“三读”教材 助推数学知识的建构

【摘 要】数学阅读一般步骤是先“粗读”，知其然；再“细读”，知其所以然；最后“精读”，知何以知其所以然。数学阅读需要问题来引领，让学生带着问题边阅读边思考，在探究问题的过程中不断思考、不断理解、不断深入。

【关键词】数学阅读；三读；平面

阅读是数学学习的一项基本技能，数学阅读能力已经成为高考评价的核心指标，对学生未来的可持续发展具有重要的影响。那么如何开展数学阅读，使数学阅读成为学生学习数学的一种有效途径，本文以此进行探究，以期给大家一些启发。

一、数学阅读，从教材起步

教材是教师教学和学生学习的主要工具，是教与学的桥梁，是知识呈现的途径与载体。经过一轮又一轮的教材改革，当前的数学教材内容日趋丰富，在体现思想性、科学性、时代性、系统性和引领性的同时，融入了大量与生产生活、社会发展、高新科技相关的知识，开辟了数学阅读、数学探究、数学建模等拓展栏目，因此，学生数学阅读能力的培养要从阅读教材开始。

（一）教材提供了丰富的阅读素材

在数学教材中，阅读材料无处不在。一方面，阅读材料大量散布在概念、定理、公式的生成环节中，通常以“情境”的形式呈现；另一方面，阅读材料集中在教材的拓展栏目中，以高中人教A版（2019年版）为例，“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”“文献阅读与数学写作”等四个拓展栏目包含了大量的阅读材料，其中“阅读与思考”与“文献阅读与数学写作”专门为数学阅读量身打造。“阅读与思考”中的内容基本上是高中数学知识的拓展延伸，例如，“中外历史上的方程求解”“中国古代数学家求数列和的方法”“欧几里得《原本》与公理化方法”等，这些材料凝聚着丰富的数学思想方法与数学活动经验，对拓宽学生的知识视野和丰富学生的数学文化素养具有不可替代的作用。“文献阅读与数学写作”在拓宽学生数学文化视野的同时，其实也在发展学生用数学语言表达世界的能力。这些阅读材料不仅对教材内容起到了很好的补充作用，使教材构成了一个完整的知识体系，展示了数学的完整性，而且还为培养学生的阅读能力提供了丰富的素材。

（二）阅读教材促进学生对于数学语言的理解

数学阅读材料通常是利用文字语言、圖形语言、符号语言这三种数学语言，以归纳或演绎的方式来呈现具体的内容，学生能否读懂的关键取决于能否熟练地对这三种语言进行相互转译，从而把抽象的数学表达转化为易于自己理解的形式。数学教材通常是文字和符号的结合，语言精准、严谨，有着较强的逻辑性。在阅读教材中，学生不仅需要仔细研读数学教材，查找相关概念、定理、公式等，而且还需要进行大量的推理、分析和判断，从而实现对文字和符号的深入理解，达成有效的转换，最终提高学生的数学表达能力和语言理解能力。不仅如此，在解决数学问题的过程中，教师还可以通过有针对性的阅读教材来帮助学生提高对于数学语言的转化能力。例如，当学生不理解向量方程[（c-a）][?]（c-b）=k（k[≠]0）的含义时，教师可以先组织学生阅读教材中向量的数量积运算内容，然后借助数量积运算的性质，引导学生把这个向量方程表示为[（c-a）][?]（c-b）=c2-[（a+b）][?]c+[a?b]=（[c-][a+b2]）2-（[a-b2]）2=k，进一步转化为[c-a+b2]=[k+（a-b2）2]；再引导学生联系教材中“向量模的几何意义”，画出方程所表示的图象，那么向量方程所表示的含义就一目了然了。

二、“三读”法阅读教材

苏东坡在《又答王庠书》提出了“每一书皆作数过尽之”的阅读观点，认为书要“三读”，即“粗读”“细读”“精读”［1］。把它引申到数学阅读当中，所谓“粗读”，就是学生粗读一遍教材内容，了解教材内容大意；“细读”，就是要求逐段逐句逐字阅读教材内容，认真钻研教材，能理解并标出教材中的重难点及关键内容；“精读”，就是要求学生在教师讲完该课后进行的再次阅读，认真反复揣摩，对教材内容进行归纳总结，举一反三，触类旁通。下面笔者以“平面”一课为例谈谈对“三读”法的看法。

