结构化视角下的小学数学教材研读*——以“分数除法”为例

殷美琴 申 苗

从目前的小学数学教材及教学现状来看，由于各知识领域的内容分散编排、各自呈现，教师教学也大多依据教材上的内容分课时展开，从而导致学生难以将知识点关联成一个整体的知识结构。基于《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）对课程内容结构化的要求，在结构化视角下对小学数学教材进行研读，教师既要以整体、联系的思维把握课程内容的知识结构，从单元整体的视角对教材内容进行统整与梳理，又要站在学生的立场分析新课标对课程内容结构化教学的目标要求与教材之间的落差，促进学生迁移学科知识与方法，构建有结构的、完整的认知系统，从而培养他们的结构化思维和系统化思维。

一、明确课标要求，把握课程内容

1.对数运算一致性的要求

新课标十分强调数运算教学的整体性和一致性，明确指出“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。史宁中教授也提出，在“数与代数”中要注意两个一致性：乘法和除法运算的一致性；整数、分数和小数加减运算的一致性。因此，分数除法的教学内容要紧扣“一致性”这条主线，前后贯通，既要整体把握课程内容学习要求，还要考虑整体的“一致性”，以促进学生形成和发展学科关键能力。

2.对分数除法运算的要求

“分数除法”是第三学段的内容，新课标中相对应的目标要求是：能进行简单的分数除法运算，感悟数运算的一致性；形成符号意识、运算能力和推理意识。内容要求指出：能进行分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。学业要求指出：能进行简单分数的四则运算和混合运算，并说明运算过程。数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，与算理直接相关的核心概念是计数单位，本质都是计数单位之间的计算。

二、基于教材编排，明晰关键内容

1.“分数除法”在教材中的地位

“分数除法”是“数与运算”主题的关键内容，其统筹了四则运算的所有内容（如图1），既是分数乘法的延伸，也是整数除法运算的扩展，还是比、百分数等知识的基础，其中蕴含多种核心素养。学生主要学习与理解“分数除法”的本质：可以按照整数除法的算理和算法进行运算，即在计数单位相同的前提下进行个数的均分，构建分数除法与整数除法的关联，理解分数除法与整数除法的一致性；同时，体会所有的除法运算本质上都是乘法运算，感受乘法、除法运算的一致性。

（图1）

2.“分数除法”在不同版本教材中的编排

研究不同版本的教材，有助于教师从不同视角把握相关知识点的本质和内容结构。对比人教版和苏教版两个版本教材的单元目标，可以发现，其重点都是让学生在理解分数除法意义的基础上，理解和掌握分数除法的算理和算法。它们都是把分数除法分为分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数等几种不同的类型，每种类型通过图示直观解释算式意义的计算结果，计算方法则是从观察一组除法转化为乘法的例子中归纳得出的。

对于“分数除以整数”的算理和算法，两个版本的教材都呈现了两种算法：一种是等分除，利用计数单位说理；一种是包含除，根据分数乘法的意义来思考。等分除不能解释分数除以分数，而包含除虽然能解释，但也只是解释了除法算式的意义，无法解释分数除法的算理，不能突出计数单位对于算理理解的意义。

对于“除数是分数的除法”，两个版本教材的编排层次都不太明显，计数单位的价值难以凸显。人教版教材呈现同一个路程情境，分别从整数和分数除以非分数单位的分数入手，根据这两个例子总结出“除以一个不为0 的数，等于乘上这个分数的倒数”，而就路程情境而言，学生是较难理解的；苏教版教材则从整数除以分数单位、整数除以非分数单位、同分母分数相除入手。两个版本的教材均根据特例总结出“除以一个不为0 的数，等于乘这个分数的倒数”，然后对该总结进行推广应用，整体探究上缺乏对除数是一般分数类型的研究，而把从特例中发现、验证得到的计算方法推广为一般分数除法的运算法则。这个推理过程属于不完全归纳，没有体现分数除法通法通则的推导过程，给学生的知识建构留下了思维“缝隙”。可见，两个版本的教材都没有把统一的算理贯彻其中，忽略了计数单位在计算方法探索过程中的作用，不利于学生感悟数的运算在本质上的一致性，显然与新课标对分数除法运算的要求有一定落差。

三、站在学生立场，审视教材安排

结构化视角下的教材研读必须关注学生的认知和思维发展水平，需要教师站在学生的视角研读教材，以学生的眼光看待教材内容的呈现，分析学生学习时存在的思维障碍，立足学生的认知基础对教材内容进行合理编排，以便学生更好地形成知识结构及数学学习方法论。

