整体认知：数学核心知识建构的有效策略*——以四下“三角形的认识”教学为例

魏光明

在日常教学中，有些教师不注重课程内容的整体观照和分析，不去从整体上把握所教知识包含的数学事实、符号概念、方法策略、思维逻辑和价值观念，以及知识之间特别是起点知识与后续知识之间的内在联系，这样可能会导致学生所学的知识停留在对符号事实的识记与提取层面且前后割裂，难以体悟知识的多维价值和学科本质，无法形成合理的认知结构和科学的认知图式，更谈不上通过具体知识的学习来发展相关的核心素养。

众所周知，完整的、结构化的知识才更有力量。从这个意义上来说，核心知识的教学应该重视整体设计探究体验活动，引导学生多向打开，在发现、提出、分析和解决问题的过程中完整习得数学知识和技能，充分体悟数学思想和方法，逐步形成思考框架和学习策略，慢慢积淀操作和思维经验，完善知识体系和认知结构，并为后续知识学习预留衔接的通道。

“三角形的认识”是“图形与几何”领域的起点型核心知识。虽然三角形是最简单的多边形，但其自身具有众多有价值的特征和性质，而且由三角形的组合与运动可以得到更复杂的多边形和立体图形。因此，“三角形的认识”可为后续“图形与几何”内容的学习打下基础。教学“三角形的认识”时，教师要注意引导学生通过观察想象、抽象表征、操作实验、比较辨析，整体认识三角形及其特征、性质，了解三角形各要素之间的联系，学会整体性思考；呈现丰富的变式，打通概念与表征、技能与方法之间的联系，同时适当连接和提示后续相关知识，帮助学生准确领悟三角形的本质，初步感悟起点型核心知识的价值；结合具体内容的展开过程，引导学生联系生活，感悟三角形的应用价值，体验问题解决背后的价值诉求；通过问题探究和质疑思辨，培养学生的理性精神和勇于面对未知的能力，发展其空间观念、几何直观和推理意识。

【教学设计及意图】

一、观察操作，建立三角形的概念

1.经历三角形的抽象过程

（1）谈话引入：在日常生活中，人们常常将日用品、玩具、建筑、工业设备等设计成不同的形状。从这些物体的某一个面看，可以看到长方形、正方形、三角形或者圆。

（2）观察互动。要求学生独立观察后同桌交流，再引导聚焦。

呈现任务1：（出示几张含有三角形的实物图）你能从这些实物图中找到三角形吗？

追问：在哪些物体的面上也能找到三角形？

（3）学生描图。要求学生从图中选择一个三角形，并把它描出来。

（4）尝试画图。要求学生借助工具，每人画出一个三角形。

2.感知三角形的基本要素

（1）引导比较。呈现学生画出的若干个三角形，要求学生观察、比较它们的不同点和相同点，再根据学生的汇报交流，相机揭示三角形的三个基本要素：这些三角形的边有长有短，角有大有小，形状不同，大小不同，但是它们都有3条边、3个角、3个顶点。

