让学生在结构化教学中感悟运算的一致性*——以“分数除以整数”教学为例

阳海林

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）指出，课程内容的组织重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。数学课程的结构化特征，在内容设计上体现了整体性、一致性和阶段性。内容结构化为教师引导学生从整体上深刻理解主题的内容和方法，促进学生核心素养的发展提供了条件。在教学活动中，教师要充分考虑学科的核心概念，从体现核心概念的关键内容入手，促进学生理解学科本质，逐步发展核心素养。

关键内容是指能更好地体现所学内容的学科本质和核心概念的内容，其中蕴含着相关的核心素养。学生对关键内容的深刻理解可以促进其对数与运算内容本质的理解，有助于其沟通知识之间的联系，深刻感悟运算一致性。“分数除法”是“数与运算”主题的关键内容。下面，本文以“分数除法”单元中“分数除以整数”的教学为例，来谈谈如何通过设计关键内容和教学方式，沟通“分数除以整数”与“一个数除以分数”之间的联系，促进学生在结构化的学习中理解算理、掌握算法，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。

一、厘清核心概念，明确关键内容

核心概念有助于学生更好地理解和强化更多的知识与方法，并将其运用于新场景的学习之中。数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，与算理直接相关的核心概念是“计数单位的‘累加’（这里的‘累加’可以扩展至减少（减法）、连续累加（乘法）、连续减少（除法））”。数与运算的结合不仅能促进学生理解算理、掌握算法，也有助于学生从运算的角度进一步理解数的意义，有利于学生数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养的发展。

“分数除法”单元的核心内容是分数除法的算理理解和算法掌握。分数除法的算理和算法与整数除法有着密切的关系，需要追溯到整数除法运算的含义的教学，教师教学时有必要唤醒学生这方面的经验，特别是对核心概念“计数单位个数‘累加’”的运用。学生对分数度量意义的理解对于其理解分数除法的算理而言至关重要，教师教学时应注意采用恰当的方式引导学生运用分数的度量意义理解算理。

分析“分数除法”单元的相关知识内容可知，“分数除以整数”可以作为“分数除法”单元的关键内容，它直指分数除法运算，学生直接要解决的问题是被除数是分数时怎样计算，可借助这个问题理解分数除法的算理和算法。

学生要真正理解算理并掌握基本算法，需要逐步达成以下四个层次的目标：一是能理解数的结构以及算式的意义；二是能有自己的计算方法并说明理由；三是能理解不同的方法，且能够对不同的方法进行比较；四是能在表征、比较的基础上提炼通法。基于此，学生理解分数除以整数算理的表现为：第一，能够结合具体情境，根据等分除的含义列出分数除以整数的算式，同时能够画图表征分数“部分与整体”以及分数的“度量意义”；第二，能结合图形表征，自主探索分数除以整数的算法，除以一个整数相当于求它的几分之几是多少或者是把几个分数单位平均分成几份；第三，在不同方法的对比中，理解每一种运算的方法，为提炼通法做好铺垫。“分数除法”的一般算法需要在学习“分数除以分数”之后再提炼，因此，对“分数除以整数”的算理的理解只需达到上述第三个层次的目标即可。

二、学的结构化的路径设计

学的结构化是指要对学生的学习内容做结构化的分析和设计，从而使其更好地习得数学学习的方法论，形成思维结构。如此，教师不仅需要厘清单元、课时内容的纵横关联，还需以学生的数学学习经验为起点，将新知、未知纳入已知模式。以人教版教材为例，“分数除以整数”的例题有两个小题，第一小题是：“把一张纸的平均分成2 份，每份是这张纸的几分之几？”第二小题是：“如果把这张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？”教材引入“分数除以整数”的模型是“等分除”；表征形式包含程序表征、直观表征、抽象表征。

为了更好地了解学生的学习起点，笔者组织学生进行了前测。以第一小题为例，有50%的学生用分子与除数直接相除的方法来解决，，并能说出理由“表示4 个，把4 个平均分成2 份，每份是2 个，即”。有35%的学生想到用来解决，在解释道理时，一部分学生知道“除以一个数等于乘它的倒数”，但难以进一步解释“除以一个数为什么等于乘它的倒数”；还有一部分学生能结合除法运算的含义和分数乘法的意义来解释“把平均分成2 份，求每份是多少，就相当于求的是多少”。从单元整体教学的视角来分析，用乘法来解决“一个数除以分数”时，学生很难结合情境解释这样算的道理；而用分子与除数直接相除的方法，在不同的情境中都适用，且更能体现运算的一致性——“计数单位的连续减少”。只是这种方法在分子不能整除整数时需要先通分，把被除数的分子变成可以除尽除数（或除数的分子）。这样也更能说明分数除以整数的例题中需要出现的情况，从而让学生感受到，在不同情境中需要自主运用已有的知识经验和方法来进行探索和迁移，这能使他们不仅明白怎么算，还能理解这样算的道理。

