小学数学学与教的结构化：内涵、价值与途径*

陈六一

课程内容的结构化是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）的基本理念，也是其相对于《义务教育数学课程标准（2011 年版）》的主要变化之一。于是，以“结构化”为关键词的教学实践与理论探讨，成了近来的教育热词。笔者认为，我们需要思考如下问题：第一，结构化是要从纯数学的角度对待具体的数学结构吗？尽管强调结构化体现在将具有一致性学科本质特征的内容整合成一个主题，有助于学生整体把握和理解数学，但波及全球的“新数运动”已经给了我们足够的教训，即这条路径已经超越了小学生的学习程度。第二，结构化是要将学生的认知建构视同课程内容的结构化吗？尽管学生有无限可能，但“最近发展区”理论启示我们，教必须跑到学的前面，因为一个人难以独自学习处在“最近发展区”的系列知识。更何况，从学科发展史可见，数学是按照一定的秩序与内部联系，对已经积累的经验、知识进行归类、整理或加工，组合成的一个有机逻辑体系。可以这样说，学生要洞见数字，就需要教师的示范、启发、指导、点拨。因此，笔者从学的结构化与教的结构化两个维度重新理解教学，以期通过教的结构化更好地促进学的结构化，从而让学生更好地理解数学，感受数学思维是理解世界的一种重要方式，进而发展学生的核心素养。

一、学的结构化的内涵与价值

学的结构化是指要对学生的学习内容作结构化的分析和设计，从而促进学生形成更好的思维结构，习得数学学习的方法论，这既是为了回应新课标中内容的结构化要求，也是对学习理论的实践性反思。

1.变革学习方式

学的结构化首先是针对内容结构在学习形式上的分析。当下的基本教学流程是：问题（聚焦某一个知识点）→解题（一种方式主要是教师讲解，一种方式主要是少部分学生讲解）→练习（基础练习、变式练习、拓展练习）。反思上述教学流程，由于其具有孤立性与碎片化的特点，使得课时学习仿佛永远都在解决全新的问题，连续的内容学习却不能产生连贯的整体认知；纵然后续有大量的练习加以串联，学生通过熟能生巧也许会举一反三，但也有可能熟能生“笨”，从而丧失学习的热情；另外，还会在教师与优秀生介入的共识与大量练习中，失却面对复杂问题尝试举三反一的能力。

为此，笔者试图革新针对内容学习的课堂进程：问题（开展基于内容单元与素养目标的问题任务群活动）→回溯与唤醒（引导学生进行个性化表达与多元表征，唤醒其已有学习经验）→识别与归类（识别模式、辨析比较）→自反抽象（让概念回到背景意义）。当学生发现每天解决的问题只是“数学树”上的一根枝条，即数学结构上的一个结点或者结点与结点之间的一条“链”，学生便能悟出今天的所学与昨天的所学之间有所关联，并能想象出未来相关所学。如此，每一次新学便可以退回到旧知之中，或者改造旧知的局限。于是，唤醒学生过往的学习经历便能作为他们新知学习的支架，继而在对数学内容变与不变、静与动的观察、操作、协商、争论、建构、变构过程中，将数学经历凝练为数学经验，进而指导其未来的自学行为。

为了让形式上的变化能促进学生的数学理解，还要对学科本质进行分析，如“数与运算”的教学，就要引导学生“感悟数概念本质上的一致性”“体会数的运算本质上的一致性”。当然，学科本质不可能通过一节课（甚至不可能通过一个自然单元、一个年级）的学习就能感悟到，我们要在本质的统领下，分侧面、分层级地引导学生以长时间的数学学习通达数学的理想状态。同时，每一个单元、每一个课时的学习都要分析单元、课时内容的纵向关联，找到所学知识所处的位置。另外，还要分析单元、课时内容的横向关联，以学生的数学经验、数学学习经验为基点，将新知、未知纳入已知模式，或者暂时不能解决问题，但是可以思考可能抵达问题解决的路径。如图1所示的“分数除法”的学习，其中的椭圆内容指向纵向结构，即内容本身的前后关联；方形内容指向横向结构，即数学学习经验的关联。

图1 “分数除法”学习内容的纵横结构

2.设计学习路径

如果说上述分析试图在启迪学生思考什么是数学、数学有什么用、数学为什么是今天这个样子。教学则要引导学生学会思考怎样才能更好地学习数学、怎样在学习中更好地培养理性思维。如“分数除法”的学习，课程目标指向运算能力素养培育。目标对应的学业质量标准是：能进行简单的分数除法运算，感悟运算的一致性，形成数感和运算能力。具体来说，就是要做到以下几点：明晰分数除法运算的对象，知道为何用分数除法进行运算，理解分数除法可以用被除数乘除数的倒数来计算这一算法和算理之间的联系；会选择合理简洁的运算策略，有基于自己思维经验的问题解决方法；形成规范化的思考，养成求实的科学态度。

其教学目标的实现过程，几乎可以看作学习沿阶而行的路径。也就是说，一旦厘定了教学内容所承载的素养目标，我们便可以将目标细化，同时赋予其可以量化的质量描述，再以此设计教学程序。继续以“分数除法”为例，为了实现前面所描述的目标与质量要求，课堂可以分三步走，在多个课时的连续学习中实现目标。第一步学习“分数除以整数”；第二步学习“整数除以分数”，含“整数除以几分之一”“整数除以几分之几”；第三步学习“分数除以分数”，如图2 所示。需要注意的是，在第一步的学习伊始，学生依据情境能够发现，分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数讲述着相同的数学故事，只是解决问题时数字不同而已；辨析不同的解释，学生能够发现，尽管每一步都有不同的解题方法，但每一种解题方法都能在乘除法之间建立联系。