（2）学生指认。要求学生分别指出自己所画三角形的3个顶点、3条边、3个角。

3.理解三角形的概念内涵。

（1）判断说理：下面（如图1）哪些是三角形，哪些不是三角形？为什么？

（图1）

教师根据学生的发言，相机强调：三角形的边是线段（直的）、首尾相接、封闭。

（2）揭示概念。教师先画出一个三角形，在三个顶点处分别标注字母A、B、C，（如图2）再进行讲解。

（图2）

师（沿着线段AB、BC、CA 指一周）：三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。

师：上面的三角形可以表示为“三角形ABC”。

数学概念是构成数学课程内容的骨架。小学阶段的数学概念总是与客观事物相联系的，它是人脑对客观事物共同属性抽象的产物。认识三角形，本质上是对三角形共同属性的抽象，其教学不能停留在要求学生整体识别三角形的层面，不能停留在让学生知晓“三角形”这个概念名称的层面，不能停留在把三角形画出来即是对三角形概念表征的层面，也不能停留在通过直接下定义的方法揭示概念的层面。基于这样的思考，教学伊始，教师就引导学生从整体上认识三角形：首先，引导学生用数学的眼光观察实物图中丰富多样的客观现象，通过找一找、描一描、画一画，根据实际物体的形状抽象出三角形，用抽象出的三角形来表达现实世界中实际物体的形状；接着，引导学生比较若干个三角形的相同点，从中感悟、了解三角形的基本要素，学会从要素分析的视角认识三角形；在此基础上，引导学生判断指定图形是不是三角形，帮助学生在丰富的变式辨析中形成清晰、正确的三角形表象，再借助下定义的方法揭示三角形的概念，促使学生感悟三角形的内涵与外延。

二、探究比较，感悟三角形的特性

1.引导猜测

学生独立思考、同桌讨论后，组织交流互动。

师：我们刚才认识了三角形，知道三角形有3 个顶点、3 条边、3 个角，但是三角形的形状和大小有可能不同。想一想，你觉得三角形的形状和大小可能与什么有关？

根据学生的汇报交流，板书三种猜想（预设）：①三角形的形状和大小可能与边的长短有关；②三角形的形状和大小可能与顶点的位置有关；③三角形的形状和大小可能与角的大小有关。

2.探究验证

（1）呈现任务。明确探究任务，提供最基本的操作材料。

让学生想办法创造出两个形状、大小完全一样的三角形：①想一想。怎样才能创造出两个形状、大小完全一样的三角形？②试一试。可以画一画，也可以搭一搭。先试着做一做，再想办法验证。③说一说。和小组里的同学说一说你是怎样做的。

提供材料：三角尺、方格图（或点子图）、扣条（4 组，每组3 根同样长，任意两组的长度不同）、直尺、圆规等。

（2）学生探究。学生先独立思考，选择材料进行尝试，再在小组里交流。

（3）展示交流。学生按照不同做法分别进行展示，小组其他同学进行补充。

预设1：用同一个三角尺画两次，画出两个完全一样的三角形。

在交流中明确两种验证方法：①用三角尺分别和两个三角形重叠在一起比较，就能看出两个三角形完全一样；②把两个三角形剪下来重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样。

预设2：从3 组扣条中各选2 根，搭建出两个完全一样的三角形。

在交流中明确验证方法和新的发现：①把两个三角形重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样；②有些扣条无法搭成三角形。

预设3：在方格图上先确定3组位置对应的点，再分别连成一个三角形。

在交流中明确三种验证方法：①把两个三角形剪下来重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样；②把第一个三角形剪下来，和第二个三角形重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样；③先剪一个与第一个三角形完全一样的三角形，再和画出的第二个三角形重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样。

预设4：先在方格图上确定三个点，画出一个三角形，再通过平移画出第二个完全一样的三角形。

在交流中明确验证或说理的方法：①把第一个三角形剪下来，和第二个三角形重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样；②平移前后的两个图形只是位置发生了变化，它们的形状和大小不变，所以，平移前后的两个三角形完全一样。

预设5：用直尺和圆规画出两个完全一样的三角形。

在交流中明确两种验证方法：①把一个三角形剪下来，和第二个三角形重叠在一起比较，发现两个三角形完全一样；②这两个三角形的三条边分别相等，所以，这两个三角形完全一样。