基于以上分析，学生在学习分数除以整数时的路径如下：首先，在等分除的情境中列出除法算式，并能解释除法算式和分数表示的含义（特别是分数度量的含义）；其次，结合已有的知识经验自主探索分数除以整数的方法，并结合图和文字解释这样算的道理；再次，在分子不能整除除数的情况下，进一步思考可以把被除数变成大小相同且能整除的分数再除；最后，通过梳理和对比不同的算法，理解在计算分数除以整数时可以运用以前学过的知识来解决，并为后续学习一个数除以分数奠定基础。

三、教的结构化的策略设计

教的结构化是指教师以结构化的方式表达自己对教学的思考，建构“从一节课到一类课”的整体教学框架，引导学生结构化地思考。

1.创设情境，提供探索空间

情境的创设要考虑充分激活学生的已有认知，为学生提供自主探索的广阔空间。从教学内容分析和学情前测来看，在创设分数除以整数的情境时，“等分除”的模型既能帮助学生解释“”，又有助于其解释“4 个平均分成2 份，每份是2 个”。另外，情境中“一张纸的”更有助于学生想到用“面积模型”来直观表征计算的方法和道理。因此，教学时可以采用人教版教材中“等分除”的情境——“把一张纸的平均分成2 份，每份是这张纸的几分之几？”

2.精心组织，聚焦核心问题

教师精心设计教学，把学生零散的、个别化的思考关联起来，能促进学生结构化地思考。教学任务一“把一张纸的平均分成2 份，每份是这张纸的几分之几？”时，当学生通过独立思考呈现计算过程和表征方式以后，应该选择不同层次的作品，按照一定的顺序组织学生讨论，引导学生读懂每一种计算方法。例如，首先呈现用分子直接除以除数的方法“”，引导学生迁移运用分数乘整数的方法，同时结合图解释计算的道理，这更易于学生理解，能让更多学生卷入学习；然后呈现把除法转化为乘法的方法“”，这种方法侧重于解释“除以2为什么等于”，让学生关注这样算的道理和意义。在任务一的讨论中，只要学生能解释清楚计算的过程和道理即可，不需要他们去做方法的概括和优化。教学任务二“如果把这张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？”时，则要关注学生遇到分子4不能除尽3时是如何思考的。在教学反馈时，要先反馈不能平均分成3 份，怎么办？通过讨论，学生会发现：可以把的方法，然后组织学生讨论：4 个化成与之大小相同的，12 个平均分成3 份，每份是4 个，即。同时，这里需要追问学生：为什么要把化成？一方面，让学生理解，根据分数的基本性质，分子与分母同时乘3，分数大小不变；另一方面，分子变成12 就可以除尽3 了。因为有“异分母分数加减法先通分后计算”的经验，学生对于这种“先通分再除”的方法也较容易理解，且这种方法也是他们自主探究一个数除以分数时的重要方法，所以需要教师在学生自主探究遇到挑战时，及时把握学情，设计关键问题，引导学生通过讨论达成共识。

3.多元表征，实现方法迁移

借助多元表征，有助于学生清晰、准确地解释计算的道理。比如，教学任务一时，在学生列出算式“”后，教师追问：这里的=表示什么意思？让学生结合情境解释是把一张纸的平均分成2 份，从而把现实情境转化为符号表征。还有教师在解释的道理时，让学生结合直观图解释“表示什么意思”“分子4÷2 表示什么意思”“结果表示什么意思”。这些关键问题的追问，能让学生把图示表征和符号表征联系起来，既能使他们理解计算的道理，又能为其探究算法提供更多思路。另外，在解释的算法时，教师同样让学生把在图中表示出来，以便于让更多学生看到，把变成，分数大小没变，但分数单位发生了变化，使其深刻感悟运算的一致性，充分积累感性经验。

4.目标导向，注重知识生长

“分数除法”通法的算法和算理，需要学生学完分数除以分数以后再进行对比、概括与提炼。因此，在“分数除以整数”的教学中，不需要过早地进行方法的对比和优化，只要为一个数除以分数的学习做好探索算法和理解算理的经验积累即可。比如，在研究学习时，学生结合已有的知识难以解释；但发现可以通过“通分”把它们的分母变成15，然后计算，即。这种“先通分再除”的方法既是在分数除以整数的方法上生长出来的，又能帮助学生认识到分数除法的计算方法和算理与整数除法的计算方法和算理的一致性。更重要的是，学生的这种认识是在自主探索的过程中发现的，是自主生成的，是自动习得的。