（一）“粗读”教材，知其然

在教学中，笔者发现有的教师不主张甚至反对学生阅读数学教材，因为如果学生事先已经知道了教材的内容，就会过早地暴露教师的教学设计意图，从而无形中削弱数学课堂教学的“神秘感”。实际上，这种担心是多余的，课前阅读教材不仅能够让学生明白学习的目标，初步感知学习的内容，而且能够让学生积累更多的先前经验。奥苏伯尔曾说过，如果要我将全部教育心理学归纳为一句话的话，那我将一言以蔽之，那就是弄清学生已经知道了什么并据此进行教学［2］。数学建构主义认为，数学学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的主动建构过程。由此可见先前经验就是学生数学认知的起点，也是数学思维的生长点，而阅读恰恰是获取先前经验的重要手段。不仅如此，有些数学内容恰恰需要以数学阅读的方式展开教学。

例如，“平面”这节课是研究立体几何的“空间位置关系”的起始课，其中的“三大基本事实”与“三大推论”是后续进一步研究空间平行与垂直等位置关系，以及求空间角等问题的基础。这节课一般的教学设计如下：教师首先类比平面几何中点、线的定义与性质来引导学生获得平面的定义和性质；然后，介绍用图形语言、符号语言来表示平面；最后，通过借助三角架的稳定性、直尺与桌面的无缝接触、三角尺与桌面相交等生活现象引出三大基本事实与推论。教学实践表明，这样的教学设计能够达成让学生记住并运用这些基本事实与推论的教学目标，但是无法揭示知识之间的逻辑联系与研究空间位置关系的一般路径，无法帮助学生形成结构化的认知体系。

既然“教师教”无法达到预期效果，那么不妨让学生“自己学”。当然，数学阅读并不是简单的放手让学生自己去阅读，而是以问题为引领进行阅读。

问题1-1 平面有什么特征？

问题1-2 如何表示一个平面？

问题1-3 三大基本事实是什么？有什么用？

问题1-4 确定一个平面有哪些方法？

这些问题指向的都是陈述性知识，旨在引导学生初步感知教材，形成对数学概念、表示方法、定理性质的初步认识，学生只需要初步浏览教材，就能获得现成的答案。

虽然在上述问题的引领下，学生经历了“粗读”教材的过程，对教材内容有了感性认识，比如，知道了平面的“平”和“无限延展”的特性，知道可以用图形语言与符号语言来表示平面，能够复述三大基本事实与推论，但要把感性认识上升为理性刻画，还需要经历同化与顺应的过程，促使学生把这些知识纳入自己的认知结构中，因此还需要再次“细读”教材。

（二）“细读”教材，知其所以然

“细读”教材有三层含义：一是阅读要聚焦于细微处，尤其是教材中的关键字词，以及难以理解、容易混淆的地方；二是细心，慢慢读，仔细体会其中的内涵；三是思维要细密，数学阅读不仅是从背景、数据等材料中获取信息的心理过程，还是对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等思维过程［3］。相对于“粗读”，“细读”更加关注材料的深入理解，能否用自己的语言对材料做出个性化的解读是判断“细读”是否取得成效的标志。当然，“细读”也需要通过问题来引领。

例如，揭示“三大基本事实”的内在联系，以及它们与平面基本特征的逻辑关系是“平面”这节课的教学难点。实际上对于这个问题，教材已经给出了明示，在教材中能够找到下面这样的描述：“基本事实2表明，可以用直线的‘直刻画平面的‘平，用直线的‘无限延伸刻画平面的‘无限延展”；“组成这个‘直线网的直线的‘直和向各个方向无限延伸，说明了平面的‘平和‘无限延展”；“两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的‘平和‘无限延展”。因此，可以得出这样的结论：“三个基本事实”都是为了说明平面的“平”和“无限延展”这一本质属性，即分别用“点”“线”“面”三个几何对象来刻画平面的“平”和“无限延展”。遗憾的是，在平时教学中，这些提示并没有引起广大师生的足够关注，因此，笔者建议教师应让学生通过“细读”教材，从而让学生自己去发现、提炼和领悟。

仔细阅读教材中“基本事实”这部分内容，回答下面问题。

问题2-1 在基本事实2中，为什么说可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”？

问题2-2 如果平面不“平”，无法“无限延展”，三大基本事实还成立吗？

问题2-3 能否用自己的语言描述三大基本事实与平面基本特征之间的关系？

阅读是极具个性化的学习活动，在上述问题的引领下，阅读主体自己分析、筛选、吸收信息，通过类比与联想的思维过程，主动构建知识之间的联系，能将较大范围内分散的知识和事实联结为有结构、有系统的整体。