（4）突破难点。引导学生用直尺和圆规画三角形，并说一说操作步骤。

师（指着用扣条围成的三角形）：如果把三根扣条换成三条线段，你能用直尺和圆规画出两个完全一样的三角形吗？如果能，怎么画？先和同学讨论一下，再试着画一画。

在学生展示、汇报的基础上，引导学生总结用直尺和圆规画两个完全一样的三角形的步骤：①先用直尺画一条射线（或直线），再用圆规在上面截取和第一条线段同样长的线段AB；②把圆规的两脚打开和第二条线段同样长，再把一只脚固定在线段左边的A 点上，画一条（弧）线；③把圆规的两脚打开和第三条线段同样长，再把一只脚固定在线段右边的B 点上，画一条（弧）线，和第二步画的（弧）线相交于C点；④分别连接AC、BC，画出第一个三角形；⑤用同样的方法，从任意一条边开始，画出第二个三角形。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调对教学内容进行结构化整合，其中一个有效的做法，就是以“研究对象+”的框架将与主题相关的知识和方法构成一个整体。南京大学郑毓信教授在《新数学教育哲学》一书中指出：“数学对象的建构事实上是一种整体性的建构活动。”从这个意义来说，隶属于“图形的认识与测量”主题的“三角形的认识”的教学，一方面要引导学生认识三角形的形状，了解和掌握三角形的特征、性质和关系，感悟三角形的大小，为后续学习三角形的测量预留通道；另一方面，小学阶段“图形与几何”的内容主要属于经验几何、实验几何的范畴，实验操作是学习相关知识最基本的方式之一。教学时，我们可以借鉴先前认识长方形和正方形等内容的研究框架，围绕“三角形的形状和大小可能与什么有关”“怎样才能创造出两个形状、大小完全一样的三角形”这两个核心问题，引导学生从边、角和顶点等三个方面向四面八方打开思路，提出与之相关的猜想，并将尺规作图方法融入其中，通过操作验证猜想，或通过图形平移的特点进行简单说理，使其学会用整体的眼光、联系的观点去分析问题，进而沟通旧知与新知、表征与概念、程序与方法之间的多向联系，进一步整体感知和认识三角形。

3.讨论聚焦

根据学生先前的汇报，教师引导学生聚焦几个重点问题展开思考与质疑，并适时予以点拨、讲解。

问题1：三条边能不能确定一个三角形？

师：我们用扣条搭两个完全一样的三角形，或者用直尺和圆规画两个完全一样的三角形，这两个三角形三条对应边的长度有什么特点？

师：反过来想一想，如果确定了三角形三条边的长度，无论是用扣条去搭，还是用直尺和圆规去画，得出的三角形有什么特点？

在讨论、交流的基础上，指出：确定了三角形三条边的长度，就确定了三角形的形状和大小。这样的三角形是唯一的，具有稳定性。这是三角形的一个重要性质。

追问：在刚才的活动中，任意选择三根扣条，都一定能搭成一个三角形吗？

根据学生的发言指出：并不是任意长度的三条线段都能围成一个三角形。这个问题我们将会在后面的学习中继续进行研究。

问题2：三个顶点能不能确定一个三角形？

师：我们在方格图上先确定3 组对应的点，或者在方格图上先确定三个点，再进行平移，得出的两个三角形完全一样。这说明，确定了三角形的什么的位置，就可以确定三角形的形状和大小？