图2 “分数除法”的学习路径

二、教的结构化的内涵与价值

教的结构化是指教师以结构化的方式表达自己对教学的思考，建构“从一节课到一类课”的整体教学设计框架。具体而言，即对于数与运算的教学、数量关系的教学、图形的认识与测量的教学等，都能在框架下进行教学思考。毕竟每一个主题的学习都不是一节课就能完成的，每一个结构也不是靠教师的告知学生就能掌握的。

继续以“分数除法”的教学为例，在分数范围内理解除法的意义应该是这几节课的教学起点，等分模型和包含除模型分别对应理解分数除法的两种思考过程，估算是运算教学不可分割的一部分。这样的教学经验当然来自整数除法、小数除法的课堂，由此就构成了运算教学的基本样态。具体展开来讲，可以从以下四个方面来建构“分数除法”的教学框架。

其一，使用情境任务。有关分数的情境问题有助于加深学生对分数的理解，形成他们自己的解题方法。问题情境不需要太复杂，但必须是学生熟悉的，符合分数在日常生活中的实际运用情况。如用千克、米等为单位进行测量，用语中含有二分之一、四分之一、八分之一这样的分数，而非三分之一、五分之一这样的人为刻意规定。

其二，运用多种模型探索。面积、长度和集合模型可以从不同角度刻画分数，帮助学生深入理解分数除法的意义。特别要强调的是，模型既要与情境建立联系，也要与除法运算相关联。

其四，讨论计算过程中遇到的挑战。学生会在新的学习中运用他们已经掌握的知识，如除法运算的意义在整数与分数范围内相同，看似迁移促进了分数除法的学习，但它们的计算过程不同，也就意味着用整数知识来解决分数除法问题会导致困惑。教师应该把常见的误解呈现给学生，并组织学生讨论：为什么有些方法可以直接推广，有些方法却会导致错误？

由以上“分数除法”教学的结构化分析，其实可以反推数运算教学的基本框架；或者说，关于数的运算在每个学段（乃至每个具体的教学单元）的教学，都可以从如图3 所示的框架中得到启示。

图3 运算教学的基本框架

三、学与教的结构化的实现途径

教的结构化，是为了从一类课上构建学习框架；学的结构化，是将框架变成学生课堂学习的具体过程。因为教学的立足点与落脚点都是学生的学，所以教的结构化与学的结构化是让数学学习成为可能的一体两面，而这无疑考验教师对数学及数学学习的理解。为了让教师的理解更好地支持学生的数学学习，践行教学相长的理念，笔者在实践中探寻出以下几种途径。

1.建立联结

在新知和旧知之间建立联结，可以增进理解。一如学生在学习“分数除法”时，能主动关联图1 中纵向结构的上半部分，这无疑可以促进学生对分数除法的意义、算理、算法的全面理解。当然，教师在课堂中还要鼓励学生根据已有的想法来构建新的想法。如此，想法之间就建立了联结网络，联结越多，理解就越深入。

2.工具探索

工具是指日常生活用品、数学图形以及学具等。工具不仅可以用来解释说明概念，也可以具象地表达数学概念，促进大脑建立起数学思维。还是以“分数除法”的教学为例，比如计算，教师不急着揭示标准算法——“被除数乘除数的倒数”，而是要求学生展示自己个性化的理解，在等待中，学生诞生了很多精彩的想法：（1）把15粒豆子看作“1”，对应20粒，便指6 粒，就是算20 里有几个6，或者20是6 的多少倍，即里有（4×5）个里有（2×3）个÷（2×3）=；（3）把和放到数轴上，将自然数1 平均分成15 份，占有这样的20 份；占有这样的6 份，6 份一数，数出了3 次余下2 份，2 份占6份的……

过分强调标准算法，实际上对学生提高运算能力有负面干扰。学生需要构建自己的解决方案，这些属于自己的方案和标准算法同样有效，而且对学生而言更有意义。另外需要提醒的是，教师告诉学生跟着我来做，是常见的误用工具探索，既不能促进学生思考，也不能帮助学生理解概念。当然，我们也要引导学生关注用不同工具探索所体现的共同数学特征。

3.经历困境

有时候学生想一个人安静地思考问题，但课堂上有些教师总是会“好心”地给予讲解、提醒。虽然教师的初衷是让学生更快地获得答案，然而并不能帮助学生学会思考。正如皮亚杰所指出的：学习者在获取新知时会经历不平衡，通过顺应与同化，让认知重新平衡，正是构建知识结构不可或缺的。因此，教师要引导学生认识到，错误、误解、思虑不周都是学习的机会。例如，学生计算，发现商远远大于被除数，学生陷入了认知困境。教师要注意引导学生理解除数是个单位量，即用来度量。当用来度量1 时，就需要次，由此推理出用小于1 的数度量1，必然要多于1 次。另外，学生经历了分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数的持久“失衡—平衡”状态，能渐渐感悟分数除法不管用包含除还是等分除来解释，分母所表达的都是到底要分成多大的分数单位，反映在算法上就是乘分母；分子表达的是每份是多少，反映在算法上就是除以分子；然后在某个时间节点，突然发现直接用颠倒除数相乘更简单。需要注意的是，教师一定要表扬学生在问题探索过程中的努力和坚持。

当我们通过教的结构化更好地实现了学的结构化，当我们在课堂上以学的结构化帮助学生感悟到学好数学的方法论，教学也就实现了通过例子学会数学思维，通过数学学会思维，具体表现为：学生会发现和提出问题，能尝试运用多种策略、借助直观寻找规律，会在联系中推理，并能理性地表达与交流。