回归课本“建构学材”，规律问题重视推理

李庾南 刘东升

【摘 要】期末复习期间，不少学校备课组会摘选一些往年期末试卷中的高频问题来开展专题复习。以规律问题的复习为例，在复习教学时教师应把目光投向整册教材，围绕课本中的规律问题素材钻研专题复习课，基于七年级学生的认知能力，培养学生的代数推理能力。

【关键词】初中数学；学材再建构；规律问题；代数推理

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）29-0027-04

【作者简介】1.李庾南，江苏省南通市启秀中学（江苏南通，226006）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师；2.刘东升，江苏省南通市教育科学研究院（江苏南通，226007）教研员，高级教师。

在初中各学期的期末复习阶段，各校数学备课组都会有计划地进行两轮复习，其中第一轮复习更加侧重对前期所学知识块或单元的回顾梳理，并兼顾教材上的典型例题和练习题。在第二轮的专题复习课中，一些学校备课组习惯选编一些各地试卷中的热点考题，带领学生进行复习备考训练，或者围绕某种解题思想方法进行专题复习，此阶段的复习常常是“离开教材搞专题复习”。可见，专题复习课怎样回归教材开展“学材再建构”仍是一个值得深入研究的课题。

在李庾南实验学校第七届优秀课评比活动中，主办方选取了人教版数学七年级上的“规律问题”作为比赛课题，参赛教师的“同课异构”引发了我们对七年级规律问题教学的深入思考。现以人教版教材七年级规律问题专题复习课的教学设计为例，说明如何回归课本，重构学材，开展初中数学专题复习课，提高学生的代数推理能力。

一、“规律问题”专题复习课教学设计

1.活动1：从“直线交点个数”的规律出发

师：同学们，今天我们一起来复习七年级上册教材中的“规律问题”。同学们刚刚学过第四章“几何图形初步”，现在老师挑选这一章中的一道规律习题，检查同学们的学习情况。

问题1（教材习题）：两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？（见图1）

生：图中图形的交点个数依次为0，1，3，6，…，第n个图形的交点个数是[n（n-1）2]。

师：相邻两数相加，依次可得1，4，9，…，这个数列也是有规律的。同学们能在网格纸中用小正方形的个数来表达这组数的规律吗？（教师组织学生利用网格纸画图，并投影展示图2）

师：请同学们看看图2，思考这两个问题。（1）第④个图形比第③个图形多         个小正方形；（2）第n个图形比第（n-1）图形多         个小正方形（用含n的式子表示）。

【设计意图】“活动1”中的图1、图2分别选自七上教材第4章“几何图形初步”、第2章“整式的加减”，体现了基于课本的“学材再建构”。此外，从图1到图2中的数列规律也有一定的联系，并且展现了数形对应的本质，有助于发展学生的几何直观素养。

2.活动2：日历中的规律问题

師：在图2中有很多“小正方形”，现在我们用田字格方框框住日历中的4个日期，再来看看“问题2”。

问题2：图3是2022年12月的日历，观察田字格方框中的4个数，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？

生：方框中处于“对角线”上的两数之和相等。设方框左上角的数为x，另外三个数分别为x+1，x+7，x+8，可以算出处于“对角线”上的数之和都为2x+8。

师：将田字格方框适当移动，框出的4个数之和能否等于56？

生：可以列一元一次方程2（2x+8）=56，解得x=10。

师：现在我们把结果还原到图片中验证，我们发现“10”在日历表的最右边的一列，故框出的4个数之和不能等于56。所以这时只靠列方程得出的答案是不符合实际的。

【设计意图】“活动2”的学材改编自课本第3章“一元一次方程”，主要训练学生构建一元一次方程模型解决实际问题的能力。学生想要解决这个生活问题，需要经历从实际问题（抽象）→数学问题（一元一次方程）→解决数学问题（解方程）→回到实际问题的背景进行检验取舍→得到实际问题的解（解决实际问题）。

3.活动3：“三行数”的规律问题

师：我们通过问题2研究了小正方形个数的问题，现在我们将平面图形转化为立体图形，请同学们观察图4中的正方体个数，思考第n组正方体的个数。

生：第n组正方体的个数是3n。

师：非常好，现在请同学们看一看问题3。

问题3：观察下面三组数：（1）-3，9，-27，81，-243，…；（2）0，12，-24，84，-240，…；（3）-1，3，-9，27，-81，…。

师：第（1）组数按什么规律排列？第（2）（3）组数与第（1）组数分别有什么关系？取每行第n个数，计算这三个数的和（用含n的式子表示）。

【设计意图】第（1）（2）问仍然是发现规律，第（3）问在前两问基础上，三个数的和为（-3）n+［（-3）n+3］+（-3）n÷3。“活动3”改编自课本第1章“有理数”的一道例题，限于七年级上学期学生的运算水平，学生还不具有计算同底数幂的复杂运算能力。在教学时，教师可根据学生学情进行调整，暂不要求他们进一步化简这三个数的和。

如果学情较好、教学时间允许，教师可利用PPT继续出示拓展问题（如图5）：

学生发现这些四位数中4个数字之和都是3的倍数之后，可进一步提出以下猜想：设一个四位数abcd，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除。