在讨论、交流的基础上，指出：确定了三角形三个顶点的位置（不在同一条直线上），三角形就是唯一的，具有稳定性。

师：你能用前面学过的知识解释一下，为什么确定了三角形三个顶点的位置，就可以确定三角形的形状和大小吗？先自己想一想，再和同桌讨论一下。

在讨论、交流的基础上，指出：两点可以确定一条线段。确定了三角形三个顶点的位置，也就确定了三条边的长度，所以可以确定三角形的形状和大小。

小结：学会从一些事实出发推出结论，利用已有的知识解释结论，是一种良好的习惯和重要的能力。

问题3：三个角能不能确定一个三角形？

师：为什么用同一个三角尺画出的两个三角形形状和大小是确定的？你能解释一下吗？

根据学生的汇报交流，呈现三种观点：

①同一个三角尺画出的两个三角形，可以看成确定了三条对应边的长度，所以就确定了三角形的形状和大小。

②同一个三角尺画出的两个三角形，可以看成确定了三个顶点的位置，所以可以确定三角形的形状和大小。

③同一个三角尺画出的两个三角形，还可以看成确定了三个对应角的大小，也可以确定三角形的形状和大小。

师：前两种说法直接运用刚学的知识来解释，相信大家没有疑问。对于第三种说法，你们同意吗？

在交流、质疑、争论的基础上，指出：老师用的大三角尺和同学们用的小三角尺，三个对应角的大小是相等的，画出的两个三角形虽然形状相同，但是大小不相等。

师：看来，确定了三角形三个角的大小，只能确定三角形的形状，不能确定它的大小。这个问题我们到六年级和初中还将进一步研究。

知识学习是素养发展的载体。数学知识的学习不仅包括事实识别、概念理解、技能习得，还应该通过方法领悟、问题解决、观念澄清，在整体感知的基础上促进学生的思维进阶和素养发展。本环节教学，聚焦几个关键问题，引导学生根据基本的数学事实“两点之间只有一条线段”“等量的等量相等”，以及已有的知识经验，通过分析、比较、推理、评价、质疑等活动，印证了影响三角形形状和大小的有关因素，主动对自己或他人的观点作出合理的解释与说明，从数学的角度初步感悟三角形的稳定性：确定了三角形三条边的长度或者三个顶点的位置，就能确定三角形的形状和大小，此时的三角形是唯一的，领悟三角形的稳定性这一重要性质；确定了三角形三个角的大小，只能确定三角形的形状，并不能确定三角形的大小，此时的三角形不是唯一的。这样教学，有助于学生形成用数学的思维思考现实世界的能力，增强理性精神和敢于面对未知的勇气，发展空间观念、几何直观和推理意识，同时有机渗透所学知识与三角形三边关系（并不是任意长度的三条线段都能围成一个三角形）、三角形全等和相似等后续知识的联系，以发挥起点型核心知识的奠基、生发和启示作用。

三、联系生活，了解三角形的应用

1.教师介绍

回应开头，出示课始情境的实物图进行讲解。

师：在生活中，许多物体上都有三角形的结构。这是因为三角形具有稳定性，也就是当一个三角形三条边的长度确定，或者三个顶点的位置确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变。

师：你还见过哪些物体上有三角形的结构？

2.迁移应用

师：教室里的一把椅子有一条腿摇晃了，你能运用今天学习的知识和方法让这条腿不再摇晃吗？

3.拓展延伸

师（出示图3）：实验室有一块三角形玻璃被打碎了一部分，商店能根据剩下的这部分配一块和原来一模一样的玻璃吗？

（图3）

师：我们知道，确定了三角形三个角的大小，只能确定三角形的形状，不能确定它的大小。如果确定了三角形两个角的大小和一条边的长度，能确定三角形的形状和大小吗？

数学承载着思想和文化，与现实生活紧密相连，具有重要的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。在教学中，要让学生真正体会到现实生活与今天所认识的三角形之间的联系，不仅要引导学生学会用数学的眼光观察现实世界，从客观现象中发现三角形的结构，抽象出三角形；学会用数学的思维思考现实世界，揭示三角形的本质属性及其与相关知识的关联，建立起三角形与现实世界之间的逻辑联系；还要引导他们学会用数学的语言表达现实世界，构建三角形模型，有意识地利用三角形的性质解决实际问题，感悟问题背后的数学原理，体会三角形的应用价值，并产生新的猜想，获得新的结论，从另一个视角进一步整体认识三角形。我们应该认识到，从三条边的长度、三个顶点的位置、三个角的大小等方面研究三角形的稳定性，只是这一个阶段的探究过程结束了，后续还将从这里出发，探索与图形的放大和缩小以及初中的全等和相似有关的结论，从而建构更加广泛的联结，沟通未知世界与已知世界的联系。从这个角度来说，我们要增进学生的整体感知，引导学生主动反思和拓展联结，将所学知识和方法迁移到新的情境中，解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题，强化生活和数学的双向转换，支持学生持续探索和深度思考，有效发展学生的核心素养。