几类药物依赖的常微分方程模型

郭树敏　李儒风

摘 要：药物依赖是一类影响人的认知、行为和生理的病症。近年来，药物依赖，特别是阿片类药物滥用问题日益严重，患病人数不断增加，遏制此类疾病的发展已经刻不容缓。数学建模是研究控制传染病的有效方法之一，主要介绍了几类常见药物依赖的常微分方程模型以及所得结论在疾病传播控制中的应用。

关键词：药物依赖；数学建模；疾病控制；常微分方程

药物依赖俗称药物成瘾，是指药物与人体机能相互作用，使人体发生生理以及形态变化，产生连续性的定期用药需求，一旦停止用药就会产生生理上和心理上的不适反应。目前，会让人产生依赖的常见药物可分为7类：（1）酒精-巴比妥类，包括乙醇、巴比妥类及其他催眠药和镇静药；（2）苯丙胺类，包括苯丙胺、右苯丙胺、甲基苯丙胺等；（3）阿片类，包括阿片和吗啡等；（4）可卡因，包括可卡因和古柯叶；（5）致幻剂，包括麦司卡林和裸盖菇素等；（6）挥发性化合物，包括丙酮、四氯化碳和其他溶媒；（7）烟碱，包括烟草和鼻烟。药物依赖危害人类身体健康，会损害神经系统和内分泌系统，导致人类产生烦躁、抑郁情绪，甚至精神错乱；也会损害人体的免疫力和其他脏器。许多药品能通过胎盘进入胎儿体内，损害胎儿健康，严重的会引起流产。近年来，药物依赖，特别是阿片类药物依赖的患病者数量越来越多。面对如此严峻的形势，亟待找到更有效的药物依赖控制手段。数学建模作为防控传染病的有效手段，在以往大型传染病暴发时都发挥了重要的作用。药物依赖的过程也能用数学建模的方式进行模拟，根据建立的符合其传播特性的微分方程模型，能揭示其流传规律，找到控制其扩散发展的方法。

1 模型

1.1  SI及SIV模型

SI及SIV模型把药物依赖当成一类普通传染病处理，形式也较为简单。其中，SI模型不考虑外在控制措施的影响，将人群分为两类—易感者S和药物依赖者I，疾病发生率也采用较为简单的线性发生率αSI，建立的常微分方程模型如下[1]：

通过分析方程的奇点和数值模拟得出，当患病者数量超越临界值时，患病人数会不断增长，形成流行趋势；当患病者数量低于临界值时，患病人数会缓慢减少，最终趋于零。除了上述基本模型，修正过的模型更接近实际情况[1]：

该模型增加了γSI2项，表示政府的宣传以及控制行动减少了患病者数量，εI项表示患病人数增多时易感者的人数也会增长。由得出的基本再生数表达式能分析出控制药物依赖的关键因素，从而有效控制患病者数量。还有一些具有饱和发生率的模型被讨论过[2]，将人群分为易感者S、患病者I和治疗者V，所建立的模型为：

该模型考虑了治疗和治疗又复发的情况，通过数学分析得到了基本再生数，并进行了数值模拟，所得结论可以反映患病人群数量增长的关键因素。

1.2  SU1U2模型

SU1U2模型将人群分为3类，包含易感者S、未接受治疗的药物依赖者U1和接受治疗的药物依赖者U2，建立的模型为：

该模型分析出了平衡点的全局稳定性以及基本再生数，并讨论引入了随机扰动模型，这样更符合药物滥用的现实环境。随机模型的解围绕振荡变化，振荡幅度与噪声强度成正比，且当白噪声的强度较小时，随机模型持续存在[3]。在此基础上改良的模型为[4]：

此模型将发生率改为更符合实际情况的标准发生率，且考虑部分患病者自主治疗转化为易感者，接受治疗后也有部分患病者转化为易感者，通过讨论得到了基本再生数，证明了模型平衡点的稳定性。还有模型把患病者治疗的过程也记为标准发生率形式，模型如下[5]：

用特征方程理论证明了平衡点的稳定性，结论说明预防患病者出现优于治疗已患病者，更能有效地遏制药物依赖，强制患病者治疗对减少患病者的数量没有太大帮助。模型分析结果还取得了一些有重要意义的参数，有助于找到更有效的药物依赖治疗和预防方法。