（三）“精读”教材，知何以知其所以然

“精读”教材有两层含义：一是指精思，南宋理学家朱熹曾说，大抵读书，须先熟读，使其言皆若出于吾之口；继以精思，使其言皆若出于吾之心，然后可以省得尔。熟读而精思，不仅要知晓材料字面意思及深刻含义，而且还要感受所蕴含的思想方法，说出其在数学学习中所发挥的作用。二是透过材料本身理解数学的精神，包括理性精神、创新精神、锲而不舍的精神等。“精读”是对“细读”的补充与深化，是数学阅读的最高形式，数学阅读能力也是在精读中得到升华的。

例如，通过“细读”，学生发现“三个基本事实”分别是平面“平”与“无限延展”本质属性的表征，那么如何验证这一“发现”？笔者让学生“精读”教材中“三个基本事实的提出”内容，并思考以下问题。

问题3-1 三个基本事实分别借助什么生活实例或者现象提出？

问题3-2 三个基本事实中所涉及的生活物品，分别表示哪些几何对象？

问题3-3 能否设计数学实验来验证平面的“平”或“无限延展”？

问题3-1让学生再次感受数学与生活中的联系，初步体会立体几何中的公理、定理、性质源自生活，又高于生活；问题3-2让学生知道如何把生活中的实物抽象为数学对象，比如，直尺表示直线、三角尺表示平面等；问题3-3具有一定的开放性与发散性，看似难度很高，但“精读”基本事实3后，发现它是通过“三角尺的一个角立在课桌面上”这个现象来进行验证的，稍作改进就可以成为一个数学实验：把三角尺立起来，用其中一个尖角插入到地面（想象地面是软的），如果插口呈现的都是直线的话，说明地面是平的，反之就不平。对于基本事实2，教材是借助“如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上”这一生活经验进行说明的，同样也可以改造为数学实验：在地面上任意位置放置直尺，如果地面不平、不能无限延展，那么直尺应该与地面有缝隙，直尺不能完全落在地面上；反过来说，如果地面是平的且无限延展，只要保证直尺两端紧贴地面，直尺就贴紧地面。

对于基本事实1，教材是直接观察“三角架的稳定性”来引出“不共线的三点确定一个平面”，而物理的“稳定性”与“平面的确定性”并不是两个等价概念，要达到稳定并非要形成确定的平面，而平面也并非意味着稳定。因此，教师在教学中不能照搬教材设计实验，还需要学生能够触類旁通、举一反三。在实际教学中，有的学生提出，可以借助“四条腿”的凳子来设计实验：如果凳子会摇晃，说明凳子的四只脚不在同一平面内，地面不平；反过来说，如果地面是平的，凳子的四只脚中有三只脚在地面上，那么另一只也一定在地面上。把凳脚抽象为点，由此就可以发现“基本事实1”。因此，“精读”开拓了学生的思维，激发了学生的创造力。

三、结语

数学阅读能力的培养是一项长期的系统工程，学生掌握了数学阅读的技能就相当于掌握了打开数学学习大门的钥匙。如今的数学课堂教学已经不再是单纯的教授式的教学模式，学生的自主学习更加重要，而数学阅读无疑是培养学生自主探究等学习能力的重要支撑［4］。教师要自觉改进教学方法，主动将数学阅读纳入课堂的教学环节中去，与讲授、练习等有机地结合在一起，让数学阅读成为数学课堂教学的重要环节，成为知识建构的必要手段，共同构筑课堂教学的最优结构。

参考文献：

［1］郎杰斌，阮海红，吴蜀红，等. 生活化：苏轼阅读观的特质［J］. 图书馆，2022（6）：79-85.

［2］奥苏伯尔. 教育心理学：认知观点［M］. 佘星南，宋钧，译. 北京：人民教育出版社，1994.

［3］任子朝，陈昂，赵轩. 加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底［J］. 数学通报，2018（7）：8-13.

［4］顾卫峰，汪晓勤. 提升数学素养，关注数学阅读［J］.基础教育课程，2022（3/4）：95-100.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】吕增锋，正高级教师，主要研究方向是大概念教学、数学阅读与写作教学。

【立项课题】2023年度宁波市教育科学规划重点课题“‘读写共生理念下高中数学阅读课探索”（2023YZD088）