上的运算思維是一脉相承的。著名数学教育家弗赖登塔尔指出：运算的本质是计数，好的方法都强调计数。［1］运算思维是指为了更好地计数，在理解算理、应用算法的过程中产生的一系列类比、迁移、归纳、演绎、联想、想象等思维活动。因此，从运算思维出发，突破外在的表象，探索运算的本质，是做好“数学运算”小初衔接教学的基本思路。具体地，需要做好以下几点：

（一） 注重算理和算法的比较，沟通各种运算之间的联系

算理决定算法。无论小学还是初中，各种运算的基本算理是一脉相通的。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出：数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。［2］因此，我们在教学中，应注意引导学生比较算理和算法的共性和差异，沟通各种运算之间的联系，形成对运算的整体认识。

例如，在“数的运算”的复习教学中，教师出示如下题组：① 278+1436=；② 37.3+9.92＝；③ 3/4-1/6＝。对此，学生在正确计算方面应该不存在困难。教师要重点引导学生通过练习分别复习整数、小数、分数加（减）法的计算法则。这三种运算表面上看有比较大的差异：整数加（减）法要求末位对齐；小数加（减）法要求小数点对齐；分数加（减）法强调通分（分母统一）。教师可以继续引导学生从表面走向深入：实质

上，三个计算法则不是相互割裂的，它们的核心都是相同计数单位方可直接相加（减）。如此，返回算理进行解释，将整数、小数、分数加（减）法的计算法则统一起来，突出本质，更有利于知识的理解和保持。

在学生认识到“数的加减运算就是‘基本单位相同的情况下，‘基本单位个数的加减运算”的基础上，可以顺势拓展。比如2x+6x，“基本单位”是x，就是2个x加6个x等于8个x，即8x；再如7ab-3ab，“基本单位”是ab，就是7个ab减3个ab等于4个ab，即4ab；还如3/m+2/m，“基本单位”是1/m，就是3个1/m加2个1/m等于5个1/m，即5m。如此尝试运用“基本单位”的方法来进行含有字母的式子的加减运算，学生进入初中以后，通过类比便能很快掌握和理解式的运算，特别是合并同类项。

此外，小学阶段的计算教学，大多通过生活情境引入。如整数四则混合运算，就是通过模拟购物，先分步，再综合，最后得出运算顺序。这样的编排符合小学生的年龄特征，也利于他们通过现实情境理解先乘除再加减的运算顺序。进入初中以后，引入了乘方和开方运算，由二级运算拓展到三级运算。因此教学中，可以结合情境向学生说明：从运算的发展来看，加减法是最基本的运算，乘法是相同加数连加的简便运算，除法则是相同减数递减的简便运算（也是乘法的逆运算），乘除法比加减法高一级，因此“先乘除再加减”既是解决实际问题的需要，也是基于运算意义的规定；而乘方可以看作乘法的简便运算，开方则是乘方的逆运算，因此乘方、开方是更高一级的运算，要优先计算，这是由运算的意义以及运算之间的关系决定的。这样，就便于学生循序渐进地理解和掌握三级运算的意义、关系以及顺序。

（二） 运用运算定律和运算性质，铺垫从“数”到“式”的变化

小学阶段的运算主要是数的运算，通常需要从运算的意义出发，分析算理、得到算法，程序操作、得到结果。而初中阶段的运算主要是代数式（整式、分式、有理式、根式等）的运算，更抽象，更一般，更凸显数学本质，更适合解决问题，通常需要基于普遍成立的运算律、运算性质进行，是一种变形，而无具体结果。正如项武义先生所说的：代数学的基本思想就是有效、有系统地运用普遍成立的运算律（运算性质）去解答多种多样的代数问题。［3］因此，要做好小初衔接教学，就要加强运算律和运算性质及其运用的教学，并做适当拓展。

例如，代数式的合并同类项运算（变形）其实就是“根据乘法分配律把同类项合并成一项”。小学高年级的教学中，可以安排这样的练习：如图1所示，求这个场地的总面积。对此，可以采取两种方法计算，即15a+15a+15a+ab=45a+ab=（45+b）a与（15+15+15+b）a=（45+b）a，从而渗透运用乘法分配律合并同类项的基本方法。

其实，在小学低年级，学生也经常会做这

样的练习：6个3加4个3等于10个3，6个3减4个3等于2个3……这正是乘法分配律归结为乘法运算意义的具体化算理解释。进而，在小学阶段，还可加强运用乘法分配律进行简便运算的各种变式练习，如：4.44×3.3+2.22×3.4=（2.22×2）×3.3+2.22×3.4=2.22×6.6+2.22×3.4=2.22×10=22.2，333×222÷666=（3×111）×（2×111）÷（6×111）=（3×2×111）×111÷（6×111）=（6×111）×111÷（6×111）=111。由此，让学生通过找相同的“数”（项），体会“合并”的数学思想；借助“数”的运算，体会“式”的运算，从而感悟“数式相通”的道理。

此外，新课标虽然将“方程”的学习完全放在了初中，但是并没有削弱小学阶段代数思维的培养。这主要表现为提升了“用字母表示数”的要求，将其设置在“数量关系”主题下。［4］小初衔接教学中，教师需要注意引导学生用字母表示稍复杂的数量关系，体会其一般性，从而为初中学习代数式及其运算（变形）打好基础。一方面，对具有一般性的数量关系，如运算律、计算公式、常见数量关系等，要注意突出字母表示；另一方面，对一些具体情境中的数量关系，如“爸爸的年龄是儿子的4倍，妈妈比儿子大26岁”，也要让学生尝试用字母来表示——设儿子今年a岁，则爸爸今年4a岁，妈妈今年（a+26）岁。