还有一些模型应用了更复杂的传染率形式，更贴合药物依赖的实际情况，例如以下模型[6]：

该模型假设易感者两次接触药物就会变为药物依赖者，一旦患病，未经治疗不能康复，这种假设更符合实际情况。该模型有复杂的动力学性态，出现了不稳定的极限环和分支，说明在一定条件下，成瘾药物的流行会出现周期性变化。这些复杂的动力学结论说明控制药物依赖比想象中更加困难。

1.3  SPHT模型

除了生理因素，药物依赖还和个人性格特征、心理易感性有关，很多药物不但会让人产生生理依赖，还会使人产生更强的心理依赖。因此，在建立与之相关的模型时，将总人群分為4类—易感者S、心理依赖者P、生理依赖者H以及治疗中的患病者T，模型为：

该模型假设心理依赖者和生理依赖者对易感者具有相同的传染率，且心理依赖者治疗后不会复发，生理依赖者治疗后还有一定的复发概率。通过对模型进行数学分析，得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部、全局稳定性，还分析了重要参数的灵敏性[7]。还有与之类似的模型：

该模型假设易感者S可能会产生药物依赖，轻度依赖者P会有部分转化为重度依赖者H，部分会自主治疗转化为易感者，只有重度依赖者会成为治疗者T，治疗成功后会转化为轻度依赖者，同样也有一定复发概率[8]。通过对模型的求解和分析得到结论：药物依赖者越早接受治疗越能有效减少患病者数量。

还有一类模型结构与上述模型类似[9]，只是在人群分类上有所不同，共分为4类—易感者S、阿片类药物使用者P、药物依赖者A以及治疗者R，模型为：

模型中阿片类药物使用者并没有成瘾，但其中有一部分人按照一定比例用药就会上瘾，还有部分人是由于接触了药物依赖者而患病。依赖者通过治疗可以变为易感者，还有部分人会复发。未成瘾的阿片类药物使用者可以通过自我调节变为易感者。通过分析和数值模拟得出，控制成瘾者数量的关键是降低阿片类药物使用者成瘾的比例，因此，密切关注药物使用者、控制用药量，以防药物成瘾十分必要。

1.4  n維模型

有一类模型结构较为复杂，模型的维数一般较高，例如下面的模型[10]，把人群分为6类—不接受健康教育的易感者S、接受健康教育的易感者C、轻度药物依赖者L、重度药物依赖者H、治疗者T和永久康复者R，模型为：

模型中假设接受了健康教育的个体会拒绝服用易成瘾药物，自觉地避免与药物依赖者接触，从而降低有效接触率，更有部分人会永久远离成瘾药物。轻度药物依赖者和重度药物依赖者中都会有部分人接受治疗，经过治疗部分人会永久康复，重度药物依赖者中会有人复发。通过分析得到了系统的基本再生数，并证明了平衡点的全局渐近稳定性。由此得知家庭教育和公共卫生教育对药物依赖模型动态的影响，灵敏性分析表明，这两者都会影响药物依赖的传播。通过数值模拟画图分析可知，加大宣传力度、增强人们的防范意识有助于控制药物依赖的传播。

还有维数更高的复杂模型[11]，考虑了药物依赖者多次复发的问题。在治疗过程中，一个人可能会康复或复发。因此，建立了一个阶段进展模型：

模型中，易感者为S、初始药物依赖者为Ud、n次在门诊接受治疗者为、n次治疗失败者为、治疗半途放弃者为Q。分析结果表明，从长远来看，没有参加康复治疗的复发药物依赖者是药物依赖者数量增加的主要原因。因此，预防药物依赖者复发会对其流行泛滥产生重大影响。

2 结语

数学建模对传染病控制具有积极作用，通过分析能更好地掌握疾病传播规律，预测其发展趋势，为控制疾病传播提供有效的措施和手段。药物依赖作为一类特殊的传染病，对人类的健康和社会的安定产生了威胁，了解其发展规律、找到遏制药物依赖者数量进一步增加的方法具有重要意义。总结了几类常见的药物依赖常微分方程模型以及由此得出的有效防止疾病扩散的方法。除了常微分方程，还有时滞微分方程和偏微分方程等其他类别的方程被运用到该模型上，鉴于篇幅有限，并未对此类模型进行总结分析。

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[10]LI J，MA M.The analysis of a drug transmission model with family education and public health education[J].Infectious Disease Modelling，2018（3）：74-84.

[11]MUSHANYU J，NYABADZA F，MUCHATIBAYA G，et al.Modelling multiple relapses in drug epidemics[J].Ricerche Di Matematica，2016（1）：37-63.