笔者所在学校使用的是人教版教材，曾在六年级下学期对学生进行了一次“分数除法”的教学评估，形式为纸笔测试，以分析学生对分数除法算理的理解和算法的掌握情况。后测题目为：计算，为什么可以写成，你能用文字、算式或画图的方式说说你的想法吗？从后测分析（如表1）来看，学生对分数除法的算理理解并不到位，40%的学生仅仅知道除以一个数等于乘这个数的倒数的算法，对计数单位在运算过程中的价值难以体会。

表1 “分数除法”后测分析反馈表

基于以上分析，根据新课标对分数除法运算一致性的要求，笔者认为，教材需进一步突出计数单位解释算理的理解过程，使学生明确分数运算就是在分数单位相同的前提下进行分子的运算，即整数的运算，所有除法运算都可归结为乘法运算。从结构化的视角研读教材，需要思考以下几个问题：（1）有没有产生新的计数单位？（2）新的计数单位是多少？（3）如何找到有多少个新的计数单位？因此，需要对“分数除法”单元进行重构，将“分数除以整数”“除数是分数的除法”进一步细分为“同分母分数相除”“整数除以分数”“异分母分数的除法”，并设计基于真实情境的核心任务，以大任务驱动学生深度思考，从而使其更好地理解分数除法的算理和算法。

四、基于结构化视角，重构教学内容

1.同分母分数相除

“同分母分数相除”的算法能运用到所有分数除法中，其方法具有一般性。笔者教学时以“科技节”为现实背景，设计包含除的任务。在同一个情境下设置两个问题，侧重于运用计数单位解释算法。学生通过画图或文字表征的计算过程，发现同分母分数相除等于两个分数的分子相除，即理解相同分数单位下的个数相除可得到结果，把分数除法与整数除法相联系，体现数运算的一致性。

【任务一】学校举行科技节，给各班发了一些彩带，用于制作海报，501 班用了米，502 班用了米，503班用了米。（1）501班用的彩带是502 班用的彩带的几倍？（2）501 班用的彩带是503班用的彩带的几倍？

要求：（1）列式计算；（2）请通过画图或文字表示你的计算过程和想法。

2.整数除以分数

“整数除以分数”依然以“科技节”为现实背景，设计包含除的任务。任务二是整数除以分数单位，任务三没有具体的情境，学生首先需要理解整数除以分数的含义，再用文字或画图的方式表征计算的过程，理解整数除以分数要把整数化成和除数分母相同的分数再相除，把被除数与除数的计数单位统一，进一步感受分数除法运算的本质是相同计数单位个数的均分，从而更好地体会数的运算在本质上的一致性。

【任务二】在科技节的开幕式上，需要先将场地进行消毒，工作人员将2 升的消毒液分瓶装，每升倒满一瓶，可以倒满几瓶？

要求：（1）列式计算；（2）请通过画图或文字表示你的计算过程和想法。

要求：（1）这个算式表示什么意思？（2）请通过画图或文字表示你的计算过程和想法。

3.异分母分数的除法

任务四没有情境；任务五则继续以“科技节”为现实背景，设计包含除的任务——。学生需要先理解分数除法的含义，借助直观或文字的形式理解算理，理解分母不同时可以先通分成同分母的分数再相除，即。计数单位不同时，可以利用通分使被除数、除数的计数单位一致，这样就可以直接使用计数单位的个数相除，促进学生深入理解算理，从而实现与分数加减法运算的统一。

随着字母的出现，直观表征难度增加，从而引出形式表征，通过演绎推理得出：分数除以分数，就是将除数的分子、分母颠倒后，再和被除数相乘，可以用表示。在此过程中，学生不仅能通过推理感受一个非零数除以一个分数等于乘这个分数的倒数，体会任意分数除法的算法均可转化为分数乘法进行计算，而分数乘法运算与整数、小数乘法运算又保持了一致性，还能探究多角度解释乘倒数的算法，在沟通通法与其他算法的关联中归纳分数除法的计算法则。

要求：（1）这个算式表示什么意思？（2）请通过画图或文字表示你的计算过程和想法。

要求：（1）列出算式；（2）请试着推理出计算的结果。

综上所述，从新课标对学科知识的本质要求和学生的思维发展水平出发，深入了解课程知识结构，站在整体、联系、发展的视角研读教材，打通知识关联，着力让零散的知识建立结构化的联系，从而架构适切的教学路径，将有助于学生构建具有生长力的认知体系，形成更好的知识结构及数学学习方法论，从而促进其核心素养的形成与发展。