针对本拓展教学，教师可安排学生独立证明“猜想”，并在教室巡视，发现有学生证明成功后，邀请学生上台讲解证明思路。

4.活动4：课堂小结

小结问题1：本课中哪道规律问题给你留下了较深的印象？举例说说。

小结问题2：你在解决规律问题时，有哪些解题经验或出错经历？可结合具体的习题交流。

小结问题3：请同学们课后认真研究课本，对课本中出现过的规律问题归类整理。

【设计意图】在课堂的最后环节，教师引入三个“小结问题”，引导学生开展专题复习课的解后回顾。前两个小结问题主要针对本课复习内容展开，“小结问题3”则启发学生学会复习、归类，这也是促进学生围绕某个专题深度思考的学法指导。

二、教学立意的进一步阐释

1.专题复习要回归课本开展“学材再建构”

专题复习课是期末复习阶段的一种常见课型，一般由教师选定某个专题或主题之后选编出一些例题和练習题，再将其分成几个题组进行训练。在专题复习课教学时，教师应先将目光投向教材，围绕主题针对复习范围内教材各章节内容进行全面检索，对符合主题要求的习题或素材进行“学材再建构”。以上文“规律问题”复习课为例，我们先对人教版七年级上册数学教材的各章内容进行了全面检索，找出大量有关“规律”的习题或素材后，再筛选出各章典型的规律问题，根据问题的难易程度、前后关联度分组并“排序”。基于“预设”要大于“生成”的考虑，选题、改编或拓展的教学内容应尽量丰富一些，但是有些变式或拓展问题在具体教学时应根据学情“相机”取舍。

需要指出的是，围绕教材内容进行的习题改编或拓展还要重视“内容效度”。比如在一次函数的单元复习时，教师以一次函数y=x+1的图象（直线y=x+1）为背景，设计出诸如“求该直线与坐标轴围成三角形的重心的坐标”“原点O到直线y=x+1的距离”“设点P在直线y=x+1上，A（2，0），当△POA的面积为5时，求点P的坐标”等问题，从这类变式问题的解题步骤来看，很多关键步骤与一次函数的图象和性质关联甚微，作为一次函数单元复习的选题与变式。上述“变式”从命题或测量学视角来看，“内容效度”不高。

2.规律问题的教学要重视代数推理的训练

规律问题作为一类高频问题是贯穿于小学、中学不同阶段的，而且有些规律问题的情境或背景在不同学段都会出现，教学要求也体现出明显的学段特征。具体到初中阶段，当学生具备了解释或证明的数学认知能力时，便可安排其进行推理证明。当然，考虑到上文课例中主要关注七年级上学期的规律问题复习，把握好规律问题证明教学的“度”非常关键。在初中，证明应该作为学生数学经验的基本组成部分，这些经验可能对学生理解证明起到进一步深化和拓展的作用。上文课例“活动3”中，我们改编了七年教材第1章“有理数”的一道例题，并提出“拓展问题”——“四位数能被3整除吗”。这道代数推理题的原型出自《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的“案例66”，学生在小学阶段已接触过该题型，所以初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中形成推理能力、培养科学精神。

3.精心预设过渡语追求“平滑转场”效果

专题复习课离不开题组练习，不同题组的训练功能并不相同。为了做好不同题组之间的过渡或衔接，在不同题组出示之前应预设简要的过渡语，以达到不同教学环节之间的“平滑转场”。上文复习课例中，我们在3个“活动”前都预设了不同的“过渡语”，让即将研究的规律问题的出示不要过于突然，尽可能让学生感到规律问题是自然而然地产生的。与通过精心预设的“过渡语”可以达到“平滑转场”的效果相比，各个教学活动之间的前后呼应更应值得教师在课前预设时“苦心经营”。比如，不少教师在组织八年级“变量与函数”（第1课）教学时，开课阶段都会选用“某城市一日温度变化图”“汽车匀速行驶”“一根长为2cm的铁丝围成长方形”等生活现实来引出“变量”“常量”，进一步分析、抽象、概括出函数的概念。但是在后续例题讲评、习题训练的环节，又出现很多不同的生活现实背景，让学生巩固训练所学概念。笔者认为，在巩固训练阶段，教师可以引导学生“回看”开课阶段的几种生活现实背景，安排学生从函数的角度进行分析研究，或者围绕开课阶段的几类生活现实进行变式设问、拓展提问。这样的教学让同类的问题背景或生活现实相关联，串联不同教学环节，再辅以简要的“过渡语”（如“同学们，让我们再回看开课时的匀速行驶问题”），可以带领学生更快理解题意，让学生思维聚焦在开课阶段就熟悉的问题背景，避免出现“一题接一题”“每题背景都不一样”的“刷题式”教学现象。

【参考文献】

［1］李庾南，冯卫东.学材再建构 在结构中教与学［J］.数学通报，2018，57（8）：17-22，30.

［2］斯蒂利亚努，布兰顿，克努特.证明的教学：从幼儿园到大学的视角［M］.周超，鲍建生，译.上海：上海教育出版社，2015.

［3］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.