（三） 追溯数与运算知识的源头，体会运算思维的发展性

从自然数开始，每扩充一次数的集合都是为了满足某种运算的需要。［5］数与运算关系密切，相关知识是交叉递进发展（螺旋上升）的。因此，在小初衔接教学中，要梳理整体观念，注意引导学生回到数与运算知识的源头去思考问题，主动对接小学与初中知识体系，体会运算思维的发展性。

例如，苏教版小学数学五年级上册《用字母表示数》单元中表示正方形的面积公式时，提到了“平方”的概念：“a×a可以写成a·a，也可以写成a2。a2读作a的平方。”六年级上册《长方体和正方体》单元中提到了“立方”的概念：“a·a·a也可以写成a3，读作a的立方。”而苏科版初中数学七年级上册《有理数》单元对“有理数的乘方”进行了系统的教学，并指出：“特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。”这就沟通了前后知识的联系，明确了“平方”和“立方”實质都是“求相同因数的积的运算”。

实际上，小学学习“平方”和“立方”主要是了解它们的意义、读法和写法，以及作为计量单位（如m2、cm3）的表示方式和含义；初中学习“乘方”则作为一种运算直接参与有理数的混合运算。对此，在小初衔接教学中，我们可以加强以下几个方面的指导：

首先，让学生在对比中理解a2和a3的意义，如a2=a×a表示2个a相乘，与2a=a+a表示2个a相加，在“形”与“意”方面相通。

其次，适当安排简单的乘方运算，如32=3×3=9，43=4×4×4=64……在运算中，强调让学生写出过程，即几个几相乘，以加深对乘方意义的理解。除了求整数的乘方之外，还可以安排小数和分数的乘方运算，如0.1 2=0.1×0.1=0.01，0.23=0.2×0.2×0.2=0.008，（2/3）2=2/3×2/3=4/9……

再次，渗透含有乘方的混合运算的运算顺序。对比初中和小学的混合运算，不同之处是初中增加了乘方运算的优先权。含有乘方的混合运算虽然是七年级的全新内容，但是在小学阶段其实也有所涉及。例如，圆的面积计算公式S=πr2，圆柱的体积计算公式V=πr2h。教师可以强调类似含有“平方”的式子需要优先计算，并安排一些计算练习让学生体会，如32-23，82-14，8+22等。需要注意的是，含有乘方的混合运算，除了乘方运算之外，其他运算以一步为宜。

最后，在六年级总复习阶段，复习到“平方”和“立方”的知识时，也可以适当拓展，如：10×10写作102，10×10×10写作103，那么10×10×10×10可以写作怎样的形式呢？让学生以找规律的形式合情推理，为后续学习科学计数法（乃至其他进制进率的表示方法）做好铺垫。

此外，在知识衔接的过程中，还要抓住“变与不变”的辩证关系进行渗透，这是思维发展（学习迁移）的基本特征——无论类比、归纳、演绎还是联想思维，都蕴含着变与不变的要素。比如，从正数加法到正、负数的加法（或正数的加、减法），要注意使用交换律（不变）时，不能忘记带上符号（变），如5.2-216+2.8-56不能错误地变为5.2-2.8+216-56。再如，从因数分解到因式分解，注意体会质数、一次式的基础性以及试商思想、待定系数法的普适性。

（四） 加强针对性的专项训练，提高运算能力

大部分学生会在七年级学习有理数的相关运算时遇到困难，错误不断。因为这时的运算相比于小学，不仅增加了负数（涉及相关的运算法则），而且混合程度较高，步骤较多，同时会出现假分数和带分数。因此，在小初衔接教学中，可以适当增加一些针对性的专项训练，以积累经验，发展数感，巩固基本的计算方法，提高学生的运算能力，提升计算的熟练度和准确率。

首先，加强分数与小数的互化训练。如，对12=0.5、14=0.25、34=0.75、15=0.2、25=0.4、35=0.6、45=0.8、18=0.125、38=0.375、58=0.625、78=0.875、110=0.1、120=0.05、140=0.025、150=0.02等常用的分数与小数的互化，应熟记过关。

其次，加强分数与小数的专项运算训练，如13+0.5、0.4-14、13×0.3、14÷0.2等，提高学生算法多样化和优化的意识。当然，分数和小数的混合运算，重点是提高熟练度，步骤不宜过多。

再次，加强带分数与假分数的互化训练，如94=214、323=113等。同时，可以进行简单的含有带分数的加减运算，如214+12、413-123等；还可补充一些简单的含有带分数的乘除运算，如225×112、54÷214等。

最后，适当增加混合运算的步骤，提高学生计算的熟练度。如：48÷74÷12×134=48×47×112×74=4；2.25+5.1+14-418-910=2.25+5.1+0.25-4.125-0.9=2.575……

参考文献：

［1］ 王永.数学化的视界——小学“数与代数”的教与学［M］.北京：北京师范大学出版社，2013：24.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：26.

［3］ 项武义.基础代数学［M］.北京：人民教育出版社，2004：2.

［4］ 吕世虎，颜飞.新课标“数与代数”内容分析：从结构到要求［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（11）：12.

［5］ 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2013：3.

（陆椿，江苏省苏州市虎丘教育集团金阊新城实验小学校。苏州市优秀教育工作者，苏州市教科研先进个人，姑苏教育青年拔尖人才。）